一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．若，則（ ）
A．4B．C．D．
3．已知向量，，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知函數(shù)滿足：，，且，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知等差數(shù)列滿足，前8項和；公比為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，，設(shè)，為數(shù)列的前項和，則當(dāng)時，的最大值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．設(shè)正實數(shù)a，b，c滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（ ）
A．4B．C．5D．
8．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知函數(shù)，則（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對稱B．
C．無零點D．在上單調(diào)遞增
10．?dāng)?shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列的前項和為D．的最小值為
11．某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，每排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度變?yōu)樵瓉淼?由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度（ppm）與排氣時間（分鐘）之間存在函數(shù)關(guān)系，其中（為常數(shù)）.已知空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，人可以安全進(jìn)入車庫.若剛好經(jīng)過（分鐘），人就可以安全進(jìn)入車庫了，則（ ）
A．B．
C．D．排氣12分鐘后，車庫內(nèi)的一氧化碳濃度變?yōu)?ppm
三、填空題
12．若函數(shù)的減區(qū)間為，則的值為 .
13．如圖，已知，是圓O的兩條直徑，E是的中點，F(xiàn)是的中點，若，則 .
14．已知函數(shù)，滿足的的最小值為，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，無最值，則的取值范圍是 .
四、解答題
15．設(shè)函數(shù)，且，證明：對于，的充要條件是.
16．已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若，求的值.
17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求B；
(2)設(shè)，，求的值.
18．已知函數(shù)在和處取得極值.
(1)求a，b；
(2)曲線在相異的兩點，處的切線分別為和，且和的交點在直線上.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的取值范圍.
19．若項數(shù)為m（，）的數(shù)列滿足：①單調(diào)遞增且；②對任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得或，則稱數(shù)列具有性質(zhì)P.
(1)若，，分別判斷數(shù)列，是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
(2)若數(shù)列具有性質(zhì)P，證明：且（且）；
(3)若數(shù)列具有性質(zhì)P且，，求數(shù)列的通項公式.
《河南省2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期TOP二十名校調(diào)研考試三數(shù)學(xué)試題》參考答案
1．D
【分析】求解公式得集合，再由交集定義運算.
【詳解】因為集合或，
，
所以.
故選：D.
2．A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算進(jìn)行計算.
【詳解】由，得，
所以，則.
故選：A.
3．C
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運算即可求解.
【詳解】，，解得.
故選：C.
4．B
【分析】根據(jù)題意，得函數(shù)的一個周期為12，利用周期性求值.
【詳解】根據(jù)題意，，顯然，所以，
所以，所以函數(shù)的一個周期為12，
所以.
故選：B.
5．D
【分析】令，“函數(shù)在上單調(diào)”等價于“函數(shù)在上單調(diào)”，求出的對稱軸方程，分在上單調(diào)遞增和在上單調(diào)遞減兩種情況求解.
【詳解】，令，
則“函數(shù)在上單調(diào)”等價于“函數(shù)在上單調(diào)”，的對稱軸為，若在上單調(diào)遞增，
則，解得，若在上單調(diào)遞減，
則，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
6．D
【分析】求出等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，求得數(shù)列的通項公式，利用數(shù)列的分組求和法可得數(shù)列的前項和，驗證得答案．
【詳解】設(shè)的公差為，由得，
解得，所以.
設(shè)的公比為，由，得，
解得（舍）或，所以.
因為，所以，
則，
因為對任意的，，所以數(shù)列單調(diào)遞增，
又因為，，
所以當(dāng)時，，故的最大值是8.
故選：D.
7．B
【分析】由題意得，從而利用基本不等式求得的最大值及成立的條件，從而化為，最后利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【詳解】依題意，由，得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
則代入中，得，所以，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)，，，時，取得最大值.
故選：B.
8．C
【分析】利用二倍角和和差角公式化簡已知，得，再由角的范圍和誘導(dǎo)公式得，從而得解.
【詳解】由，
得，
又，所以，所以，
所以，
即，
因為，，
所以，
且在上單調(diào)遞增，所以，
所以，則，
所以.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：化簡得后，利用誘導(dǎo)公式得，是解題關(guān)鍵.
9．AB
【分析】求出的定義域，求出和并判斷是否相等，據(jù)此判斷A選項，根據(jù)當(dāng)時在上單調(diào)遞增判斷B選項，令求出判斷C選項，求出當(dāng)時的解析式判斷D選項.
【詳解】易知的定義域為，
因為，，
所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；
當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，所以，故B正確；
令，得或3，則有2個零點，故C錯誤；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，故D錯誤.
故選：AB.
10．AD
【分析】根據(jù)的關(guān)系式可得，即A正確，再由分組并項求和計算可得B錯誤，利用等差數(shù)列前項和公式計算可得C錯誤，由判斷出其符號即可得D正確.
【詳解】對于A，由，得①，
當(dāng)時，；當(dāng)時，②，
由①－②，得，解得，
當(dāng)時也成立，所以，故A正確；
對于B，
，故B錯誤；
對于C，數(shù)列的前項和為，故C錯誤；
對于D，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，
故當(dāng)或9時，的前項和取最小值，最小值為，故D正確.
故選：AD.
11．ACD
【分析】由題意可設(shè)，再由已知列關(guān)于，的方程組，求出判斷A與B；進(jìn)一步求出的解析式，算出，判斷C與D．
【詳解】由題意可設(shè)，則，此時為常數(shù)，
由題意，，則，即，
所以，故A正確，B錯誤；
因為剛好經(jīng)過（分鐘），人就可以安全進(jìn)入車庫了，
所以，又由，得，
，
解得，所以，故C正確；
，故排氣12分鐘后，車庫內(nèi)的一氧化碳濃度變?yōu)?ppm，故D正確.
故選：ACD.
12．3
【分析】由的解集，求出的值.
【詳解】的解集為，
即的解集為，所以，
解得.
故答案為：.
13．/1.1875
【分析】利用極化恒等式將化簡成含有半徑的式子，即可轉(zhuǎn)化成的形式，可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓的半徑為，
由題意得
，
且
，，
所以，所以.
故答案為：
14．
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)可得，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，無最值限定出不等式，再根據(jù)的范圍可得結(jié)果.
【詳解】因為函數(shù)，且滿足的的最小值為，
所以函數(shù)的最小正周期，所以，解得，
即可得，
因為，所以.
因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，無最值，
所以，解得，
即，
當(dāng)時，，不滿足條件；
當(dāng)時，，滿足條件；
當(dāng)時，，滿足條件；
當(dāng)時，，不滿足條件.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)滿足的的最小值為求出，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象性質(zhì)由零點和最值個數(shù)限定出不等式可解得的取值范圍.
15．證明見解析
【分析】先求出函數(shù)的最小值，再分別證明充分性和必要性即可.
【詳解】證明：因為，所以函數(shù)圖象的對稱軸為直線，
所以.
先證充分性：因為，且，所以；
再證必要性：因為對于，，所以，即，從而.
綜上可知，對于，的充要條件是.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式可得，由整體代換即可求得結(jié)果.
（2）由已知可求得，代入計算即可.
【詳解】（1），
令，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由于，所以，
所以，即，所以，
則.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）由余弦定理可得，化簡可求得，從而可求得角；
（2）由余弦定理可得，進(jìn)而可求得的值，分情況利用兩角和的正弦公式與二倍角公式計算可求得的值.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，所以，
化簡得，所以由余弦定理，得，
又，所以.
（2）由（1）知，，且，，
則由余弦定理，得，即，解得或.
當(dāng)時，，則，
又，，所以；
當(dāng)時，，則，
又，，所以.
綜上所述，或.
18．(1)，
(2)（?。?；（ⅱ）
【分析】（1）根據(jù)題意，又得解a，b的值，并檢驗；
（2）（?。┣蟪銮芯€和的方程，并求其交點，即可得證；（ⅱ）由（?。┑慕Y(jié)論，結(jié)合基本不等式求范圍.
【詳解】（1），
因為在和處取得極值，
所以即解得
經(jīng)檢驗，當(dāng)時，在和處取得極值，符合題意，
所以，.
（2）（?。?，，
因為，，，
在點A處的切線方程為，
在點B處的切線方程為，
聯(lián)立兩個切線方程，得，
解得，
故兩切線交點的橫坐標(biāo)為，
由題意，得，
所以，
即.
（ⅱ）由（?。?，得，
所以，
結(jié)合，所以，
解得.故的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問中，求出切線和的方程，并求其交點，運算量較大.
19．(1)不具有，數(shù)列具有性質(zhì)P，理由見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用性質(zhì)P的定義分別判斷兩個數(shù)列；
（2）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)P，得到，且又，于是，，…，，，再求和即可；
（3）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)P，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，求其通項公式即可.
【詳解】（1），即，，，
所以單調(diào)遞增且，
因為不存在正整數(shù)，使得或，
所以數(shù)列不具有性質(zhì)P；
，即，，，，
所以單調(diào)遞增且.
因為或的結(jié)果有：，，，，，，，，，，
都存在正整數(shù)，使得等于以上值，所以數(shù)列具有性質(zhì)P.
（2）因為數(shù)列具有性質(zhì)P，所以對任意的，
都存在正整數(shù)，使得或，
由，得，
即不存在正整數(shù)，使得，
從而存在正整數(shù)，使得，則，
又，，所以.
由，得.
即不存在正整數(shù)，使得，
從而存在正整數(shù)，使得.
又，
于是，，…，，，
從而，
所以，
所以，
即.
（3）已知，由（2）知，，，，
所以，即，.
因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以，
即不存在正整數(shù)，使得，
所以存在正整數(shù)，使得，又，
所以，所以，所以.
因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以，
即不存在正整數(shù)，使得，
所以存在正整數(shù)，使得，
又，所以，
所以，又，所以，即.
綜上所述，，所以數(shù)列是等差數(shù)列.
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，
所以數(shù)列的通項公式為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是對數(shù)列新定義的理解，運用性質(zhì)進(jìn)行分析.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
D
D
B
C
AB
AD
題號
11









答案
ACD









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