1.已知直線a，b與平面α，β，下列四個(gè)命題中正確的是( )
A. 若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，則l⊥α
B. 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b
C. 若a//α，b//β，α//β，則a//b
D. 若直線a上存在兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則a//α
2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3+a4=11，S6+S7=75，則S8=( )
A. 52B. 54C. 56D. 58
3.到直線3x?4y?11=0的距離為1的直線方程為( )
A. 3x?4y?1=0B. 3x?4y?6=0或3x?4y?16=0
C. 3x?4y+1=0或3x?4y?1=0D. 3x?4y+16=0或3x?4y?3=0
4.雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與圓x2+(y?4)2=4相切，則雙曲線C的離心率為( )
A. 2 33B. 2C. 43D. 4
5.已知直線m：ax+y+3=0與直線n：3x+(2b?1)y?1=0，(a,b>0)，且m⊥n，則2a+1b的最小值為( )
A. 12B. 8+4 3C. 15D. 10+2 3
6.在空間中，“經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)，法向量為e=(A,B,C)的平面的方程(即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)滿足的關(guān)系)是：A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=0”.如果給出平面α的方程是x?y+z=1，平面β的方程是x6?y3?z6=1，則由這兩平面所成的二面角的正弦值是( )
A. 73B. 63C. 789D. 13
7.某家庭打算為子女儲(chǔ)備“教育基金”，計(jì)劃從2021年開(kāi)始，每年年初存入一筆專用存款，使這筆款到2027年底連本帶息共有40萬(wàn)元收益.如果每年的存款數(shù)額相同，依年利息2%并按復(fù)利計(jì)算(復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息)，則每年應(yīng)該存入約( )萬(wàn)元.(參考數(shù)據(jù)：1.027≈1.149，1.028≈1.172)
A. 5.3B. 4.6C. 7.8D. 6
8.已知圓C：(x+1)2+y2=2，點(diǎn)P在直線l：x?y?3=0上運(yùn)動(dòng)，直線PA，PB與圓C相切，切點(diǎn)為A，B，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. |PA|的最小值為2
B. |PA|最小時(shí)，弦AB長(zhǎng)為 6
C. |PA|最小時(shí)，弦AB所在直線的斜率為?1
D. 四邊形PACB的面積最小值為 3
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是2，且它們彼此的夾角都是60°，P為A1D與AD1的交點(diǎn)，若AB=a，AD=b，AA1=c，則下列正確的是( )
A. CP=?a?12b+12c
B. AC1=a+b?c
C. cs(DC,AC1)= 63
D. BD1的長(zhǎng)為2 3
10.已知直線l的方程為ax?y+1=0，a∈R，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. l與直線x+ay+1=0有唯一的交點(diǎn)
B. l與橢圓x22+y2=1一定有兩個(gè)交點(diǎn)
C. l與圓(x?1)2+y2=4一定有兩個(gè)交點(diǎn)
D. 滿足與雙曲線x22?y2=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l有2條
11.某市為了改善城市中心環(huán)境，計(jì)劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移，需要拆除工廠內(nèi)一個(gè)高塔，施工單位在某平臺(tái)O的北偏東45°方向40 2m處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)A，在平臺(tái)O的正西方向240m處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)B，已知經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的圓為圓C，規(guī)定圓C及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū).以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，在平臺(tái)O的正南方向200m的P處，有一輛小汽車沿北偏西45°方向行駛，則( )
A. 觀測(cè)點(diǎn)A，B之間的距離是280m B. 圓C的方程為x2+y2+240x?320y=0
C. 小汽車行駛路線所在直線的方程為y=?x?200 D. 小汽車會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)
12.已知橢圓x29+y2b2=1(00)的離心率為 3，且過(guò)點(diǎn)(2,2)．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)圓x2+y2=4的切線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)．
(ⅰ)證明：OA⊥OB；
(ⅱ)求△OAB面積的最小值．
19.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，BD⊥PC，∠BAD=120°，四邊形ABCD是菱形，PB= 2AB= 2PA，E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)，且PE=λPD．
(1)證明：PA⊥平面ABCD．
(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值是2 1919？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
20.(本小題12分)
已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且a1=3，a1?1、a2?1、a3+1成等比數(shù)列，b1=1，a5?2b2=a3．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若cn=bn+lg2anan+1，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．
21.(本小題12分)
假設(shè)某市2023年新建住房400萬(wàn)平方米，其中有250萬(wàn)平方米是中、低價(jià)房.預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上年增長(zhǎng)8%.另外，每年新建住房中，中、低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米.求：
(1)截至到2032年底，該市所建中、低價(jià)房的面積累計(jì)(以2023年為累計(jì)的第一年)為多少萬(wàn)平方米？
(2)哪一年底，當(dāng)年建造的中、低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？
22.(本小題12分)
已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在x2+y2=4上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，若H為MN中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)H的軌跡方程；
(2)過(guò)A(0,12)作直線l交H的軌跡于P、Q兩點(diǎn)，并且交x軸于B點(diǎn).若PA=λPB，QA=μQB，求證：1λ+1μ為定值．
參考答案
1.B
2.A
3.B
4.B
5.B
6.A
7.A
8.B
9.AC
10.AC
11.BCD
12.BCD
13.8 3.2
14.[0,π3]∪[3π4,π)
15. 149?5
16.34
17.解：(1)因?yàn)檫匒C上的高所在直線方程為2x?y?9=0，設(shè)直線AC的方程為x+2y+a=0，
又因?yàn)橹本€AC過(guò)點(diǎn)A(3,2)，則a=?7，
得到直線AC的方程為x+2y?7=0，
聯(lián)立2x?y?9=0x+2y?7=0，解得C的坐標(biāo)為(1,3)；
(2)設(shè)B(a,b)，因?yàn)檫匒B上的中線所在直線方程為x?3y+8=0，
邊AC上的高所在直線方程為2x?y?9=0，
可得2a?b?9=0且a+32?3?b+22+8=0，解得a=8b=7，即B的坐標(biāo)為(8,7)．
則直線BC的方程為4x?7y+17=0．
18.解：(1)由題意得ca= 3，將(2,2)代入雙曲線中得4a2?4b2=1，
又c2=a2+b2，解得a2=2，b2=4，
故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22?y24=1；
(2)證明：(i)當(dāng)切線l的斜率為0時(shí)，方程為y=±2，
不妨設(shè)y=2，此時(shí)x22?224=1，解得x=±2，不妨設(shè)A(?2,2)，B(2,2)，
則OA?OB=(?2,2)?(2,2)=?4+4=0，所以O(shè)A⊥OB；
當(dāng)切線斜率不為0時(shí)，設(shè)為x=my+t，
由圓心到直線距離可得|t| 1+m2=2，故t2=4+4m2，
聯(lián)立x=my+t與x22?y24=1得，(2m2?1)y2+4mty+2t2?4=0，
則2m2?1≠0Δ=16m2t2?4(2t2?4)(2m2?1)>0年t2=4+4m2，
解得m≠± 22，
設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=?4mt2m2?1,y1y2=2t2?42m2?1，
故x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2，
故OA?OB=x1x2+y1y2=(1+m2)y1y2+mt(y1+y2)+t2
=(1+m2)2t2?42m2?1?4m2t22m2?1+t2=2t2?4+2m2t2?4m2?4m2t2+2m2t2?t22m2?1
=t2?4?4m22m2?1=0，
故OA⊥OB；

(ii)當(dāng)切線/的斜率為0時(shí)，△OAB的面積為12|OA||OB|=12×2 2×2 2=4，當(dāng)切線斜率不為0時(shí)，
|AB|= 1+m2 (y1+y2)2?4y1y2= 1+m22 2 t2+4m2?4|2m2?1|，
因?yàn)閠2=4+4m2，點(diǎn)O到切線AB的距離為2，
故S△OAB=12×2|AB|= 1+m22 2 8m2|2m2?1|=8 m4+m2|2m2?1|，
當(dāng)2m2?1>0時(shí)，令2m2?1=t>0，則m2=t+12，
故S△OAB=8 m4+m22m2?1=4 t2+4t+3t=4 3t2+4t+1=4 3(1t+23)2?13，
因?yàn)閠>0，所以S△OAB=4 3(1t+23)2?13>4 3×(23)2?13=4，
同理，當(dāng)t>0時(shí)，S△OAB>4，
綜上，△OAB面積的最小值為4．
19.解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以BD⊥AC，
因?yàn)锽D⊥PC，AC，PC?平面PAC，且AC∩PC=C，
所以BD⊥平面PAC，
因?yàn)镻A?平面PAC，所以BD⊥PA，
因?yàn)镻B= 2AB= 2PA，所以PB2=AB2+PA2，即AB⊥PA，
因?yàn)锳B，BD?平面ABCD，且AB∩BD=B，
所以PA⊥平面ABCD．
(2)取棱CD的中點(diǎn)F，連接AF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，∠BAD=120°，
所以△ACD為等邊三角形，故AF⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，AB，AF?平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AF，故AB，AF，AP兩兩垂直，
故以A為原點(diǎn)，分別以AB，AF，AP的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2，則A(0,0,0)，C(1, 3,0)，D(?1, 3,0)，P(0,0,2)，
故AC=(1, 3,0)，PD=(?1, 3,?2)，AP=(0,0,2)，
所以AE=AP+PE=AP+λPD=(?λ, 3λ,2?2λ)，
設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z)，
則n⊥ACn⊥AE，則n?AC=x+ 3y=0n?AE=?λx+ 3λy+(2?2λ)z=0，
令x= 3，得n=( 3,?1, 3λ1?λ)，
平面PAB的一個(gè)法向量為m=(0,1,0)，
設(shè)面PAB與面ACE所成的銳二面角為θ，
則csθ=|cs|=|n?m||n||m|=1 4+3λ2λ2?2λ+1=2 1919，
整理得3λ2+2λ?1=0，
解得λ=13或λ=?1(舍去)，
故存在實(shí)數(shù)λ=13，使得面PAB與面ACE所成銳二面角的余弦值是2 1919．
20.解：(1)由a1=3，a1?1、a2?1、a3+1成等比數(shù)列，設(shè)公差為d，
可得(a2?1)2=(a1?1)(a3+1)，即(3+d?1)2=(3?1)(3+2d+1)，解得d=±2，
∵{an}遞增，∴d=2，∴an=2n+1；
∵b1=1，a5?2b2=a3，設(shè)公比為q，可得11?2q=7，解得q=2，
∴bn=2n?1；
(2)cn=bn+lg2anan+1=2n?1+lg22n+12n+3=2n?1+[lg2(2n+1)?lg2(2n+3)]，
Sn=(20+21+22+?+2n?1)+(lg23?lg25)+(lg25?lg27)+?[lg2(2n+1)?lg2(2n+3)]
=1?2n1?2+lg23?lg2(2n+3)，
∴Sn=2n?1+lg232n+3．
21.解：(1)假設(shè)某市2023年新建住房400萬(wàn)平方米，其中有250萬(wàn)平方米是中、低價(jià)房，
預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上年增長(zhǎng)8%，
另外，每年新建住房中，中、低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米，
設(shè)中、低價(jià)房面積構(gòu)成數(shù)列{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列，
其中a1=250，d=50，則Sn=250n+n(n?1)2×50=25n2+225n，所以S10=4750，
所以截止2032年底，預(yù)計(jì)該市所建中、低價(jià)房的累計(jì)面積為4750萬(wàn)平方米；
(2)設(shè)新建住房面積構(gòu)成數(shù)列{bn}，
由題意可知{bn}是等比數(shù)列，其中b1=400，q=1.08，則bn=400×(1.08)n?1，
由題意可知an>0.85bn，所以250+(n?1)×50>400×(1.08)n?1×0.85，
經(jīng)驗(yàn)證n=1，2，3，4?可得：滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6，
所以到2028年底，當(dāng)年建造的中、低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%．
22.解：(1)設(shè)H(x,y)，M(x0,y0)，
由題意得x=x0y=y02，∴x0=xy0=2y，
由M在圓x2+y2=4，得x2+4y2=4，即x24+y2=1，∴點(diǎn)H的軌跡方程為x24+y2=1；
(2)證明：當(dāng)PQ斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+12(k≠0)，
令y=0，可得B(?12k,0)，設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
∵PA=λPB,?x1=λ(?12k?x1)，∴1λ=1+12kx2，
同理1μ=1+12kx2，1λ+1μ=2+x1+x22kx1?x2，
由y=kx+12x2+4y2=4，得(4k2+1)x2+4kx?3=0，
∴由韋達(dá)定理可得x1+x2=?4k4k2+1,x1?x2=?34k2+1，
∴1λ+1μ=2+x1+x22kx1?x2=2+?4k4k2+12k×?34k2+1=2+23=83，
當(dāng)PQ斜率不存在時(shí)，P(0,1)，Q(0,?1)，B(0,0)，
此時(shí)PA=(0,?12),PB=(0,?1),QA=(0,32),QB=(0,1)，
∴PA=12PB,QA=32QB，∴λ=12,μ=32，
∴1λ+1μ=2+23=83；
綜上所述，1λ+1μ=83為定值．

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