一、單選題
1．計算的結(jié)果為( )
A.B.0C.1D.3
2．下列運算正確的是( )
A.B.C.D.
3．下列分式與相等的是( )
A.B.C.D.
4．在平面直角坐標系中,點關(guān)于x軸的對稱點的坐標為( )
A.B.C.D.
5．下列式子從左到右變形是因式分解的是( )
A.B.
C.D.
6．如圖,點P在的內(nèi)部,點C,D分別在,上,且,只添加一個條件即可證明和全等,這個條件不可以是( )
A.B.平分
C.平分D.
7．已知多項式可以運用平方差公式分解因式,則單項式M可以是( )
A.2abB.-2abC.3b2D.-5b2
8．如圖,,AC和BC對應(yīng)邊分別是BE和DE,則下列與相等的是( )
A.B.C.D.
9．綠化隊原來用漫灌方式澆綠地,a天用水m噸,現(xiàn)改用噴灌方式,可使這些水多用3天,則現(xiàn)在比原來每天節(jié)約用水噸數(shù)是( )
A.B.C.D.
10．如圖為2024年某月日歷,現(xiàn)用一個正方形方框框住部分(陰影部分)9個位置上的數(shù),若最小的數(shù)與最大的數(shù)的積記為n,中間位置上的數(shù)記為m.下列所給的數(shù)據(jù)中,n不可能是( )
A.161B.298C.420D.465
二、填空題
11．計算：
(1)______；____________(2)______；
(3)______；______(4)______.
12．分式有意義,則x滿足的條件是______.
13．分式與的最簡公分母是______.
14．如果是完全平方式，則_________.
15．若,,則a與b的大小關(guān)系為______.
16．如圖,在中,,,點D,E是邊上的兩個定點,點M,N分別是邊,上的兩個動點.當四邊形的周長最小時,的大小是______.
三、解答題
17．計算：
(1)；
(2).
18．因式分解：
(1)；
(2).
19．如圖,點A,F,C,D在一條直線上,,,垂足分別為B,E,,,求證：.
20．先化簡,再求值：,其中.
21．如圖,在中,.
(1)請用尺規(guī)作圖法,在邊上求作一點P,使得(保留作圖痕跡,不要求寫作法)；
(2)連接,若,證明為等邊三角形.
22．“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)上一種重要的數(shù)學(xué)思想,在整式乘法中,我們常用圖形而積來解釋一些公式.如圖(1),通過觀察大長方形而積,可得：.
(1)如圖(2),通過觀察大正方形的面積,可以得到一個乘法公式,直接寫出此公式；
(2)現(xiàn)有若干張如圖(3)的三種紙片,A是邊長為a的正方形,B是邊長為b的正方形,C是長為a,寬為b的長方形.若要無縫無重疊拼出一個長為,寬為的長方形,設(shè)需要A型紙片x張,B型紙片y張,C型紙片z張,直接寫出的值；
(3)圖(4)是由圖(3)中的兩張A型紙片和兩張B型紙片排成的一個正方形,其中兩張A型紙片有重疊(圖中陰影部分),直接寫出陰影部分的面積(用含a,b的式子表示)；
(4)若圖(2)也是由圖(3)中的三種紙片拼成的,且圖(2)中的陰影部分面積為17,圖(4)中的陰影部分面積為8,求圖(2)整個正方形的面積.
23．已知一些兩位數(shù)相乘的算式：62×11,78×69,34×11,63×67,18×22,15×55,12×34,54×11.利用這些算式探究兩位數(shù)乘法中可以簡化運算的特殊情形：
(1)觀察已知算式,選出具有共同特征的3個算式,并用文字描述它們的共同特征；
(2)分別計算你選出的算式.觀察計算的結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)不經(jīng)過乘法運算就可以快速、直接地寫出積的規(guī)律嗎？請用文字描述這個規(guī)律；
(3)證明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；
(4)在已知算式中,找出所有可以應(yīng)用(或經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以應(yīng)用)上述規(guī)律的算式,并將它們寫在橫線上：______.
24．通常把臟衣服用洗衣液清洗后會進行擰干,但由于不可能擰凈衣服上的全部污水,所以還需要用清水進行多次漂洗,不斷降低衣服中污水的含量.某小組研究了如何用清水漂洗衣服效果更好,部分內(nèi)容如下,請補充完整：實驗研究：先準備幾件相同的洗過一次并擰干(存留一些污水)的衣服,把每件衣服分別用一定量的清水浸泡,經(jīng)過充分搓洗,使清水與衣服上存留的污水混合均勻,然后擰干,視為一次漂洗,稱重、記錄每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例,如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后,擰干到仍然存留1斤污水,則漂洗后衣服中存有的污物是原來的,在多次實驗后,通過對收集的數(shù)據(jù)進行分析,該小組決定使用20斤清水,采用三種不同的方案,對每件衣服分別進行漂洗,并假設(shè)每次擰干后的衣服上都存留約1斤的污水.
數(shù)據(jù)計算：對三種漂洗方案進行計算、比較.
方案一：采用一次漂洗的方式.將20斤清水一次用掉,漂洗后衣服中存有的污物是原來的______；
方案二：采用兩次漂洗的方式,且兩次用水量不同.如第一次用12斤清水,第二次用8斤清水,漂洗后衣服中存有的污物是原來的______；
方案三：采用兩次漂洗的方式,且兩次用水量相同,每次用10斤清水,漂洗后衣服中存有的污物是原來的______.
實驗結(jié)論：對比可知,在這三種方案中,方案______的漂洗效果最好(填“一”“二”或“三”).
推廣證明：將臟衣服用洗衣液清洗后,再用清水進行漂洗,假設(shè)每次擰干后還存留斤污水,現(xiàn)用斤清水漂洗(方案二中第一次用水量為x斤),證明上面實驗中得到的結(jié)論.
25．如圖,點,在平面直角坐標系中的坐標軸上,點為內(nèi)一點,.
(1)求點P到的距離；
(2)如圖1,射線交的垂直平分線于點C,試判斷的形狀,并說明理由；
(3)如圖2,為x軸正半軸上一點,將沿所在直線翻折,與y軸,線段分別交于點F,G,試探究的周長是否會發(fā)生變化,若變化,求變化范圍；若不變,求的周長.
參考答案
1．答案：C
解析：,
故選：C.
2．答案：C
解析：A.,選項運算錯誤；
B.,選項運算錯誤；
C.,選項運算正確；
D.,選項運算錯誤；
故選：C.
3．答案：D
解析：A.,故此選項不符合題意；
B.,故此選項不符合題意；
C.,故此選項不符合題意；
D.,故此選項符合題意；
故選：D.
4．答案：A
解析：關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征是橫坐標相同,縱坐標互為相反數(shù),從而點關(guān)于x軸對稱的點的坐標是.故選A.
5．答案：D
解析：根據(jù)因式分解的定義,
選項A,右邊不是積的形式,不是因式分解；
選項B,是整式的乘法,不是因式分解；
選項C,從左到右不是積的形式,不是因式分解；
選項D,左邊等于右邊是因式分解；
故選：D.
6．答案：C
解析：A、,可根據(jù)判定,故A不符合題意；
B、平分,可根據(jù)判定,故B不符合題意
C、平分,不能判定,故C不符合題意；
D、,可根據(jù)判定,故D不符合題意.
故選：C.
7．答案：D
解析：多項式可以運用平方差公式分解因式,
則單項式M可以是-5b2.
故選：D.
8．答案：B
解析：∵,
∴,,
∴,
∴,
∴.
故選：B.
9．答案：A
解析：原來每天的用水量為：,
現(xiàn)在每天的用水量為：,
∴現(xiàn)在比原來每天節(jié)約用水噸數(shù)是：,
故選：A.
10．答案：B
解析：最大和最小的兩個數(shù)是和,
,
即,
A選項中,當時,,則,,,所以n可能是161,故A不符合題意；
B選項中,當時,,則沒有正整數(shù)的平方等于,不符合日歷,所以n不可能是298,故B符合題意；
C選項中,當時,,則,,,所以n可能是420,故C不符合題意；
D選項中,當時,,則,,,所以n可能是465,故D不符合題意；
故選：B.
11．答案：(1)
(2)
(3)
(4)/
解析：(1)；
(2)；
(3)；
(4).
12．答案：
解析：∵分式有意義,
∴,
∴,
故答案為：.
13．答案：
解析：對于分式和,3和6的最小公倍數(shù)是6,字母a,b,c的最高次冪的積為,
因此分式和的最簡公分母是.
故答案為：.
14．答案：
解析：，
，
解得.
故答案為：.
15．答案：
解析：∵
.
.
故答案為：.
16．答案：
解析：如圖所示,作點E關(guān)于的對稱點,作點D關(guān)于的對稱點,連接交,于點,,
∴根據(jù)兩點之間線段最短可得,的值最小,
∴四邊形的周長最小值為：,
∵在中,,,即是等腰直角三角形,
∴,
在中,
∵,
∴,
根據(jù)對頂角的性質(zhì)可得,,,
根據(jù)對稱的性質(zhì)可得,,,,,
∴,,
在,中,
∵,,
∴
,
∴當四邊形的周長最小時,的大小是,
故答案為：.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
19．答案：詳見解析
解析：證明：,,
,
在和中,
,
,
,
,
20．答案：,
解析：
,
當時,原式.
21．答案：(1)見解析
(2)見解析
解析：(1)由題意可得：點P在線段的垂直平分線與的交點,如下圖：
(2)證明：連接,
∵,,
∴
∵,
∴,
∴,
∴為等邊三角形.
22．答案：(1)
(2)
(3)
(4)
解析：(1)∵大正方形的面積等于兩個陰影部分的面積加上兩個長方形的面積,
∴；
(2)∵,
∴需要A型紙片6張,B型紙片2張,C型紙片7張,
即：,,,
∴；
(3)；
(4)由題意,得：,,
∴,
∴,
∴；
即：整個正方形的面積為.
23．答案：(1),,
(2),,
可以發(fā)現(xiàn)：一個兩位數(shù)乘以11,乘積是一個百位數(shù),百位數(shù)字是原兩位數(shù)十位數(shù)字,各位數(shù)字是原兩位數(shù)的個位數(shù)字,十位數(shù)字是原兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和
(3)過程見詳解
(4)62×11,34×11,18×22,15×55,54×11
解析：(1)有共同特征的3個算式分別是：62×11,34×11,54×11,它們中都含有因數(shù)11；
(2),,,
可以發(fā)現(xiàn)：一個兩位數(shù)乘以11,乘積是一個百位數(shù),百位數(shù)字是原兩位數(shù)十位數(shù)字,各位數(shù)字是原兩位數(shù)的個位數(shù)字,十位數(shù)字是原兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和.
(3)設(shè)一個兩位數(shù)是10a+b,
,
∴規(guī)律為：一個兩位數(shù)乘以11,乘積是一個百位數(shù),百位數(shù)字是原兩位數(shù)十位數(shù)字,個位數(shù)字是原兩位數(shù)的個位數(shù)字,十位數(shù)字是原兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和.
(4)∵,,
∴所有可以應(yīng)用(或經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以應(yīng)用)上述規(guī)律的算式有：62×11,34×11,18×22,15×55,54×11.
24．答案：數(shù)據(jù)計算：,,
實驗結(jié)論：三
推廣證明：見解析
解析：數(shù)據(jù)計算：
方案一,漂洗后衣服中存有的污物是原來的,
方案二,漂洗后衣服中存有的污物是原來的,
方案三,漂洗后衣服中存有的污物是原來的,
故答案為：,,；
實驗結(jié)論：
,
方案三的漂洗效果最好,
故答案為：三；
推廣證明：
依題意可得,
選擇方案一進行一次漂洗后,衣服中存有的污物是原來的,可化為；
選擇方案二進行兩次漂洗后,衣服中存有的污物是原來的,整理得；
選擇方案三進行兩次漂洗后,衣服中存有的污物是原來的,整理得；
因為三個分式的分子,分母都是正數(shù),且分子相同,
所以要判斷三個分式值的大小,只需比較分母的大小,
因為,且,,
所以,
所以,
所以,
即方案二比方案一的漂洗效果好,
因為,且,
所以,
所以,
所以,
即方案三比方案二的漂洗效果好,
綜上,在這三種方案中,方案三的漂洗效果最好.
25．答案：(1)1
(2)為等腰直角三角形,詳見解析
(3)的周長不變,為4,詳見解析
解析：(1)過點P分別作,,的垂線,垂足分別為E、F、M,如圖
,,,
,,,
,
,
,
∵,
∴,
∴
.
(2)如圖.延長交y軸于點R,作于S,于T,
點C是垂直平分線上的點,
,
,
,
,
,
到,,的距離均為1,
,,分別平分,,,
,
,
于S,于T,平分,
,
,
,
,
,
,
為等腰直角三角形,且.
(3)的周長不變,為4,理由如下：
過點P分別作垂線,,,,連,.
將沿所在直線翻折,
,
,
,,
,,
的周長為,
,,
,
的周長為4.

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