考點(diǎn)1：平行線
（2021秋?江陰市期末）有下列說法：①兩條不相交的直線叫平行線；②同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③兩條直線相交所成的四個(gè)角中，如果有兩個(gè)角相等，那么這兩條直線互相垂直；④有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角．其中說法正確的個(gè)數(shù)是
A．1B．2C．3D．4
（2022春?海陽市期末）若，是直線外不重合的兩點(diǎn)，則下列說法不正確的是
A．直線可能與直線垂直
B．直線可能與直線平行
C．過點(diǎn)的直線一定與直線相交
D．過點(diǎn)只能畫出一條直線與直線平行
（2022春?東麗區(qū)期末）下列說法：
①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段叫做平行線；
②過一點(diǎn)，有且只有一條直線平行于已知直線；
③兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等；
④同旁內(nèi)角相等，兩直線平行．
正確的個(gè)數(shù)有 個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
（2021秋?蘭考縣期末）下列命題中，真命題是
A．互補(bǔ)兩角若相等，則此兩角都是直角
B．直線是平角
C．不相交的兩條直線叫做平行線
D．和為的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角
（2022春?麒麟?yún)^(qū)期末）下列說法正確的是
A．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，，則
B．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，，則
C．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，，則
D．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，，則
（2022春?東平縣期末）在同一平面內(nèi)，直線、、中，若，，則、的位置關(guān)系是 ．
（2022春?海州區(qū)校級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，若，，則與的位置關(guān)系是 ．
（2022春?田東縣期末）一副透明的直角三角尺，按如圖所示的位置擺放．如果把三角尺的每條邊看成線段，請(qǐng)根據(jù)圖形解答下列問題：
（1）找出圖中一對(duì)互相平行的線段，并用符號(hào)表示出來；
（2）找出圖中一對(duì)互相垂直的線段，并用符號(hào)表示出來；
（3）找出圖中的一個(gè)鈍角、一個(gè)直角和一個(gè)銳角，用符號(hào)把它們表示出來，并求出它們的度數(shù)．（不包括直角尺自身所成的角）
考點(diǎn)2：平行公理及推論
（2021秋?鳳翔縣期末）下列說法正確的是
A．過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
B．不相交的兩條直線叫做平行線
C．直線外一點(diǎn)到該直線的所有線段中垂線最短
D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
（2021秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）下列說法：①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；②在數(shù)軸上與表示的點(diǎn)距離是3的點(diǎn)表示的數(shù)是2；③相等的角是對(duì)頂角；④過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行；⑤若，則點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，其中錯(cuò)誤的有
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
（2022春?趙縣期末）在同一平面內(nèi)，下列說法：①過兩點(diǎn)有且只有一條直線；②兩條不相同的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；③經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；④經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，其中正確的個(gè)數(shù)為
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
（2022春?濟(jì)陽區(qū)校級(jí)期末）下列說法正確的是
A．同位角相等
B．在同一平面內(nèi)，如果，，則
C．相等的角是對(duì)頂角
D．在同一平面內(nèi)，如果，，則
（2022春?平輿縣期末）下列說法正確的是
A．有且只有一條直線與已知直線平行
B．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
C．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這點(diǎn)到這條直線的距離
D．在平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
（2022春?大荔縣期末）如圖，已知，，所以點(diǎn)、、三點(diǎn)共線的理由 ．
考點(diǎn)3：平行線的判定
（2022春?樂亭縣期末）如圖，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，下列條件不能判斷的是
A．B．C．D．
（2022春?東港區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，下列條件中能判定的是
A．B．C．D．
（2022春?淮北期末）如圖，下列條件中可以判定的是
A．B．C．D．
（2022春?旌陽區(qū)期末）如圖所示，直線、被、所截，下列條件中能說明的是
A．B．C．D．
（2022春?大荔縣期末）如圖所示，下列條件中不能推出成立的條件是
A．B．C．D．
（2022春?冠縣期末）如圖，和分別為直線與直線和相交所成角．如果，那么添加下列哪個(gè)條件后，可判定
A．B．C．D．
（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，下列條件中不能判定的是
A．B．C．D．
（2022春?宣恩縣期末）如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，下列條件中能判斷的是
A．B．C．D．
（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知，，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
考點(diǎn)4：平行線的性質(zhì)
（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線，如果，，那么的度數(shù)是
A．B．C．D．
（2022春?蒼溪縣期末）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片進(jìn)行折疊，若，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
（2022春?港南區(qū)期末）將一副直角三角板按如圖方式擺放，若直線，則的大小為
A．B．C．D．
（2022春?棲霞市期末）如圖，直線，如果，，那么的度數(shù)是
A．B．C．D．
（2022春?確山縣期末）如圖，，分別交，于，，，已知，則的度數(shù)是
A．B．C．D．
考點(diǎn)5：平行線的判定與性質(zhì)
（2022春?襄州區(qū)期末）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們用兩個(gè)大小、形狀都相同的三角板畫平行線，，貝貝、晶晶、歡歡三位同學(xué)的做法如圖所示：上述三位同學(xué)的做法中，依據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的是
A．僅貝貝同學(xué)B．貝貝和晶晶C．晶晶和歡歡D．貝貝和歡歡
（2022春?東莞市期末）如圖，，將一副直角三角板作如下擺放，，．下列結(jié)論：
①；
②；
③；
④．
其中正確的個(gè)數(shù)是
A．1B．2C．3D．4
（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)期末）如圖，，平分交于，，，，分別是，延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，和的平分線交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③平分；④，其中正確的有
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
（2022春?安新縣期末）如圖，將一副三角板按如圖放置，，，，則下列結(jié)論正確的有 個(gè)．
①；
②；
③如果，則有；
④如果，則有．
A．4B．3C．2D．1
（2022春?順城區(qū)期末）如圖，直線，被兩條直線所截，若，，，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
（2022春?沂源縣期末）如圖，已知，，那么的度數(shù)是
A．B．C．D．
考點(diǎn)6：三角形內(nèi)角和定理
（2021秋?鳳陽縣期末）以下說法正確的有
①三角形的中線、角平分線都是射線；
②三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)；
③三角形的三條角平分線在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)；
④三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分；
⑤直角三角形的三條高相交于直角頂點(diǎn)．
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
（2022春?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，把沿翻折，疊合后的圖形如圖，若，，則的度數(shù)是
A．B．C．D．
（2022春?嵩縣期末）在中，，則的形狀是
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．形狀無法確定
（2022春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，是的角平分線，，垂足為．若，，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
（2021秋?禮泉縣期末）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
（2021秋?涪陵區(qū)期末）如圖，鈍角中，為鈍角，為邊上的高，為的平分線，則與、之間有一種等量關(guān)系始終不變，下面有一個(gè)規(guī)律可以表示這種關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)的是
A．B．C．D．
考點(diǎn)7：三角形的外角性質(zhì)
（2022春?泗水縣期末）如圖，是的外角的平分線，若，，則
A．B．C．D．
（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線，如果，，那么的度數(shù)是
A．B．C．D．
（2021秋?薛城區(qū)期末）如圖，已知，，則
A．B．C．D．
（2021秋?思南縣期末）如果將一副三角板按如圖的方式疊放，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
（2021秋?百色期末）如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么的度數(shù)是
A．B．C．D．
（2021秋?平泉市期末）如圖，下列說法中錯(cuò)誤的是
A．不是三角形的外角B．是三角形的外角
C．D．
（2021秋?塔城地區(qū)期末）如圖，若，，．則
A．B．C．D．
考點(diǎn)8：命題與定理
（2022春?海淀區(qū)期末）下列命題是真命題的是
A．同位角相等B．內(nèi)錯(cuò)角相等C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)D．鄰補(bǔ)角互補(bǔ)
（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）下列四個(gè)命題中，是假命題的是
A．過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行
B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
C．三角形任意兩邊之和大于第三邊
D．如果，，那么
（2022春?海滄區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于命題“如果，那么”，能說明它是假命題的反例是
A．，B．，C．，D．，
（2022春?電白區(qū)期末）給出下列命題：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；③直角三角形的兩個(gè)銳角互余通；④全等三角形的面積相等．其中，逆命題為假命題的個(gè)數(shù)是
A．1B．2C．3D．4
（2021秋?埇橋區(qū)期末）下列命題中是真命題的是
A．相等的角是對(duì)頂角B．無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)
C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)D．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)
（2021秋?虎林市校級(jí)期末）有下列命題：某中正確的有
①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；
②直角三角形兩銳角互余；
③有一個(gè)外角等于的等腰三角形是等邊三角形；
④三角形的一個(gè)外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角；
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
（2021秋?封丘縣期末）下列命題是真命題的是
①兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；
②有兩個(gè)角為的三角形一定是等邊三角形；
③全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等；
④等腰三角形的角平分線，高線，中線相互重合．
A．②③B．②④C．①③D．①②
考點(diǎn)9：推理與論證
（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）李明、王華、周亮和張紅四名同學(xué)參加了“華羅庚杯”競(jìng)賽選拔賽，王華和張紅兩個(gè)同學(xué)的得分和等于周亮和李明的得分和；李明與王華的得分和大于周亮和張紅的得分和，張紅的得分超過周亮與王華的得分和，則這四位同學(xué)的得分由大到小的順序是
A．李明，張紅，周亮，王華B．李明，張紅，王華，周亮
C．張紅，李明，周亮，王華D．張紅，李明，王華，周亮
（2022春?棲霞市期末）小明花整數(shù)元網(wǎng)購了一本《趣數(shù)學(xué)》，讓同學(xué)們猜書的價(jià)格．甲說：“至少15元”，乙說“至多13元”，丙說：“至多10元”．小明說：“你們都猜錯(cuò)了．”則這本書的價(jià)格為
A．12元B．13元C．14元D．無法確定
（2021秋?開福區(qū)校級(jí)期末）甲、乙、丙三個(gè)學(xué)生分別在、、三所大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)中的一個(gè)專業(yè)，若已知：①甲不在校學(xué)習(xí)；②乙不在校學(xué)習(xí)；③在校學(xué)習(xí)的學(xué)數(shù)學(xué)；④在校學(xué)習(xí)的不學(xué)化學(xué)；⑤乙不學(xué)物理，則
A．甲在校學(xué)習(xí)，丙在校學(xué)習(xí)B．甲在校學(xué)習(xí)，丙在校學(xué)習(xí)
C．甲在校學(xué)習(xí)，丙在校學(xué)習(xí)D．甲在校學(xué)習(xí)，丙在校學(xué)習(xí)
（2020秋?越城區(qū)期末）最近網(wǎng)上一個(gè)燒腦問題的關(guān)注度很高（如圖所示），通過仔細(xì)觀察、分析圖形，你認(rèn)為打開水龍頭，哪個(gè)標(biāo)號(hào)的杯子會(huì)先裝滿水
A．3號(hào)杯子B．5號(hào)杯子C．6號(hào)杯子D．7號(hào)杯子
（2021春?新羅區(qū)期末）小英、小亮、小明和小華四名同學(xué)參加了“學(xué)用杯”競(jìng)賽選拔賽，小亮和小華兩個(gè)同學(xué)的得分和等于小明和小英的得分和；小英與小亮的得分和大于小明和小華的得分和，小華的得分超過小明與小亮的得分和．則這四位同學(xué)的得分由大到小的順序是
A．小明，小亮，小華，小英B．小華，小明，小亮，小英
C．小英，小華，小亮，小明D．小亮，小英，小華，小明
（2021秋?鯉城區(qū)期末）某單位設(shè)有6個(gè)部門，共153人，如表：
參與了“學(xué)黨史，名師德、促提升”建黨100周年，“黨史百題周周答活動(dòng)”，一共十道題，每小題10分，滿分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一個(gè)部門還沒有參與答題，其余五個(gè)部門全部完成了答題，完成情況如表：
綜上所述，未能及時(shí)參與答題的部門可能是 ．
（2022春?康巴什期末）在下面的四個(gè)圖形中，已知，那么能判定的是
A．B．
C．D．
（2021秋?歷下區(qū)期末）下列命題中是假命題的是
A．直角三角形的兩個(gè)銳角互余B．同位角相等，兩直線平行
C．對(duì)頂角相等D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)
（2022春?惠州期末）下列命題中的真命題是
A．同位角相等
B．如果一個(gè)數(shù)有平方根，那么這個(gè)數(shù)的平方根一定有兩個(gè)
C．實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的
D．如果，則
（2022春?西城區(qū)校級(jí)期末）下列命題中，是真命題的是
A．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)
C．如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行
D．兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么內(nèi)錯(cuò)角也相等
（2022春?邵東市期末）如圖．在下列條件中，不能推出的條件是
A．B．
C．，且D．
（2021秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）下列說法正確的個(gè)數(shù)是
①兩點(diǎn)之間，直線最短
②若，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；
③過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；
④過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
A．4B．3C．2D．1
（2022春?樂東縣期末）如圖，一塊三角板的角的頂點(diǎn)，放在直尺的一邊，若，則
A．B．C．D．
（2022春?崇川區(qū)期末）如圖，彎形管道的拐角，要保證管道，則等于
A．B．C．D．
（2022春?黔江區(qū)期末）如圖，已知，點(diǎn)在兩平行線之間，連接，，的平分線與的平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則等于
A．B．C．D．
（2022春?良慶區(qū)校級(jí)期末）如圖，將矩形紙片沿折疊，得到，與交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
（2022春?福山區(qū)期末）如圖，已知，，，平分，則
A．B．C．D．
（2022春?天元區(qū)校級(jí)期末）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片沿折疊，使頂點(diǎn)，分別落在點(diǎn)、處，交于點(diǎn)，若，則
A．B．C．D．
（2022春?關(guān)嶺縣期末）如圖，某沿湖公路有三次拐彎，若第一次的拐角，第二次的拐角，第三次的拐角為，第三次拐彎后的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則的度數(shù)是
A．B．C．D．
（2022春?東港區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知，平分，平分，則下列結(jié)論中：①；②；③平分；④，正確的個(gè)數(shù)有
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
（2021秋?包頭期末）將一副三角板如圖放置，使點(diǎn)落在上，三角板的頂點(diǎn)與三角板的直角頂點(diǎn)重合，若，與交于點(diǎn)，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
（2022春?遵化市期末）如圖，下列條件：①；②；③；④；⑤；其中能判斷直線的有
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
（2022春?東坡區(qū)期末）如圖，中，平分，點(diǎn)在線段上，且交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
（2021秋?滕州市期末）如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，且平分，平分，若，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
（2021秋?南昌期末）定理：三角形的內(nèi)角和等于．
已知：的三個(gè)內(nèi)角為、、．
求證：．
下列說法正確的是
A．證法1采用了從特殊到一般的方法證明了該定理
B．證法1還需要測(cè)量一百個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理
C．證法2還需證明其它形狀的三角形，該定理的證明過程才完整
D．證法2用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理
（2022春?淇濱區(qū)期末）如圖，，點(diǎn)，分別在射線，上運(yùn)動(dòng)，平分，的反向延長(zhǎng)線與的平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是
A．B．C．D．
（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖在中，，分別平分，，交于，為外角的平分線，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，記，，則以下結(jié)論①，②，③，④正確的是
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
（2022春?余江區(qū)期末）如圖所示，、、三點(diǎn)在同一直線上，、、三點(diǎn)在同一直線上，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使，你添加的條件是 （不允許添加任何輔助線）．
（2022春?皇姑區(qū)期末）若三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”，其中稱為“智慧角”．在有一個(gè)角為的“智慧三角形”中，“智慧角”是 度．
（2022春?開福區(qū)校級(jí)期末）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某數(shù)學(xué)老師將共十個(gè)整數(shù)依次寫在十張不透明的卡片上（每張卡片上只寫一個(gè)數(shù)字，每一個(gè)數(shù)字只寫在一張卡片上，而且把寫有數(shù)字的那一面朝下）．他先像洗撲克牌一樣打亂這些卡片的順序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)叫到講臺(tái)上，隨機(jī)地發(fā)給每位同學(xué)兩張卡片，并要求他們把自己手里拿的兩張卡片上的數(shù)字之和寫在黑板上，寫出的結(jié)果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；?。?；戊：17，則丙同學(xué)手里拿的卡片的數(shù)字是 ．
（2022春?高新區(qū)校級(jí)期末）已知中，平分，點(diǎn)在射線上．
（1）如圖1，若，，求的度數(shù)；
（2）如圖2，若，，求的度數(shù)；
（3）若，，直線與的一條邊垂直，求的度數(shù)．
（2021秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖所示，在內(nèi)有一點(diǎn)．
（1）過畫；
（2）過畫；
（3）用量角器量一量與相交的角與的大小有怎樣關(guān)系？
（2021秋?三元區(qū)期末）如圖1，已知，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）如圖2，平分，平分，分別交直線于點(diǎn)，，連接，若，，求的度數(shù)．
（2022春?青島期末）實(shí)際問題
某商場(chǎng)為鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)計(jì)了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎(jiǎng)時(shí)可以從50張面值分別為1元、2元、3元、、50元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取2張、3張、4張、等若干張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額．某顧客獲得了一次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？
問題建模
從1，2，3，，為整數(shù)，且這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？
模型探究
我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問題的方法．
探究一：
（1）從1，2，3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？
表①
如表①，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是5，所以共有3種不同的結(jié)果．
（2）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？
表②
如表②，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是7，所以共有5種不同的結(jié)果．
（3）從1，2，3，4，5，6這6個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有 9 種不同的結(jié)果．
（4）從1，2，3，，為整數(shù)，且這個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有 種
不同的結(jié)果．
探究二：
（1）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有 種不同的結(jié)果．
（2）從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有 種不同的結(jié)果．
（3）從1，2，3，，為整數(shù)，且這個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有 種不同的結(jié)果．
探究三：
從1，2，3，，為整數(shù)，且這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和共有 種不同的結(jié)果．
歸納結(jié)論
從1，2，3，，為整數(shù)，且這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有 種不同的結(jié)果．
問題解決
從50張面值分別為1元、2元、3元、、50元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張獎(jiǎng)券，共有 種不同的優(yōu)惠金額．
部門
部門1
部門2
部門3
部門4
部門5
部門6
人數(shù)
25
16
23
32
43
14
分?jǐn)?shù)
100
90
80
70
60
50及以下
比例
5
2
1
1
1
0
證法1：如圖．
，，，
（量角器測(cè)量）
，（計(jì)算所得）
．（等量代換）
證法2：如圖，延長(zhǎng)到，過點(diǎn)作．
（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
（兩直線平行，同位角相等）．
（平角定義），
（等量代換），
即．
所取的2個(gè)整數(shù)
1，2
1，3
2，3
2個(gè)整數(shù)之和
3
4
5
所取的2個(gè)整數(shù)
1，2
1，3
1，4
2，3
2，4
3，4
2個(gè)整數(shù)之和
3
4
5
5
6
7

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