(1)在圖2，圖3中，是的“旋補三角形”，是的“旋補中線”．
①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時，與的數(shù)量關(guān)系為______；
②如圖3，當(dāng)，時，則長為_______．
(2)在圖1中，當(dāng)為任意三角形時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
(3)如圖4，在四邊形，，，，，，在四邊形內(nèi)部是否存在點，使是的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求的“旋補中線”長；若不存在，說明理由．
2．（1）如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）將圖1中的繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線和直線交于點．
①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②圖2中的度數(shù)是 ．
（3）如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點，分別寫出的度數(shù)，線段、間的數(shù)量關(guān)系．
3．在中，，，D為的中點，E，F(xiàn)分別為，上任意一點，連接，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．

(1)如圖1，點E與點C重合，且的延長線過點B，若點P為的中點，連接，求的長；
(2)如圖2，的延長線交于點M，點N在上，且，求證：；
(3)如圖3，F(xiàn)為線段上一動點，E為的中點，連接，H為直線上一動點，連接，將沿EH翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，直接寫出線段的長度的最小值．
4．已知，如圖，正方形的邊長為，點、分別在邊、的延長線上，且，連接．
(1)證明：；
(2)將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足時，設(shè)與射線交于點，與交于點，如圖所示，試判斷線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(3)若將繞點旋轉(zhuǎn)一周，連接、，并延長交直線于點，連接，試說明點的運動路徑并求線段的取值范圍．
5．如圖，將的邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．
(1)如圖1，連接，若，，，，求的長；
(2)如圖2， 點在上， 且滿足，連接，點為上一點，連接交于點，若， ， 求證；
(3)如圖 3， 若，，，點在直線上且滿足， 將沿虛線折疊使得點的對應(yīng)點落在上，連接與折痕交于點，請直接寫出最小時，點到的距離．
6．【問題初探】
（1）如圖1，等腰中，，點為邊一點，以為腰向下作等腰，．連接，，點為的中點，連接．猜想并證明線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
【深入探究】
（2）在（1）的條件下，如圖2，將等腰繞點旋轉(zhuǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
【拓展遷移】
（3）如圖3，等腰中，，．在中，， ．連接，，點為的中點，連接．繞點旋轉(zhuǎn)過程中，
①線段與的數(shù)量關(guān)系為：__________；
②若，，當(dāng)點在等腰內(nèi)部且的度數(shù)最大時，線段的長度為__________．
7．如圖1，矩形的一邊落在矩形的一邊上，并且矩形矩形，其相似比為，矩形的邊，．
(1)矩形的面積是 ；
(2)將圖1中的矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，若旋轉(zhuǎn)過程中與夾角（圖2中的）的正切的值為，兩個矩形重疊部分的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；
(3)將圖1中的矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，連接、，的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由．
8．（1）如圖1，在正方形中，點，分別在邊，上，若，則，，之間的數(shù)量關(guān)系為： ；（提示：以點為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)
解決問題：
（2）如圖2，若把（1）中的正方形改為等腰直角三角形，，，是底邊上任意兩點，且滿足，試探究，，之間的關(guān)系；
拓展應(yīng)用：
（3）如圖3，若把（1）中的正方形改為菱形，，菱形的邊長為8，，分別為邊，上任意兩點，且滿足，請直接寫出四邊形的面積．
9．定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1，在中，，，點、分別在邊、上，，連接、，點、、分別為、、的中點，且連接、．
(1)觀察猜想
線段與______填（“是”或“不是”）“等垂線段”．
(2)繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接，，試判斷與是否為“等垂線段”，并說明理由．
(3)拓展延伸
把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出與的積的最大值．
10．把兩個等腰直角三角形和按圖所示的位置擺放，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖，連接，，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．
(1)如圖，與的數(shù)量關(guān)系是______，與的位置關(guān)系是______；
(2)如圖，中與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
(3)如圖，當(dāng)點在線段上時，求證：；
(4)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角______填度數(shù)時，的面積最大．
11．在等腰中，，，將斜邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段，交于點G，過點C作于點F．
(1)如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，若，求的長；
(2)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，連接，恰好使，延長交于點E，連接，求證：；
(3)如圖3，點M是邊上一動點，在線段上存在一點N，使的值最小時，若，請直接寫出的面積．
12．在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點，的對應(yīng)點分別是，，連接．
(1)如圖，當(dāng)點恰好在上時，求的大??；
(2)如圖，若，點是的中點，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．
(3)如圖，若點為中點，求證：、、三點共線．求的最大值．
13．如圖①，和重疊放置在一起，，且，．
(1)觀察猜想：圖①中線段與的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
(2)探究證明：把繞點順時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接，，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系如何，并說明理由；
(3)拓展延伸：若把繞點順時針旋轉(zhuǎn)，直線與直線相交于點，，則的最大值為 ．
14．問題提出
在等腰直角中，，，點分別在邊，上（不同時在點），連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，探究與的位置關(guān)系．
問題探究
(1)先將問題特殊化，如圖1，點，分別與點，重合，直接寫出與的位置關(guān)系；
(2)再探討一般情形，如圖2，證明（1）中的結(jié)論仍然成立．
(3)如圖3，在等腰直角中，，，為的中點，點在邊上，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，點是點關(guān)于直線的對稱點，若點，，在一條直線上，求的值．
15．如圖，將矩形繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點恰好落到線段上的點處，連接，連接交于點．
(1)求證：平分；
(2)取的中點，連接，求證：；
(3)若，求的長．
16．已知：正方形，以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)至，連接．
(1)若將順時針旋轉(zhuǎn)至，如圖1所示，求的度數(shù)？
(2)若將順時針旋轉(zhuǎn)度至，求的度數(shù)？
(3)若將逆時針旋轉(zhuǎn)度至，請分別求出、、三種情況下的的度數(shù)（圖2、圖3、圖4）．
17．[操作]如圖1．是等腰直角三角形，，D是其內(nèi)部的一點，連接．將繞點（順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，作直線交于點F．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)；
(3)[探究]如圖2，連接圖1中的，分別取的中點M、N、P，作．若，則的周長為
18．如圖，是等邊三角形，點D是邊的中點，以D為頂點作一個的角，角的兩邊分別交直線于M、N兩點，以點D為中心旋轉(zhuǎn)（的度數(shù)不變）
(1)如圖①，若，求證：；
(2)如圖②，若與不垂直，且點M在邊上，點N在邊上時，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；
(3)如圖③，若與不垂直，且點M在邊上，點N在邊的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
參考答案：
1．(1)①；②4
(2)
(3)存在，
2．（1）；（2）①②；（3），
3．(3)
4．(2)
(3)點P的運動路徑是：以為直徑的圓，
5．(1)
(3)
6．（1），，（2）結(jié)論，，仍然成立，（3）①；②
7．(1)
(2)
(3)存在，最大值為，最小值為
8．（1）；（2）；（3）
9．(1)是
(2)是，
(3)
10．(1)，且，
(2)成立，
(4)或
11．(1)
(3)
12．(1)
(2)四邊形是平行四邊形，
(3)②4
13．(1)，
(2)，，
(3)4
14．(1)，
(3)
15．(3)的長為
16．(1)
(2)
(3)，，
17．(2)；
(3)．
18．(2)成立，
(3)不成立，，

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