1.已知直線l經過點M(?1,0)，N(0,7)，則直線l的方程為( )
A. 7x+y+7=0B. 7x+y?7=0C. 7x?y?7=0D. 7x?y+7=0
2.若橢圓x2a2+y23=1(a> 3)的長半軸長等于其焦距，則a=( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
3.已知直線l1：2x+3y?1=0與直線l2：3x+(m+1)y+2=0垂直，則實數(shù)m=( )
A. 3B. ?3C. 2D. 1
4.拋物線y=?2025x2的準線方程為( )
A. x=20252B. x=20254C. y=14050D. y=18100
5.已知圓x2+y2+4x?2ay+3a2?a+1=0的圓心在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. (?1,32)B. (?1,0]C. (0,32)D. (?32,1)
6.在四面體ABCD中，E為棱AD的中點，點F為線段BE上一點，且BF=4FE，設AB=m，AC=n，AD=t，則CF=( )
A. 15m?n?25tB. 15m?n+25tC. 15m+n?25tD. 25m?n+15t
7.已知點P為圓C：(x?2)2+y2=r2(r>0)上一動點，若直線x? 3y+6=0上存在兩點A，B，滿足|AB|=4，且∠APB=90°，則r的最小值為( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
8.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，M為棱A1D1的中點，G為側面CDD1C1的中心，點P，Q分別為直線AD，AB上的動點，且PG⊥MQ，當|PQ|取得最小值時，點Q到平面PMG的距離為( )
A. 62B. 52C. 1D. 32
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知向量a，b滿足a+b=(?1,1,3)，a?2b=(?4,?2,?3)，c=(2,2,4)，則下列結論正確的是( )
A. a=(2,0,?1)B. |c|=2 6
C. b/?/cD. cs?a,a?b?=511
10.已知直線l的方程為(m+n)x+(2m?n)y+3n=0(m,n∈R)，圓C的方程為(x?1)2+y2=12，則下列結論正確的是( )
A. 直線l恒過定點(?2,1)B. 圓C的半徑為12
C. 直線l與圓C恒有兩個交點D. 圓心C到直線l距離的最大值為 10
11.已知點F為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點，點P為拋物線C上位于第一象限內的點，直線l為拋物線C的準線，點Q在直線l上，若|PF|=2+ 2，|QF|= 2，∠PFQ=90°，且直線PF與拋物線C交于另一點M，則下列結論正確的是( )
A. 直線PF的傾斜角為60°B. 拋物線C的方程為y2=2x
C. |MF||PF|=3?2 2D. 點Q在以線段PM為直徑的圓上
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知平面α的法向量為m=(2,3,z)，平面β的法向量為n=(x,1,5)，若α/?/β，x，z∈R，則xz= ______．
13.已知雙曲線C1：x2a12?y2b12=1(a1>0,b1>0)的一條漸近線與雙曲線C2：x2a22?y2b22=1(a2>0,b2>0)的一條漸近線關于直線y=x對稱，且這兩條漸近線的夾角為30°，則雙曲線C1與C2的離心率之積為______．
14.過圓M：x2+(y?2)2=1上的一個動點A作圓C：x2+y2+6x+4y+9=0的兩條切線，切點分別為P，Q，則|PQ|的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知圓C：(x?a)2+(y?b)2=r2(r>0)經過點A(?3,3)，B(?1,1)，且圓C與直線l1：x+y+2 2+2=0，l2：x+y?2 2+2=0均相切．
(1)若經過圓心C的直線l與l1，l2平行，求直線l的方程；
(2)求圓C的標準方程．
16.(本小題15分)
如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面
ABCD，PA=3，且AP=2AH，AG=GB，DP=3MP，
(1)求直線AP與直線CM所成角的余弦值；
(2)證明：M，C，G，H四點共面．
17.(本小題15分)
已知點M(2,3)在雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上，且C的實軸長為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)過點M的直線l與C交于另一點N，且點N位于x軸下方，若S△MF1F2=S△MNF1，求點N的坐標．
18.(本小題17分)
如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，|AA1|= 52|AB|，cs?AB,AA1?= 55，點E，F(xiàn)分別為AB，CC1的中點，且AD?(A1A+A1B)=0．
(1)證明：平面A1EF⊥平面ABCD；
(2)若AB=2，直線AA1與平面A1BC1所成角的正弦值為4 515，求AD的長度．
19.(本小題17分)
已知點A(x1,y1)，B(x2,y2)，定義A，B的“倒影距離”為[A,B]=|x1?y2|+|x2?y1|，我們把到兩定點F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)的“倒影距離”之和為6的點M的軌跡C叫做“倒影橢圓”．
(1)求“倒影橢圓”C的方程；
(2)求“倒影橢圓”C的面積；
(3)設O為坐標原點，若“倒影橢圓”C的外接橢圓為E，D為外接橢圓E的下頂點，過點(0,2)的直線與橢圓E交于P，Q兩點(均異于點D)，且△DPQ的外接圓的圓心為H(異于點O)，證明：直線OH與PQ的斜率之積為定值．
參考答案
1.D
2.A
3.B
4.D
5.C
6.B
7.C
8.A
9.BC
10.ACD
11.BCD
12.10
13.4 33
14.[2 3,8 23]
15.解：(1)圓C：(x?a)2+(y?b)2=r2(r>0)經過點A(?3,3)，B(?1,1)，且圓C與直線l1：x+y+2 2+2=0，l2：x+y?2 2+2=0均相切．
直線l到直線l1，l2的距離都等于圓的半徑，
設直線l的方程為x+y+m=0，
則|2 2+2?m| 2=|?2 2+2?m| 2，解得m=2，
所以直線l的方程為x+y+2=0；
(2)由題意可得(?3?a)2+(3?b)2=r2(?1?a)2+(1?b)2=r2a+b+2=0，
解得a=?3b=1r2=4，
所以圓C的標準方程為(x+3)2+(y?1)2=4．
16.解：(1)連接AC，∵四邊形ABCD為菱形，
又∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，
取BC的中點E，連接AE，則AE⊥BC，∴AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥AE，
以A為原點，以AE，AD，AP所在直線分別為x 軸、y 軸、z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系A?xyz．

則A(0,0,0),P(0,0,3),C( 3,1,0)，D(0,2,0),AP=(0,0,3)，由DP=3MP，
可知M(0,23,2)，∴CM=(? 3,?13,2)，
∴cs?AP,CM?=AP?CM|AP||CM|=6 32× 3+19+4=63×83=34；
(2)證明：∵AP=2AH,AG=GB，∴G，H分別為AB，AP中點，
則H(0,0,32)，G( 32,?12,0)，連接CG，CH，則CH=(? 3,?1,32)，CG=(? 32,?32,0)，
設CH=μCG+λCM，由(1)知CM= (? 3,?13,2)，
則(? 3,?1,32)=μ(? 32,?32,0)+λ(? 3,?13,2)=(? 32μ? 3λ,?32μ?13λ,2λ)，
則? 32μ? 3λ=? 3,?32μ?13λ=?1,2λ=32,
解得μ=12,λ=34，
∴CH=12CG+34CM，
故M，C，G，H四點共面．
17.解：(1)因為點M(2,3)在雙曲線C上，且雙曲線的實軸長為2，
所以2a=24a2?9b2=1，
解得a=1,b= 3，
則雙曲線C的標準方程為x2?y23=1；
(2)因為S△MF1F2=S△MNF1，
所以點N，F(xiàn)2 到直線MF1的距離相等，
因為點N位于x軸下方，
所以NF2//MF1，
由(1)知，F(xiàn)1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，
所以kNF2=kMF1=3?02?(?2)=34，
則直線NF2的方程為y=34(x?2)，
聯(lián)立y=34(x?2)x2?y23=1，消去y并整理得13x2+12x?28=0，
解得x=1413或x=?2，
當x=1413時，
解得y=?913，
即N(1413,?913)；
當x=?2時，
解得y=?3，
即N(?2,?3)．
綜上，點N的坐標為(1413,?913)或(?2,?3)．

18.(1)證明：設AB=2a，則AA1= 5a，
因為A1B=AB?AA1，
所以|A1B|2=(AB?AA1)2=AB2?2AB?AA1+AA12=4a2?2?2a? 5a? 55+5a2=5a2，
所以|A1B|= 5a，即AA1=A1B，
因為E為AB的中點，
所以AB⊥A1E，且A1A+A1B=2A1E，
所以AD?(A1A+A1B)=2AD?A1E=0，即AD⊥A1E，
又AB∩AD=A，AB，AD?平面ABCD，
所以A1E⊥平面ABCD，
因為A1E?平面A1EF，
所以平面A1EF⊥平面ABCD．
(2)解：由AB=2，可得AE=1,AA1= 5，則A1E= 5?1=2，
以點E為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
設AD=b(b>0)，
則E(0,0,0)，A1(0,0,2)，A(?1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,b,0)，
所以AA1=(1,0,2),A1C1=AC=(2,b,0),A1B=(1,0,?2)，
設平面A1BC1的法向量為m=(x,y,z)，則m?A1C1=2x+by=0m?A1B=x?2z=0，
令z=b，則x=2b，y=?4，所以m=(2b,?4,b)，
設直線AA1與平面A1BC1所成角為θ，
則sinθ=|cs|=|m?AA1||m|?|AA1|=4b 4b2+16+b2× 5=4 515，
解得b=±2(舍負)，
所以AD的長度為2．
19.解：(1)設M(x,y)，∵定點F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，
由“倒影距離”的定義可知，[M,F1]=|x?0|+|?2?y|=|x|+|y+2|，
[M,F2]=|x?0|+|2?y|=|x|+|y?2|，
由題意[M,F1]+[M,F2]=6，即2|x|+|y+2|+|y?2|=6，
∴“倒影橢圓”C的方程為2|x|+|y+2|+|y?2|=6；
(2)由2|x|+|y+2|+|y?2|=6，
得2|x|=6?|y+2|?|y?2|，
當x≥0時，x=y+3,?3≤y≤?21,?2

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