一、選擇題
1．已知集合，則( )
A.B.
C.D.
2．設(shè)，則( )
A.B.C.D.
3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量為，則( )
A.-2B.C.2D.
4．已知，，則( )
A.B.C.D.
5．設(shè)a，，則下列結(jié)論錯誤的是( )
A.若，則B.若，則
C.若，則D.若a，且，則
6．已知雙曲線的右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線l，M，N分別是l與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點若M是線段的中點，則C的漸近線方程為( )
A.B.
C.D.
7．黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑，足徑，高，其中底部圓柱高，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為( )（附：的值取3，）
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)的定義域為R，且，，設(shè)，則( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．給出下列四個命題，其中不正確命題為( )
A.是的充分不必要條件
B.是的必要不充分條件
C.是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件
D.是函數(shù)在上單調(diào)遞增的既不充分也不必要條件
10．已知函數(shù)，，是的兩個零點，且，則( )
A.B.為的極小值點
C.的極大值為4D.滿足的解集是
三、填空題
11．二項式的展開式中的常數(shù)項為___________.
12．已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)僅有兩個零點，則的值是___________.
13．已知拋物線，的焦點分別為，，一條平行于x軸的直線與，分別交于點A，B，若，則四邊形的面積為___________.
四、雙空題
14．某警察學(xué)院體育比賽包括“射擊”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“傷員搬運”、“400米障礙”六個項目，規(guī)定：每個項目前三名得分依次為a，b，c，其中，選手的最終得分為各場得分之和最終甲、乙、丙三人包攬了每個項目的前三名，在六個項目中，已知甲最終得分為26分，乙最終得分為12分，丙最終得分為10分，且丙在“射擊”這個項目中獲得了第一名，那么___________，“游泳”這個項目的第二名是___________.
五、解答題
15．已知在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.
(1)求角A；
(2)已知直線為的平分線，且與交于點M，若，，求的周長
16．已知數(shù)列的前n項和為，，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若對于任意正整數(shù)n，都有，求實數(shù)的最小值
17．某同學(xué)進行投籃訓(xùn)練，已知每次投籃的命中率均為0.5.
(1)若該同學(xué)共投籃4次，求在投中2次的條件下，第二次沒有投中的概率；
(2)設(shè)隨機變量服從二項分布，記則當(dāng)時，可認(rèn)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若保證投中的頻率在區(qū)間的概率不低于，求該同學(xué)至少要投多少次
附:若，則，.
18．如圖，在四棱錐中，底面，若四邊形為菱形，，，且E，F(xiàn)分別為，的中點
(1)試判斷直線與是否垂直，并說明理由；
(2)若四棱錐的體積為，求異面直線與所成角的余弦值
19．如圖，已知橢圓的上、下焦點分別為，，焦距為2，離心率為，稱圓心P在橢圓C上運動，且半徑為的圓P是橢圓C的“環(huán)繞圓”.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記直線與橢圓C的另一個交點為點Q，“環(huán)繞圓”P的面積為，三角形的面積為，試判斷，是否存在點P，使，若存在，求滿足條件的直線的條數(shù)，若不存在，請說明理由；
(3)若過原點O可作“環(huán)繞圓”P的兩條切線，分別交橢圓C于A、B兩點，直線，的斜率存在，記為，，求的取值范圍
20．已知函數(shù).
(1)若，是定義在R上的函數(shù)，，.證明：當(dāng)時，為周期函數(shù)
(2)若曲線在處的切線方程為，設(shè)，為的導(dǎo)函數(shù)，且有兩個極值點，.證明：
參考答案
1．答案：B
解析：由題意，集合，或，
所以，
故選：B.
2．答案：B
解析：，
則，
故選：B.
3．答案：A
解析：由題在上的投影向量為，
又，，即，
.
故選：A.
4．答案：C
解析：因為，
所以，
所以，
，
兩式相加可得：
，
所以
，
所以，
解得
故選：C.
5．答案：B
解析：對于A，若，則，則，正確；
對于B，若，則，則，不正確；
對于C，若，則，正確；
對于D，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，正確
故選：B.
6．答案：C
解析：設(shè)雙曲線的右焦點，過第一象限的漸近線方程為，
當(dāng)時，，即，又，
因為M是線段的中點，所以，得，
所以，即，
所以C的漸近線方程為.
故選：C.
7．答案：B
解析：設(shè)該圓臺的母線長為l，兩底面圓半徑分別為R，r（其中），
則，，，
所以，
故圓臺部分的側(cè)面積為，
圓柱部分的側(cè)面積為，
故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為.
故選：B.
8．答案：C
解析：由，，
令，得，即，
令，得，即，
令，得，即，
令，得，即，
同理可得，，，，
則
.
故選：C.
9．答案：ABD
解析：對于A項，設(shè)函數(shù)，
因為在R上單調(diào)遞增，
則，
因為在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，即，所以充分性成立；
若，即，
又因為在R上單調(diào)遞增，所以，必要性成立；
所以“”是“”的充要條件，A不正確
對于B項，取，滿足，但是不滿足，
則“”不是“”的必要條件，B不正確
對于C項，時，的定義域為R關(guān)于原點對稱，
又因為，
所以是定義在R奇函數(shù)，所以充分性成立；
若為奇函數(shù)，則
并且，又因為，
則，所以必要性成立
故是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，所以C正確
對于D項，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，故必要性成立，所以D項不正確
故選：ABD.
10．答案：BCD
解析：因為，是的兩個零點，
則，
即，，
則，
所以，
即，
解得，則，即.
對于A，，故A錯誤；
對于B，由，
令，得或；令，得，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則為的極小值點，故B正確；
對于C，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，故C正確；
對于D，由于，畫出函數(shù)的圖像，如圖，
滿足的解集是，故D正確
故選：BCD.
11．答案：-15
解析：二項式的通項為，
由可得，
即得二項展開式中的常數(shù)項為-15.
故答案為：-15
12．答案：2
解析：為偶函數(shù)，
所以，，得，，
當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)僅有兩個零點，
所以，解得：，所以.
故答案為：2
13．答案：
解析：設(shè)，，根據(jù)題意可知，
故，即，
又由拋物線的定義可知，，
當(dāng)時，，
故，，，
所以，四邊形是平行四邊形，
故四邊形的面積為.
故答案為：.
14．答案：5；乙
解析：因為甲乙丙包攬了每個項目的前三名，
故它們的得分總和為，
故，
若，則，
此時，與矛盾；
故，故，
故，或，
若，則丙在除射擊外的5個項目共拿6分，
但其余5個項目丙拿5分或7分以上，矛盾；
故，所以丙在除射擊外的5個項目中每個項目均拿1分，共計5分；
甲共計分，則甲在除射擊外的5個項目中拿24分或25分，
若甲在除“射擊”外的5個項目中拿25分，則甲在射擊項目中拿1分，
其余5個項目中每個項目都拿5分，
此時乙在6個項目中的分?jǐn)?shù)為，符合題意；
若甲在除“射擊”外的5個項目中拿24分，
故甲在射擊中拿2分，乙拿1分，
則其余5個項目中，甲在4個項目中每個項目拿5分，1個項目中拿2分，
此時甲的總分達(dá)不到26分，
故，游泳的第二名為乙，
故答案為：5，乙
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中，由正弦定理可知
可轉(zhuǎn)化為，
即，
即，，
由在中，，
則；
(2)在中，
由，
即，
又直線為的平分線，
則，
所以，
即，
又由余弦定理可得，
即，
可知，
解得或（舍），
所以的周長為.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，
，，
當(dāng)時，；
經(jīng)檢驗，當(dāng)時，滿足上式
(2)由，
則
，
而，
所以，即的最小值為.
17．答案：(1)
(2)68
解析：(1)該同學(xué)投籃了四次，設(shè)A，B分別表示“第二次沒有投中”和“恰投中兩次”.
則有.
(2)隨機變量代表n次投籃后命中的次數(shù)，
則服從二項分布，
然后令隨機變量，
并近似視為其服從正態(tài)分布.
題目條件即為，
即的概率至少為.
由于我們有，
故命題等價于，
解得.
綜上，該同學(xué)至少要投68次
18．答案：(1)直線與不垂直，理由見解析；
(2).
解析：(1)直線與不垂直，證明如下：
假設(shè)，連接，
連接，由E，F(xiàn)分別為，的中點，得，
由平面，得平面，
而平面，則，
又，，平面，
于是平面，又平面，
則，由四邊形是菱形，
得，因此，與矛盾，
所以直線與不垂直
(2)菱形中，，，
則，
菱形的面積，而平面，
于是四棱錐的體積為，解得，
由，平面，
得，
，
，
由，得或其補角即為異面直線與所成的角，
在中，，
由余弦定理得，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
19．答案：(1)；
(2)存在，2條；
(3).
解析：(1)由題意，，得，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
(2)由(1)知：，顯然直線不與y軸重合，
設(shè)直線為，，
聯(lián)立，
得，顯然，
所以，，
則，
圓P半徑為1，則，
故，
所以（負(fù)值舍），
即滿足條件的直線有2條；
(3)設(shè)切線方程為，
切線方程為，且，
圓P與相切，則，
化簡得，
同理，
所以，是的兩個不相等實根，
則，
又在橢圓C上，
故，則，
由，存在，則，
即，
所以.
20．答案：(1)證明見解析
(2)證明見解析
解析：(1)時，，
，
則
，
為偶函數(shù)
①，，，
②，，；
③，，.
，，為偶函數(shù)
，，
，，
即為周期函數(shù)
(2)由題意得，
由已知，，，
，
，
，
設(shè)
.
由已知，，為在上的兩個不等實根，且，
，
，
，
，
要證:，
只需證，
即證.
設(shè)，
則，
在上單調(diào)遞減，又.
.
，
原不等式成立

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