新高考數(shù)學二輪專題圓錐曲線精練第10講幾何法秒解離心率問題（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

一．選擇題（共19小題）
1．過雙曲線的右焦點，作圓的切線，切點為，延長交雙曲線左支于點，且是的中點，則雙曲線離心率為
A．B．C．D．
【解答】解：如圖，記右焦點為，則為的中點，
為的中點，為△的中位線，，
為切點，，，
點在雙曲線上，，，
在中，有：，，即，
離心率，
故選：．
2．設，分別是雙曲線的左、右焦點．圓與雙曲線的右支交于點，且，則雙曲線離心率為
A．B．C．D．
【解答】解：可設為第一象限的點，且，，
由題意可得，①
由雙曲線的定義可得，②
由勾股定理可得，③
聯(lián)立①②③消去，，可得：
，即，
則，
故選：．
3．如圖，已知橢圓，過原點的直線與橢圓交于、兩點，點為橢圓的右焦點，且滿足，設，且，，則橢圓離心率的取值范圍為
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：設橢圓的左焦點為，連接，，則四邊形為矩形．
因此，
，，，
，
，
又，，
，，，，
，，
，，
故選：．
4．已知，是橢圓的左、右焦點，過左焦點的直線與橢圓交于，兩點，且，，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解答】解：設，則，，
而由橢圓的定義可知，
所以，所以，則，
在中，，
所以在△中，，
即，
整理可得：，所以，
故選：．
5．設橢圓的兩個焦點是，，過點的直線與橢圓交于點，，若，且，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解答】解：如圖，因為，且，所以，可得，
，故．
過作，在直角三角形中，，，
由，可得．
即可得，
．
故選：．
6．如圖，、是橢圓與雙曲線的公共焦點，、分別是、在第二、四象限的公共點，若，且，則與的離心率之和為
A．B．4C．D．
【解答】解：、是橢圓與雙曲線的公共焦點，、分別是、在第二、四象限的公共點，
若，且，可得：，，，，
代入橢圓方程可得：，可得，
可得，解得．
代入雙曲線方程可得：，
可得：，
可得：，解得，
則與的離心率之和為：．
故選：．
7．設是雙曲線的右焦點，為坐標原點，過的直線交雙曲線的右支于點，，直線交雙曲線于另一點，若，且，則雙曲線的離心率為
A．3B．2C．D．
【解答】解：設雙曲線的左焦點為，由雙曲線的對稱性可知四邊形為平行四邊形．
，．
設，則，
，即，．
，，
又，
在△中，由余弦定理可得：，
即，，
雙曲線的離心率．
故選：．
8．設橢圓的左、右兩個焦點分別為、，右頂點為，為橢圓上一點，且，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解答】解：設橢圓的左、右兩個焦點分別為、，右頂點為，
為橢圓上一點，且，，
可知：，，設，可得，
，
，解得，
可得．
故選：．
9．已知雙曲線過的右焦點作垂直于漸近線的直線交兩漸近線于、兩點，、兩點分別在一、四象限，若，則雙曲線的離心率為
A．B．2C．D．
【解答】解：由題意知：雙曲線的右焦點，漸近線方程為，
即，
如下圖所示：
由點到直線距離公式可知：，
又，，，，
設，
由雙曲線對稱性可知，
而，，
由正切二倍角公式可知：，
即，
化簡可得：，即，
由雙曲線離心率公式可知：．
故選：．
10．設直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，若點滿足，則該雙曲線的離心率是
A．B．C．D．
【解答】解：由雙曲線的方程可知，漸近線為，
分別與聯(lián)立，解得，，，，
中點坐標為，，
點滿足，
，
，
，
．
故選：．
11．設雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點為．已知，，點是雙曲線右支上的動點，且恒成立，則雙曲線離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
【解答】解：令代入雙曲線的方程可得，
由，可得，
即為，
即有①，
因為恒成立，
由雙曲線的定義，可得恒成立，
由，，共線時，取得最小值，
可得，
即有②，
由，結(jié)合①②可得，
的范圍是．
故選：．
12．已知橢圓的左、右焦點分別為，．若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為
A．B．C．D．
【解答】解：在△中，由正弦定理知，
，
，即，①
又在橢圓上，，②
聯(lián)立①②得，
即，
同除以得，，得．
橢圓的離心率的取值范圍為．
故選：．
13．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線支上，滿足，，又直線與雙曲線的左、右兩支各交于一點，則雙曲線的離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
【解答】解：以，為邊，作平行四邊形，
如圖所示：
則，，
又，所以，
因為對角線相等的平行線四邊形是矩形，所以，
根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，可知，
因為，所以，
即，，
在△中，有，
又，所以，
所以，
因為，，即，
所以，解得，
又因為雙曲線的離心率，所以，
由題意知，雙曲線的漸近線方程為，
又直線與雙曲線的左右兩支各交于一點，
所以直線的斜率大于雙曲線的漸近線的斜率，
所以，即，
所以，解得（或舍去），
綜上所述，．
故選：．
14．已知為坐標原點，是橢圓的左焦點，，分別為的左，右頂點．為上一點，且軸．過點的直線與線段交于點，與軸交于點．若直線經(jīng)過的三等分點（靠近點），則的離心率為
A．B．C．D．
【解答】解：如圖，由，，，
所以，得．
所以．
故選：．
15．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，，是右支上一點，與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則的離心率是
A．B．C．D．
【解答】解：設的內(nèi)切圓在邊上的切點為，在上的切點為，
則，，，
由雙曲線的對稱性可得，
由雙曲線的定義可得
，解得，
又，即有，
離心率．
故選：．
16．已知雙曲線的左頂點為，過雙曲線的右焦點作軸的垂線交于點，點位于第一象限，若△為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為
A．B．2C．D．
【解答】解：把代入雙曲線，解得，
，
△為等腰直角三角形，，，
，即，
，即，
解得或（舍．
故選：．
17．已知雙曲線的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為
A．B．C．D．
【解答】解：由雙曲線的方程可得漸近線的方程為：，即，
由題意可得，所以到漸近線的距離，
圓的半徑為，因為，
所以可得，
所以，
所以可得離心率，
故選：．
18．已知雙曲線的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點．若，則雙曲線的離心率為
A．B．C．D．2
【解答】解：雙曲線的右頂點為，
以為圓心，為半徑做圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點．
若，可得到漸近線的距離為：，
可得：，即，可得離心率為：．
故選：．
19．過橢圓的左頂點作圓是橢圓的焦距）兩條切線，切點分別為，，若，則該橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【解答】解：左頂點，因為，由橢圓的對稱性可得，
所以，即，
所以離心率，
故選：．
二．填空題（共11小題）
20．已知是雙曲線的一個焦點，是上的點，線段交以的實軸為直徑的圓于，兩點，且，是線段的三等分點，則的離心率為．
【解答】解：如圖：，，，是的中點，也是的中點，
設，，，，
可得：，，
消去可得：，
即，即，，，解得，所以．
故答案為：．
21．設橢圓的兩個焦點是、，過的直線與橢圓交于、，若，且，則橢圓的離心率為．
【解答】解：設橢圓的標準方程為：，
由，設，，，過做，
則，由橢圓的定義可得：，，
，即，①，，
由，即，
整理得：
解得，即，則
故答案為：．
22．如圖，，是橢圓與雙曲線的公共焦點，，分別是，在第二、四象限的公共點．若四邊形為矩形，則的離心率是．
【解答】解：設，，
點為橢圓，
，，；
，即；①
又四邊形為矩形，
，②
由①②解得，，
設雙曲線的實軸長為，焦距為，
則，，
的離心率是．
故答案為：．
23．已知雙曲線，若矩形的四個頂點在上，，的中點為的兩個焦點，且，則的離心率是 2 ．
【解答】解：令，代入雙曲線的方程可得，
由題意可設，，，，
由，可得
，即為，
由，，可得，
解得（負的舍去）．
故答案為：2．
24．已知直線與雙曲線相交于不同的兩點，，為雙曲線的左焦點，且滿足，為坐標原點），則雙曲線的離心率為．
【解答】解：設，則，
取雙曲線的右焦點，連接，，
可得四邊形為平行四邊形，
可得，設在第一象限，可得，即，
由平行四邊形的對角線的平方和等于四條邊的平方和，
可得，
化為，則．
故答案為：．
25．雙曲線的左、右焦點分別是、，直線與曲線交于，兩點，，且，則雙曲線的離心率是．
【解答】解：設，因為，則，，所以，，，
在三角形中，由余弦定理可得：，
整理可得：，
所以離心率，
故答案為：．
26．已知雙曲線的右焦點為，，是雙曲線的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，且線段的中點落在另一條漸近線上，則雙曲線的離心率為 2 ．
【解答】解：如圖，由題知，
則，點是線段的中點，則，
故，
則，所以．
故答案為：2．
27．設雙曲線的中心為點，若有且只有一對相交于點、所成的角為的直線和，使，其中、和、分別是這對直線與雙曲線的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．
【解答】解：不妨設雙曲線的方程是，
由及雙曲線的對稱性知，，，關于軸對稱，如圖，
又滿足條件的直線只有一對，
當直線與軸夾角為時，雙曲線的漸近線與軸夾角大于，
雙曲線與直線才能有交點，，，，
若雙曲線的漸近線與軸夾角等于，則無交點，
且不可能存在，
當直線與軸夾角為時，雙曲線漸近線與軸夾角小于，
雙曲線與直線有一對交點，，，，
若雙曲線的漸近線與軸夾角等于，也滿足題中有一對直線，
但是如果大于，則有兩對直線．不符合題意，
，則，
，，
解得．
故答案為．
28．已知點是橢圓的右焦點，點是短軸的一個端點，線段的延長線交橢圓于點，且，則橢圓的離心率為．
【解答】解：如圖，，
作軸于點，則由，
得：，
所以，，
即，
由橢圓的第二定義得，
又由，得，
，解得，
故答案為：．
29．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，，是右支上的一點，與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為．若，則的離心率是．
【解答】解：設的內(nèi)切圓在邊上的切點為，在上的切點為，
則，，，
由雙曲線的對稱性可得，
由雙曲線的定義可得
，解得，
又，即有，
離心率．
故答案為：．
30．已知雙曲線的右頂點為，且以為圓心，雙曲線虛軸長為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于，兩點，若則雙曲線的離心率的取值范圍是，．
【解答】解：由題意可得，漸近線的方程為：，由雙曲線及漸近線的對稱性圓交于，，
過作于，由題意可得，
因為則，，所以，
則，
而由點到直線的距離公式可得，
所以，即，即，，
故答案為：，．

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