一、單選題（本大題共8小題）
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．計(jì)算（ ）
A．B．C．D．
3．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．，B．C．D．
8．已知是定義在上的奇函數(shù)，若對(duì)任意，均有且，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．下列等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．對(duì)于給定實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式的解集可能是（ ）
A．B．
C．RD．
11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
C．是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸
D．若，則的最小值為
12．已知x，y均為正實(shí)數(shù)，則（ ）
A．的最大值為
B．若，則的最大值為8
C．若，則的最小值為
D．若，則的最小值為
三、填空題（本大題共4小題）
13．計(jì)算：的值是 ．
14．若集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
15．函數(shù)在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
16．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則 ； ．
四、解答題（本大題共6小題）
17．在平面直角坐標(biāo)系中，角，的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.
(1)求集合；
(2)設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19．已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.
(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；
(2)解不等式.
20．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
(2)求不等式的解集.
21．茶，是中華民族的舉國(guó)之飲，它發(fā)乎神農(nóng)，聞?dòng)隰斨芄?，興于唐朝，盛在宋代，如今已成了風(fēng)靡世界的三大無酒精飲料(茶葉、咖啡和可可)之一，并將成為世紀(jì)的飲料大王.中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的常數(shù).現(xiàn)有某種剛泡好的普洱茶，茶水溫度是，放在室溫的環(huán)境中自然冷卻，分鐘后茶水的溫度是.
(1)求的值；
(2)經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)室溫為攝氏度時(shí)，該種普洱茶用的水泡制，自然冷卻至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，那么，剛泡好的茶水在室溫為時(shí)自然冷卻大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感?（結(jié)果精確到）
（附：參考值）
22．對(duì)于函數(shù)，若，則稱實(shí)數(shù)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．設(shè)函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
答案
1．【正確答案】B
【詳解】由集合，
又因?yàn)?，可?
故選：B.
2．【正確答案】A
【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，
．
故選：A．
3．【正確答案】C
【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)椋驗(yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，
因?yàn)樵谏线f增，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以C正確，
對(duì)于D，的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，所以D錯(cuò)誤，
故選：C
4．【正確答案】B
【詳解】由可得：或，
即能推出，
但推不出
“”是“”的必要不充分條件
故選：B
5．【正確答案】D
【詳解】解：，，
∴．
故選：D
6．【正確答案】C
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋海?br>函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
函數(shù)，圖像拋物線開口向上，對(duì)稱軸是軸，時(shí)，是增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
故選：C．
7．【正確答案】A
【詳解】解：函數(shù)是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，
可得，
解得：，.
故選：A.
8．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)椋?，所?
設(shè)函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.
當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，
即，解得，
又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，
所以，當(dāng)時(shí)，不等式無解.
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，
的定義域?yàn)椋?br>又，
故為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，
因?yàn)?，故，解得?br>綜上，不等式的解集為.
故選：A.
9．【正確答案】BCD
【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：BCD.
10．【正確答案】ACD
【詳解】時(shí)，不等式化為，，解集為，
時(shí)，不等式化，解集為，
時(shí)，不等式化為，，即解集為，
時(shí)，不等式化為，
時(shí)，或，解集為或，
時(shí)，或，解集為或，
故選：ACD．
11．【正確答案】ACD
【詳解】解：依題意可得，，所以，又，解得，
所以，又函數(shù)過點(diǎn)，即，所以，
所以，又，所以，所以，故A正確；
由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋允呛瘮?shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確；
對(duì)于D：若，則取得最大（?。┲登胰∽钚。ù螅┲?，
所以，故D正確；
故選：ACD
12．【正確答案】ACD
【詳解】A中，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即的最大值為，所以A正確；
B中，由，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，所以B不正確；
C中，若，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以C正確；
D中，由，可得，
則，
令，則，
又由，所以當(dāng)，可得，
所以，所以D正確.
故選：ACD.
13．【正確答案】5.
【詳解】
.
故答案為5.
14．【正確答案】
【詳解】由得：，即，解得：，；
，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為.
15．【正確答案】
【詳解】
令，則函數(shù)的零點(diǎn)為，，
所以函數(shù)在軸右側(cè)的四個(gè)零點(diǎn)分別是，，，，
函數(shù)在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，
所以，解得．
故．
16．【正確答案】
【詳解】在中，令，則有；
的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，有，
又，則，得，
可得，，
所以，，，
所以
．
故；．
17．【正確答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，
又，所以，則；
（2）根據(jù)題意可知，
又，所以，
根據(jù)誘導(dǎo)公式可知.
18．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br>則和是方程的兩根，
所以，解得，
所以不等式為不等式，
解得，即集合.
（2）因?yàn)槭浅闪⒌谋匾獥l件，所以.
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19．【正確答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析
(2)或
【詳解】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：
任取，，且，
則
，
因?yàn)?，，且，所以，所以，，?br>故，即，
所以在上單調(diào)遞增.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>所以是偶函數(shù)，
又由（1）知在上單調(diào)遞增，
所以，
兩邊平方可得，解得或，
故不等式的解集為或.
20．【正確答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?br>，
所以的最小正周期為，
令，得，
所以的單調(diào)減區(qū)間為.
（2）因?yàn)?，即?br>所以，則，
所以的解集為.
21．【正確答案】(1)；
(2)；
【詳解】（1）根據(jù)題意，當(dāng)
代入函數(shù)模型，整理得：，
解得.
（2）假設(shè)自然冷卻大約時(shí)間能達(dá)到最佳飲用口感，
則有：，代入，
得：，
所以剛泡好的茶水在室溫為時(shí)自然冷卻大約需要放置后才能達(dá)到最佳飲用口感.
22．【正確答案】(1)0和1；
(2)；
(3).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，方程可化為，解得或；
所以，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為0和1．
（2）方程，即，可化為．
令，則當(dāng)時(shí)，關(guān)于單調(diào)遞增，且．
由題意，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根．
由于對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且．
所以，．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（3）不等式可化為．
易知，函數(shù)在上最大值為，最小值為；
由題意，，，即．
上述不等式可化為．
令，則當(dāng)時(shí)，．
由題意，，不等式恒成立．
函數(shù)在上單調(diào)遞增，最大值為；
函數(shù)在上單調(diào)遞減，最小值為．
所以，，即．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

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