1．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離和為10，橢圓經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作與軸垂直的直線，直線上存在、兩點(diǎn)滿足，求面積的最小值．
（3）若與軸不垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交軸于定點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
2．如圖，橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為3，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，不過原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且線段被直線平分．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求面積最大值時的直線的方程．
3．如圖，橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，不過原點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，且線段被直線平分．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線的斜率；
（3）求面積的最大值．
4．已知點(diǎn)，橢圓的長軸長是短軸長的2倍，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程．
5．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求證：直線過定點(diǎn)；
（2）求與面積之和的最小值．
6．如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，且拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，．
（1）若中點(diǎn)為，且滿足，的中點(diǎn)均在上，證明：垂直于軸；
（2）若點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)），且與的面積分別為和，求最小值．
7．如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，滿足，的中點(diǎn)均在上．
（Ⅰ）設(shè)中點(diǎn)為，證明：垂直于軸；
（Ⅱ）若是半橢圓上的動點(diǎn)，求面積的取值范圍．
8．已知橢圓，，為左、右焦點(diǎn)，直線過交橢圓于，兩點(diǎn)．
（1）若直線垂直于軸，求；
（2）當(dāng)時，在軸上方時，求、的坐標(biāo)；
（3）若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，且的斜率為．
（1）求橢圓的離心率的值；
（2）若，為過橢圓的右焦點(diǎn)的任意直線，且直線交橢圓于點(diǎn)，，求△內(nèi)切圓面積的最大值．
10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是和，離心率為，以在橢圓上，且△的面積的最大值為．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線過橢圓右焦點(diǎn)，交該橢圓于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，射線交橢圓于，記的面積為，的面積為，若，求直線的方程．
11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，點(diǎn)在橢圓上，直線過交橢圓于，兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)時，點(diǎn)在軸上方時，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；
（3）若直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，是否存在直線，使得與的面積滿足，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，橢圓離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，若△的面積為，求直線的方程．
13．已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為的動直線交橢圓于、兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)和面積的最大值；若不存在，說明理由．
14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，△的周長為8，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求面積的最大值．
15．已知拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．
（Ⅰ）求及的值；
（Ⅱ）如圖，設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，，，且，過弦的中點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線交于點(diǎn)，連接，．試判斷的面積是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由．
16．已知點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線與到點(diǎn)，的距離之和的最小值為．
（1）求拋物線的方程；
（2）如圖，設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，，且，過弦的中點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線交于點(diǎn)，求的面積．
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率是，曲線是拋物線在橢圓內(nèi)的一部分，拋物線的焦點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是上的動點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn)．
（?。┣笞C：點(diǎn)在定直線上；
（ⅱ）直線與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點(diǎn)的坐標(biāo)．
18．已知，橢圓的離心率，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程．
19．橢圓的離心率為，其右焦點(diǎn)到橢圓外一點(diǎn)的距離為，不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且線段的長度為2．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求面積的最大值．

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