廣東省廣州市荔灣區(qū) 2023-2024 學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)期末數(shù)學(xué)模擬試
題
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分）
下列圖形中，為中心對(duì)稱圖形的是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180? ，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形可得答案．
本題考查了中心對(duì)稱圖形，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確； C、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：B．
拋物線 y=5? x ? 4?2 ? 2 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A. ?2, 4?
B. ?4, 2?
C. ?2, ?4?
D. ??4, 2?
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【詳解】拋物線 y=5? x ? 4?2 ? 2 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是： ?4, 2? ．故選 B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù) y=a ? x ? h?2 ? k 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，
k）是解題的關(guān)鍵．
如圖，點(diǎn) A，B，C 在?O 上，若?AOB ? 140? ，則DACB 的度數(shù)為（）
A. 40?B. 50?C. 70?D. 140?
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出答案．
【詳解】解：? ?AOB? 140? ，
??ACB ? 70? ， 故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
反比例函數(shù) y ? k ?k ? 0? 的圖象在直角坐標(biāo)系中的位置如圖，若點(diǎn) A（- 1，y ）， B（2，y ），
x12
C（3，y ）的在函數(shù) y ? k ?k ? 0? 的圖象上，則 y ， y ， y 的大小關(guān)系為（）
3x123
y1＜y2＜y3
y2＜y1＜y3
y3＜y2＜y1
y2＜y3＜y1
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式中的比例系數(shù) k 確定函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及函數(shù)的增減性解答．
【詳解】解：∵反比例函數(shù) y ? k ?k ? 0? 的圖象在二、四象限，
x
∴ k＜0 ，
∴點(diǎn) A（- 1，y1）在第二象限，
∴ y1＞0 ，
∵ 3＞2＞0 ，
∴ B（2，y2）， C（3，y3）兩點(diǎn)在第四象限，
∴ y2＜0，y3＜0 ，
∵函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)為增函數(shù)，
∴ y2＜y3＜0 ．
∴ y1 ， y2 ， y3 的大小關(guān)系為 y2＜y3＜y1 ． 故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖象增減性，當(dāng) k＜0 時(shí)，該
反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限內(nèi) y 隨 x 的增大而增大．
暑假即將來臨，小明和小亮每人要從甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)社區(qū)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，那么小明和小亮選到同一社區(qū)參加實(shí)踐活動(dòng)的概率為（ ）
11
A.B.
23
11
C.D.
69
【答案】B
【解析】
【詳解】解：畫樹狀圖得：
∵共有 9 種等可能的結(jié)果，小明和小亮選到同一社區(qū)參加實(shí)踐活動(dòng)的有 3 種情況，
∴小明和小亮選到同一社區(qū)參加實(shí)踐活動(dòng)的概率為： 3 ? 1
93
故選 B
拋物線 y ? ? x ? 2?2 ? 2 與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）
A. ?2，2?
B. ?0，6?
C. ?0，2?
D. ?0，4?
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的知識(shí)．根據(jù)題意得出 x ? 0 ，然后求出 y 的值，即可以得到與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：令 x ? 0 ，得 y ? ? x ? 2?2 ? 2 ? ?0 ? 2?2 ? 2 ? 6 ，故與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是： ?0，6? ．
故選：B．
如圖，四邊形 ABCD 是?O 的內(nèi)接四邊形，點(diǎn) E 是 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若?BAD ? 114? ，則DDCE
的度數(shù)是（）
A. 94?B. 124?C. 104?D. 114?
【答案】D
【解析】
【分析】直接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：??BAD ? 114? ，
??BCD ? 180? ? ?BAD ? 180? ?114? ? 66? ，
??DCE ? 180? ? ?BCD ? 180? ? 66? ? 114?
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角．
如圖，在 Rt? ABC 中， ?C ? 90?, ?ABC ? 30?, AC ? 1cm, 將 Rt? ABC 繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到
Rt△AB?C? ，使點(diǎn)C? 落在 AB 邊上，連接 BB?，則 BB?的長(zhǎng)度是（ ）
C.3cm
A. 1cmB. 2cmD. 2 3cm
【答案】B
【解析】
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知， ?CAB=∠BAB' ? 60? ，進(jìn)而得出?BAB' 為等邊三角形，進(jìn)而求出
BB' =AB=2 ．
【詳解】解：∵ ?C ?
90?, ?ABC ? 30?, AC ? 1cm,
由直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可知，
∴ AB=2 AC=2 cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知： ?CAB=∠BAB' ? 60? ，且 AB=AB' ，
∴ ?BAB' 為等邊三角形，
∴ BB' =AB=2 ．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中 30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，熟練掌握其性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵．
某地有一座圓弧形拱橋，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)） 24m ，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離） 4m ，則求拱橋的半徑為（）
A. 16mB. 20mC. 24mD. 28m
【答案】B
【解析】
【分析】如圖所示（見詳解），設(shè)圓弧形拱橋所在為位置的圓的圓心為O ，可得半徑OA ? OC ? OB ，根據(jù)垂徑定理，可知Rt? AOD ，設(shè)OA ? OC ? OB ? r ，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)圓弧形拱橋所在為位置的圓的圓心為O ，
∵圓弧形拱橋的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)） 24m ，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離） 4 米，
∴ AB ? 24m ， CD ? 4m ，且半徑OA ? OC ? OB ，
設(shè)OA ? OC ? OB ? r ，在Rt? AOD 中， AD ? BD ? 1 AB ? 1 ? 24 ? 12 ， OD ? r ? 4 ，
22
∴ r 2 ? 122 ? (r ? 4)2 ，解方程得， r ? 20 ，
∴拱橋的半徑為20m ， 故選： B ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與直角三角形的綜合，掌握?qǐng)A的垂徑定理，直角三角形的勾股定理是解題的關(guān)鍵．
如圖，矩形 ABCD 的頂點(diǎn) A、B 分別在反比例函數(shù) y ? 4 ? x ? 0? 與 y ? ? 2 ? x ? 0? 的圖像上，點(diǎn) C、
xx
D 在 x 軸上， AB、BD 分別交 y 軸于點(diǎn) E、F，則陰影部分的面積等于（）
10115
A.B. 2C.D.
363
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè) A（a 4 、 a＞0 ，根據(jù)題意：利用函數(shù)關(guān)系式表示出線段OD、OE、OC、OF、EF ，然后
， ）
a
利用三角形的面積公式計(jì)算即可．
， ）
aa
∴點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)為 4 ．
a
∴點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為? a ．
2
∴ OC ? a ．
2
∴ BE ? a ．
2
∵ AB ∥CD ，
∴?BEF ??DOF ，
∴ EF ? BE
? 1 ．
OFOD2
∴ EF ? 1 OE ? 4 , OF ? 2 OE ? 8 ．
33a33a
∴ S? 1 EF ? BE ? 1 ?
?
4 ? a ? 1 ．

?BEF
223a23
S? 1 ? OD ? OF ? 1 ? a ? 8 ? 4 ．
?ODF
223a3
∴ S? S? S
? 1 ? 4 ? 5 ．

陰影? BEF
故選：D．
?ODF
333
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)的圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征、矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分．）
若 2 是關(guān)于 x 的方程 x2 ? c ? 0 的一個(gè)根，則c ?．
【答案】4
【解析】
【分析】將 x ? 2 代入方程可得一個(gè)關(guān)于c 的一元一次方程，解方程即可得． 本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握解的意義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意，將 x ? 2 代入方程 x2 ? c ? 0 得： 22 ? c ? 0 ， 解得c ? 4 ，
故答案為：4．
點(diǎn)（2，3）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．
【答案】(?3, 2)
過點(diǎn)A 作 AB ^x 軸于點(diǎn) B ，則OB ? 2, AB ? 3 ，
因?yàn)辄c(diǎn) A?, B?分別是點(diǎn) A, B 繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)， 所以O(shè)B? ? OB ? 2, A?B? ? AB ? 3, A?B? ? y 軸，
又因?yàn)辄c(diǎn) A? 位于第二象限， 所以點(diǎn) A? 的坐標(biāo)為(?3, 2) ， 故答案為： (?3, 2) ．
【點(diǎn)睛】本題考查了求繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 的點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
一口袋中裝有 10 個(gè)紅球和若干個(gè)黃球（這些球除顏色外都相同），通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)得知，摸到紅球的頻率為 0.4．據(jù)此估計(jì)：口袋中約有個(gè)黃球．
【答案】15
【解析】
【分析】通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)得知，摸到紅球的頻率為 0.4，即紅球占總數(shù)的 0.4，列方程求解即可．
10
【詳解】解：設(shè)有黃球 x 個(gè)，由題意得，
10 ? x
? 0.4 ，
解得， x ? 15 ，
經(jīng)檢驗(yàn)， x ? 15 是原方程的解， 故答案為：15
【點(diǎn)睛】本題考查頻率估計(jì)概率，理解頻率和概率之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．
123
14. 已知 A??1, y ?, B ?1, y
?, C ?4, y
? 三點(diǎn)都在二次函數(shù) y ? ?? x ? 3?2 ? k 的圖象上，則 y , y , y 的大小
123
關(guān)系為
【答案】 y1 ? y2 ? y3 ## y3 ? y2 ? y1
【解析】
【分析】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)解析式可得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線 x ? 3 ，二次函數(shù)圖象開口向下，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，即可求解．
【詳解】解：∵ ?1 ? 0 ，
∴二次函數(shù)圖象開口向下，
∵ y ? ?? x ? 3?2 ? k ，
∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線 x ? 3 ，
∵拋物線 y ? ?? x ? 3?2 ? k 的圖象上有三個(gè)點(diǎn) A??1, y ?, B ?1, y
?, C ?4, y ? ，
?1? 3 ? 4, 1? 3 ? 2, 4 ? 3 ? 1，
∴ y1 ? y2 ? y3 ，
故答案為： y1 ? y2 ? y3
123
如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A 在反比例函數(shù) y ? 4 上，第二象限的點(diǎn) B 在反比例函數(shù) y ? k 上，且
xx
OA ? OB ， OB ? 3 ，則 k 的值為．
OA4
【答案】 ? 9
4
【解析】
【分析】作 AC⊥x 軸于點(diǎn) C，作 BD⊥x 軸于點(diǎn) D，易證?OBD ∽△AOC ，則面積的比等于相似比的平方，然后根據(jù)反比例函數(shù)中比例系數(shù) k 的幾何意義即可求解．
【詳解】解：作 AC⊥x 軸于點(diǎn) C，作 BD⊥x 軸于點(diǎn) D．
則∠BDO＝∠ACO＝90°， 則∠BOD＋∠OBD＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD＋∠AOC＝90°，
∴∠OBD＝∠AOC，
∴?OBD ∽△AOC ，
∴ S?OBD
? OB ?2
? ??
? 3 ?29
? ?? ?，
S? AOC
? OA ?? 4 ?16
1
又∵S△AOC＝ 2 ×4＝2，
9
∴S△OBD＝ 8 ，
∵第二象限的點(diǎn) B 在反比例函數(shù) y ? k 上
x
∴k＝ ? 9 ．
4
故答案為? 9 ．
4
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的比例系數(shù) k 的幾何意義，正確作出輔助線求得兩個(gè)三角形的面積的比是關(guān)鍵．
已知二次函數(shù)的 y＝ax2+bx+c （a≠0）圖象如圖所示，有下列 4 個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②b＜a+c；
③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1 的實(shí)數(shù)），其中正確的結(jié)論有 ．
【答案】①③
【解析】
【分析】①由拋物線開口向下 a＜0，拋物線和 y 軸的正半軸相交，c＞0， ? b
2a
＝1＞0，b＞0，②令 x＝
﹣1，時(shí) y＜0，即 a﹣b+c＜0，③ ? b
2a
＝1，即 2a+b＝0，④把 x＝m 代入函數(shù)解析式中表示出對(duì)應(yīng)的函數(shù)
值，把 x＝1 代入解析式得到對(duì)應(yīng)的解析式，根據(jù)圖形可知 x＝1 時(shí)函數(shù)值最大，所以 x＝1 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于 x＝m 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，化簡(jiǎn)得到不等式．
【詳解】解：①∵拋物線開口向下，拋物線和 y 軸的正半軸相交，
∴a＜0，c＞0，
b
∵ ?＝1＞0，
2a
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正確；
②令 x＝﹣1，時(shí) y＜0，即 a﹣b+c＜0，故②錯(cuò)誤；
③∵ ? b
2a
＝1，
∴2a+b＝0， 故③正確；
④x＝m 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 y＝am2+bm+c，
x＝1 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 y＝a+b+c，又 x＝1 時(shí)函數(shù)取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即 a+b＞am2+bm＝m（am+b），故④錯(cuò)誤；
故答案為①③．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)、性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)、性質(zhì)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共 9 小題，共 72 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
解下列方程：
（1） x2 ? 4x ? 5 ? 0 ；
（2） ? x ? 3?2 ? 2 ? x ? 3? ．
【答案】（1） x1 ? 5, x2 ? ?1
（2） x1 ? ?3, x2 ? ?1
【解析】
【分析】本題主要考查利用因式分解法解一元二次方程，
選擇因式分解法求解即可．
選擇因式分解法先移項(xiàng)，再提取公因式求解即可．
【小問 1 詳解】
解：∵ x2 ? 4x ? 5 ? 0 ，
∴ ? x ? 5?? x ?1? ? 0 ，
∴ x ? 5 ? 0, x ? 1 ? 0 ， 解得 x1 ? 5, x2 ? ?1．
【小問 2 詳解】
∵ ? x ? 3?2 ? 2 ? x ? 3? ，
∴ ??? x ? 3? ? 2?? ? x ? 3? ? 0 ，
∴ x ? 3 ? 0, x ?1 ? 0 ， 解得 x1 ? ?3, x2 ? ?1 ．
在平面直角坐標(biāo)系中， V ABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 A?2, 4? ， B ?1,0? ， C ?3,1? ．試畫出V ABC 繞點(diǎn)O 逆時(shí)
針旋轉(zhuǎn) 90°的△A1B1C1 ，并寫出 A1 、C1 坐標(biāo)．
【答案】圖見解析， A1 ??4, 2? 、C1 ??1, 3?
【解析】
【分析】先畫出點(diǎn) A、B、C 繞點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再一次連接即可，最后根據(jù)圖形寫出 A1 、C1
坐標(biāo)即可．
【詳解】解：如圖：
由圖可知： A1 ??4, 2? 、C1 ??1, 3?．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的作圖方法和步驟．
如圖，在V ABC 中，已知 AB ? AC ，?C ? 50? ，將V ABC 繞點(diǎn) B 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到?DBE ，若 DE 恰好經(jīng)過點(diǎn) A，設(shè) BE 與 AC 相交于點(diǎn) F，求?AFB 的大?。?br>【答案】70?
【解析】
【分析】根據(jù)“等邊對(duì)等角”與“三角形內(nèi)角和定理”求得?ABC, ?BAC 大小，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得
BA ? BD, ?D ? ?BAC ， ?CBE ? ?ABD ，再求出DABD ，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得解．
【詳解】解：? AB ? AC ， ?C ? 50? ，
??ABC ? ?C ? 50? ，
??BAC ? 180? ? 50?? 2 ? 80?，
?將V ABC 繞點(diǎn) B 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到?DBE ，若 DE 恰好經(jīng)過點(diǎn) A，
? BA ? BD, ?D ? ?BAC ? 80? ， ?CBE ? ?ABD ，
在△ABD 中， BA ? BD ，
??D ? ?BAD ? 80? ，
? ?ABD ? 180? ? 80?? 2 ? 20?，
??CBE ? ?ABD ? 20? ，
??AFB ? ?C ? ?CBE ? 50? ? 20? ? 70? ；
??AFB 的大小為70? ．
【點(diǎn)睛】此題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)與定理進(jìn)行邏輯推理是解答此題的關(guān)鍵．
某校為落實(shí)“雙減”工作，增強(qiáng)課后服務(wù)的吸引力，充分用好課后服務(wù)時(shí)間，為學(xué)有余力的學(xué)生拓展學(xué)習(xí)空間，成立了 5 個(gè)活動(dòng)小組（每位學(xué)生只能參加一個(gè)活動(dòng)小組）： A ．音樂； B ．體育； C ．美術(shù)； D ．閱讀； E ．人工智能．為了解學(xué)生對(duì)以上活動(dòng)的參與情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
①此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生；
②補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；
③扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角a ?度；
若該校有 2800 名學(xué)生，估計(jì)該校參加 D 組（閱讀）的學(xué)生人數(shù)；
學(xué)校計(jì)劃從 E 組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人參加市青少年機(jī)器人競(jìng)賽，請(qǐng)用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率．
【答案】（1）①400；②圖見解析③54
參加 D 組（閱讀）的學(xué)生人數(shù)為 980 人
1
恰好抽中甲、乙兩人的概率為
6
【解析】
【分析】（1）①利用參加體育活動(dòng)小組的人數(shù)除以所占的百分比求出總?cè)藬?shù)；②先求出參加 A, C 小組的人數(shù)，再補(bǔ)全條形圖即可；③用360?? C 小組人數(shù)所占的百分比求出圓心角度數(shù)即可；
用總?cè)藬?shù)乘以參加 D 組在樣本中所占的百分比，進(jìn)行求解即可；
利用列表法求出概率即可．
【小問 1 詳解】
解：①100 ? 25% ? 400 （人）；故答案為： 400 ；
②參加A 組的學(xué)生人數(shù)為： 400 ?15% ? 60 （人）；
參加C 組的學(xué)生人數(shù)為： 400 ? 60 ?100 ?140 ? 40 ? 60 （人）；補(bǔ)全條形圖如下：
③ a ? 360??
60
400
? 54? ；
故答案為：54；
【小問 2 詳解】
解： 2800 ? 140 ? 980 （人）；
400
答：參加 D 組（閱讀）的學(xué)生人數(shù)為 980 人．
甲
乙
丙
丁
甲
甲，乙
甲，丙
甲，丁
乙
乙，甲
乙，丙
乙，丁
丙
丙，甲
丙，乙
丙，丁
丁
丁，甲
丁，乙
丁，丙
【小問 3 詳解】解：列表如下：
共有 12 種等可能的結(jié)果，其中抽到甲、乙兩人的情況有 2 種，
∴ P ?
2 ? 1 ；
126
1
答：恰好抽中甲、乙兩人的概率為 ．
6
【點(diǎn)睛】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應(yīng)用，以及利用列表法求概率．從條形圖和扇形圖中有效的獲取有效信息，熟練掌握列表法求概率，是解題的關(guān)鍵．
某商品的進(jìn)價(jià)為每件 20 元，售價(jià)為每件 25 元時(shí)，每天可賣出 250 件．市場(chǎng)調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，一件商品每漲價(jià) 1 元，每天要少賣出 10 件．
求出每天所得的銷售利潤(rùn) w（元）與每件漲價(jià) x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該商品每天的銷售利潤(rùn)最大？
【答案】（1）w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）銷售單價(jià)為 35 元時(shí)，該商品每天的銷售利潤(rùn)最大
【解析】
【分析】（1）利用銷量×每件利潤(rùn)=總利潤(rùn)，進(jìn)而求出即可；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出銷售單價(jià).
【詳解】（1）根據(jù)題意得：w =（25+x-20)(250-10x）
即：w =-10x2+200x+1250 或 w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）
（2）∵-10＜0，∴拋物線開口向下，二次函數(shù)有最大值，
當(dāng)x ? ? b ? ?200
? 10 時(shí)，銷售利潤(rùn)最大
2a2 ???10?
此時(shí)銷售單價(jià)為：10+25=35（元）
答：銷售單價(jià)為 35 元時(shí)，該商品每天的銷售利潤(rùn)最大．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意利用函數(shù)性質(zhì)得出最值是解題關(guān)鍵．
如圖，AB＝BC，以 BC 為直徑作⊙O，AC 交⊙O 于點(diǎn) E，過點(diǎn) E 作 EG⊥AB 于點(diǎn) F，交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G．
求證：EG 是⊙O 的切線；
3
若 GF＝2，GB＝4，求⊙O 的半徑．
【答案】（1）見解析；（2）⊙O 的半徑為 4
【解析】
【分析】（1）連接 OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）連接 OE．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C；
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠OEC，
∴OE∥AB，
∵BA⊥GE，
∴OE⊥EG，且 OE 為半徑；
∴EG 是⊙O 的切線；
（2）∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
3
∵ GF ? 2
，GB＝4，
BG2 ? GF2
∴ BF ?? 2 ，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴ BF ? BG ，
OEOG
∴ 2 ?4，
OE4 ? OE
∴OE＝4，
即⊙O 的半徑為 4．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓和三角形的綜合問題，掌握等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
如圖，一次函數(shù) y ? x ? 4 的圖象與 y 軸交于點(diǎn) C，與反比例函數(shù) y ? k 的圖象交于 B ??1, m? ，
x
A?n,1? 兩點(diǎn)．
求 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
連接OA 、OB ，求△OAB 的面積；
在 x 軸上找一點(diǎn) P，使 PA ? PB 的值最小，求滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
【答案】（1） B ??1，3? 、 A??3，1? ； y ? ? 3
x
（2）4（3） ? ? 5 ,0 ?
?2?
??
【解析】
【分析】（1）把 B ??1, m? ， A?n,1? 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求出 m、n 的值，再把 B 的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出 k 的值；
求得 C 的坐標(biāo)，然后根據(jù) S△ AOB ? S△ AOC ? S△ BOC 求得即可；
作 B 點(diǎn)關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) B￠，連接 AB? 交 x 軸于 P 點(diǎn)，則 B???1，? 3? ，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí) PA ? PB 的值最小，再利用待定系數(shù)法求出直線 AB? 的解析式，然后求出直線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到 P 點(diǎn)坐標(biāo)．
【小問 1 詳解】
解：把 B ??1, m? ， A?n,1? 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y ? x ? 4 ， 得 m ? ?1? 4 ? 3 ，
n ? 4 ? 1，解得 n ? ?3 ， 則 B ??1，3? 、 A??3，1? ，
把 B ??1，3? 代入 y ? k ，得k ? ?3 ?1 ? ?3 ，
x
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y ? ? 3 ；
x
【小問 2 詳解】
解：∵一次函數(shù) y ? x ? 4 的圖象與 y 軸交于點(diǎn) C，
∴ C ?0，4? ，
∴ OC ? 4 ，
∵ B ??1，3? 、 A??3，1? ，
∴ S? AOB
? S? AOC
S? BOC
? 1 ? 4 ? 3 ? 1 ? 4 ?1 ? 4 ； 22
【小問 3 詳解】
解：作 B 點(diǎn)關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) B? ，連接 AB? 交 x 軸于 P 點(diǎn)，則 B???1，? 3? ，
∵ PA ? PB ? PB? ? PA ? AB? ，
∴此時(shí) PA ? PB 的值最小，
設(shè)直線 AB?的解析式為 y ? mx ? n?m ? 0? ，
??3m ? n ? 1
把點(diǎn) B???1，? 3? ， A??3，1? 的坐標(biāo)代入 y ? mx ? n ，得??m ? n ? ?3 ，
?
?m ? ?2
?
解得?n ? ?5 ，
∴直線 AB?的解析式為y ? ?2x ? 5，
當(dāng) y ? 0 時(shí)， 0 ? ?2x ? 5 ，解得： x ? ? 5 ，
2
∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為? ? 5 ,0 ? ．
?2?
??
【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，最短路徑問題，解題的關(guān)鍵，（1）是熟練掌握
待定系數(shù)法，（2）利用割補(bǔ)法，（3）是作出點(diǎn) B 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) B? ，求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y ? ax2 ? bx ? 4 與 x 軸交于點(diǎn) A??2, 0?，B ?4, 0? ，與 y 軸交于點(diǎn)C，點(diǎn) D 為 BC 的中點(diǎn)．
求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
點(diǎn) G 是該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，若GA ? GC 有最小值，求此時(shí)點(diǎn) G 的坐標(biāo)；
若點(diǎn) P 是第四象限內(nèi)該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求△BDP 面積的最大值；
【答案】（1） y ? 1 x2 ? x ? 4
2
（2） ?1, ?3?
（3） △BDP 面積的最大值為 2
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
根據(jù)對(duì)稱軸得出當(dāng)點(diǎn) G 正好在直線 BC 與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)上時(shí)GA ? GC 最小，求出直線 BC 的解析式 y ? x ? 4 ，求出拋物線的對(duì)稱軸為直線 x ? 1 ，把 x ? 1 代入 y ? x ? 4 求出點(diǎn) G 的坐標(biāo)即可；
連接 PC ，過點(diǎn) P 作 PQ ∥ y 軸，交 BC 于點(diǎn) Q，根據(jù)點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)，得出 S
? BDP
? 1 S 2
? PBC ，
?12?
當(dāng)△PBC 面積最大時(shí)， △BDP 面積最大，設(shè) P ? m, 2 m ? m ? 4 ? ，則Q ?m, m ? 4? ，用 m 表示出
??
S?PBC ，求出其最大值，即可得出答案．
【小問 1 詳解】
解：把 A??2, 0?，B ?4, 0? 代入拋物線 y ? ax2 ? bx ? 4 得：
?
?4a ? 2b ? 4 ? 0
，
?16a ? 4b ? 4 ? 0
?
?a ? 1
解得： ?2 ，
??b ? ?1
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y ? 1 x2 ? x ? 4 ；
2
【小問 2 詳解】
解：∵點(diǎn) G 是該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，
∴ GA ? GB ，
∴ GA ? GC ? GB ? GC ，
∴當(dāng)點(diǎn) G 正好在直線 BC 與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)上時(shí)GA ? GC 最小，
把 x ? 0 代入 y ? 1 x2 ? x ? 4 得： y ? ?4 ，
2
∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)為： ?0, ?4? ，
設(shè)直線 BC 的解析式為： y ? kx ? 4?k ? 0? ， 把 B ?4, 0? 代入得： 0 ? 4k ? 4 ，
解得： k ? 1 ，
∴ 直線 BC 的解析式為： y ? x ? 4 ，
拋物線的對(duì)稱軸為直線
x ? ?
?1 ? 1 2 ? 1，
2
把 x ? 1 代入 y ? x ? 4 得： y ? 1? 4 ? ?3 ，
∴點(diǎn) G 的坐標(biāo)為： ?1, ?3? ；
【小問 3 詳解】
解：連接 PC ，過點(diǎn) P 作 PQ ∥ y 軸，交 BC 于點(diǎn) Q，如圖所示：
∵點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)，
∴ S? BDP
? 1 S 2
? PBC ，
∴當(dāng)△PBC 面積最大時(shí)， △BDP 面積最大，
設(shè) P ? m, 1 m2 ? m ? 4 ??0 ? m ? 4? ，則Q ?m, m ? 4? ，
?2?
??
PQ ? m ? 4 ? 1 m2 ? m ? 4 ? ? 1 m2 ? 2m ，
22
S? PBC
? 1 PQ ? 4 2
? 2 ?? ? 1 m2 ? 2m ?
?2?
??
? ?m 2 ? 4m
? ??m ? 2?2 ? 4 ，
∴當(dāng) m ? 2 時(shí)，△PBC 面積取最大值 4，
∴△BDP 面積的最大值為 1 ? 4 ? 2 ．
2
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)， 解題的關(guān)鍵是作出相應(yīng)的輔助線，數(shù)形結(jié)合．

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