注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑. 如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào). 回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 橢圓的離心率為，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由題意得，解得，
故選：A.
2. 記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. 120B. 140C. 160D. 180
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
故選：C.
3. 在三角形中，，，，則（ ）
A. 10B. 12C. D.
【答案】A
【解析】記，則，，
，
．
故選：A.
4. 設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】C
【解析】對(duì)于A，可能平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，可能相交或平行，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于D，平行，不可能垂直，故D錯(cuò)誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，
故選：C
5. 已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（ ）
A. 是一個(gè)半徑為的圓B. 是一條與相交的直線
C. 上的點(diǎn)到的距離均為D. 是兩條平行直線
【答案】C
【解析】設(shè)，由，則，
由在直線上，故，
化簡(jiǎn)得，即的軌跡為為直線且與直線平行，
上的點(diǎn)到的距離，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C.
6. 中國(guó)國(guó)家大劇院是亞洲最大的劇院綜合體，中國(guó)國(guó)家表演藝術(shù)的最高殿堂，中外文化交流的最大平臺(tái).大劇院的平面投影是橢圓,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)度約為,短軸長(zhǎng)度約為.若直線平行于長(zhǎng)軸且的中心到的距離是，則被截得的線段長(zhǎng)度約為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)該橢圓焦點(diǎn)在軸上，以中心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)橢圓方程為：，，由題意可得，，
將，代入方程，得，
因?yàn)橹本€平行于長(zhǎng)軸且的中心到的距離是，
令，得(m)，
故選：C．
7. “”是“直線與圓相切”的（ ）
A. 充分條件B. 必要條件
C. 既是充分條件又是必要條件D. 既不是充分條件也不是必要條件
【答案】C
【解析】由已知得圓心，半徑，
圓心到直線的距離，
所以，即，所以所求直線方程為．
“”是“直線與圓相切”的充要條件，
故選：C．
8. 設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】由雙曲線的對(duì)稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，
令，則，
由雙曲線定義可知，故有，即，
即，，
，
則，即，故，
則有，
即，即，則，由，故.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選得0分.
9. 下列說法中，正確的有（ ）
A. 過點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為
B. 直線在軸的截距是2
C. 直線的傾斜角為30°
D. 過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為
【答案】CD
【解析】A選項(xiàng)，直線過點(diǎn)且在軸，軸截距相等，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，直線在軸上的截距是，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，直線的斜率為，傾斜角為，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為，D選項(xiàng)正確.
故選：CD
10. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)C，C1重合)，過點(diǎn)P作平面分別與棱BC，CD交于M，N兩點(diǎn)，若CP＝CM＝CN，則下列說法正確的是（ ）
A. A1C⊥平面
B. 存在點(diǎn)P，使得AC1∥平面
C. 存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A1到平面的距離為
D. 用過點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形
【答案】ACD
【解析】連接
因?yàn)?，所以＝，所?br>又平面，平面，所以平面
同理可證，平面
又，、平面，所以平面平面
易證⊥平面，所以⊥平面，A正確
又平面，所以與平面相交，不存在點(diǎn)P，使得∥平面，B不正確.
因?yàn)椋c(diǎn)到平面的距離為
所以點(diǎn)A1到平面的距離的取值范圍為
又，所以存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A1到平面的距離為，C正確.
因?yàn)椋?，所以用過點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體得到的截面是四邊形
又，且，所以截面梯形，D正確
故選：ACD
11. 拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)過上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A.
B. 延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則，，三點(diǎn)共線
C.
D. 若平分，則
【答案】AB
【解析】由題意知，點(diǎn)，，如圖：
將代入，得，所以，
則直線的斜率，
則直線的方程為，即，
聯(lián)立，得，解得，，
又時(shí)，，則
所以，所以A選項(xiàng)正確；
又 ，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
又知直線軸，且，則直線的方程為，
又，所以直線的方程為，
令，解得，即，在直線上，
所以，，三點(diǎn)共線，所以B選項(xiàng)正確；
設(shè)直線的傾斜角為（），斜率為，直線的傾斜角為，
若平分，即，即，
所以，則，且，解得，
又，解得：，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：AB.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知二面角為，在與的交線上取線段，且，分別在平面和內(nèi)，它們都垂直于交線，且，，則的長(zhǎng)為_____.
【答案】
【解析】如圖：，，，
所以
，
所以，
所以的長(zhǎng)為，
故答案為：.
13. 已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的體積與球的體積的比值是__________，圓錐的表面積與球的表面積的比值是__________．
【答案】；
【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，球的半徑為，
因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高，母線，
由題可知：，所以球的半徑
所以圓錐的體積為，
球的體積，
所以；
圓錐的表面積，
球的表面積，
所以，
故答案為：；.
14. 四棱錐各頂點(diǎn)都在球心為的球面上，且平面，底面為矩形，，設(shè)分別是的中點(diǎn)，則平面截球所得截面的面積為_________.
【答案】
【解析】如下圖所示，

易知四棱錐外接球與以為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球相同；
由題意可知球心為中點(diǎn)，
故球O的直徑，解得
由分別是的中點(diǎn)可得，可得平面；
所以球心到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
設(shè)球心到平面的距離為，截面圓的半徑為，
在三棱錐中，易知平面，且，
所以，
而，
由等體積法得，
所以，故截面面積為．
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知圓心在直線上.
（1）若圓與軸相切，且與軸正半軸相交所得弦長(zhǎng)為，求圓心的坐標(biāo)
（2）若圓與直線相切，且與圓相外切，判斷是否存在符合題目要求的圓.
解：（1）根據(jù)題意可設(shè)圓心，半徑為；
由圓與軸相切，且與軸正半軸相交所得弦長(zhǎng)為，可得半徑，如下圖所示：

由勾股定理可得，解得，
此時(shí)圓心，半徑為2，圓的方程為；
所以圓心的坐標(biāo)為；
（2）依題意設(shè)圓心，半徑為，如下圖所示：

因?yàn)閳A心在直線上，所以；
若圓與直線相切可得，
若圓與圓相外切，則，
即，可得，
該方程，所以該方程無解，
故不存在滿足題意的圓.
16. 已知兩條直線：，：.（）
（1）若，求值；
（2）若，求，之間的距離.
解：（1）由于，所以.
（2）當(dāng)時(shí)，兩條直線的方程分別為和，此時(shí)兩直線不平行，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，由于，所以，解得或（舍去）
當(dāng)時(shí)，兩條直線的方程分別為和，
，之間的距離為.
17. 已知數(shù)列滿足，且點(diǎn)在直線上
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，求能使對(duì)恒成立的（）的最小值．
解：（1）由點(diǎn)在直線上得，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，
故，即．
（2），
所以
，
要使對(duì)恒成立，，即，又，所以的最小值為5．
18. 如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn).
（1）在線段上找一點(diǎn)，使平面，并說明理由；
（2）若平面平面，求平面與平面所成二面角的正弦值.
解：（1）如圖所示：
當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：
設(shè)為中點(diǎn)，連接.
因?yàn)樵谌庵校?br>分別為的中點(diǎn)，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形.
所以，
又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
（2）如圖所示：
取中點(diǎn)，連接.
因?yàn)?，?br>所以為正三角形，所以.
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，
又平面，
所以，
因?yàn)闉榈冗吶切?，所?
以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意得
，
所以，.
設(shè)平面的法向量，
則由，得，
令，得.
取平面的法向量，
設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，
則.
所以，
所以平面與平面所成二面角的正弦值為.
19. 已知直線與拋物線相切于點(diǎn)A，動(dòng)直線與拋物線C交于不同兩點(diǎn)M，N（M，N異于點(diǎn)A），且以MN為直徑的圓過點(diǎn)A.
（1）求拋物線C的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A到直線的距離最大時(shí)，求直線的方程.
解：（1）聯(lián)立，消得，
因?yàn)橹本€與拋物線相切，
所以，解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，解得，所以，
所以拋物線C的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；
（2）顯然直線的斜率存在，
可設(shè)為，
由，消得，
則，
，
，
因?yàn)橐訫N為直徑的圓過點(diǎn)A，
所以，
即，
整理可得，
所以，
化簡(jiǎn)得，
所以，
所以或，
即或，
當(dāng)時(shí)，直線，
即，所以直線過定點(diǎn)（舍去），
當(dāng)時(shí)，直線，滿足，
即，所以直線過定點(diǎn)，
當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)A到直線的距離最大，
又，所以，
所以直線的方程為.

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