考生注意：
1．考試時間120分鐘
2．全卷共三道大題，總分120分
3．使用答題卡的考生，請將答案填寫在答題卡的指定位置
一、選擇題(每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分)
1. 實數(shù)的相反數(shù)是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了相反數(shù)的判斷，根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可．
【詳解】的相反數(shù)是5．
故選：A．
2. 下列美術(shù)字中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】中心對稱圖形的定義：旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，根據(jù)定義即可判斷出答案．
【詳解】解：選項是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
選項是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
選項是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
選項是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；
故選：
【點睛】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形，熟記兩種圖形的特點并準確判斷是解題的關鍵．
3. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了積的乘方、合并同類項、同底數(shù)冪相乘、除，根據(jù)運算法則逐項分析，即可作答．
【詳解】解：A、，故該選項不符合題意；
B、，故該選項不符合題意；
C、，故該選項不符合題意；
D、，故該選項符合題意；
故選：D
4. 將一個含角的三角尺和直尺如圖放置，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)對頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
由題意得，，，
∴，
故選：B．
5. 如圖，若幾何體是由5個棱長為1的小正方體組合而成的，則該幾何體左視圖與俯視圖的面積和是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9·
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查簡單組合體的三視圖，根據(jù)從左面看得到的圖形是左視圖，從上面看的到的視圖是俯視圖，再根據(jù)面積的和，可得答案．
【詳解】左視圖：
俯視圖：
∴該幾何體左視圖與俯視圖面積和是：
故選：B
6. 如果關于的分式方程的解是負數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. 且B. C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解是負數(shù)得到，并結(jié)合分式方程的解滿足最簡公分母不為，求出的取值范圍即可，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
【詳解】解：方程兩邊同時乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是負數(shù)，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
故選：．
7. 六月份，在“陽光大課間”活動中，某校設計了“籃球、足球、排球、羽毛球”四種球類運動項目，且每名學生在一個大課間只能選擇參加一種運動項目，則甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種球類運動項目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，分別用A、B、C、D表示籃球、足球、排球、羽毛球，根據(jù)題意畫樹狀圖求解即可．
【詳解】解：分別用A、B、C、D表示籃球、足球、排球、羽毛球，
列樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有種等可能情況，其中甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種球類運動項目的情況有種，
即甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種球類運動項目的概率是，
故選：C．
8. 校團委開展以“我愛讀書”為主題的演講比賽活動，為獎勵表現(xiàn)突出的學生，計劃拿出200元錢全部用于購買單價分別為8元和10元的兩種筆記本(兩種都要購買)作為獎品，則購買方案有（ ）
A. 5種B. 4種C. 3種D. 2種
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程的應用，設單價分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個，根據(jù)題意列出方程，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)，即可求解．
【詳解】解：設單價分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個，
依題意，
∴
∵，為正整數(shù)，
∴當時，，
當時，
當時，
當時，
∴購買方案有4種，
故選：B．
9. 如圖，在等腰中，，，動點E，F(xiàn)同時從點A出發(fā)，分別沿射線和射線的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接，以為邊向下做正方形，設點E運動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查動態(tài)問題與函數(shù)圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之間的關系，以及對應點是解題的關鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項分析當與重合時，及當時圖象的走勢，和當時圖象的走勢即可得到答案．
【詳解】解：當與重合時，設，由題可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴當時，，
∵，
∴圖象為開口向上的拋物線的一部分，
當在下方時，設，由題可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當時，，
∵，
∴圖象為開口向下的拋物線的一部分，
綜上所述：A正確，
故選：A．
10. 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；
③當時，隨的增大而減??；
④關于的一元二次方程的另一個根是；
⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷結(jié)論①②③正誤；由二次函數(shù)與一元二次方程的關系、一元二次方程的解判斷結(jié)論④；利用結(jié)論④及題中條件可求得的取值范圍，再由結(jié)論②可得取值范圍，判斷⑤是否正確．
【詳解】解：由圖可得：，對稱軸，
，
，①錯誤；
由圖得，圖象經(jīng)過點，將代入可得，
，②正確；
該函數(shù)圖象與軸的另一個交點為，且，
對稱軸，
該圖象中，當時，隨著的增大而減小，當時，隨著的增大而增大，
當時，隨著的增大而減小，
③正確；
，，
關于的一元二次方程的根為，
，
，，
④正確；
，即，
解得，
即，
，
，
⑤正確．
綜上，②③④⑤正確，共個．
故選：．
【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程中拋物線與軸的交點問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、二次函數(shù)與不等式中根據(jù)交點確定不等式的解集，解題關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
二、填空題(每小題3分，滿分21分)
11. 共青團中央發(fā)布數(shù)據(jù)顯示：截至2023年12月底，全國共有共青團員萬名．將萬用科學記數(shù)法表示為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了科學記數(shù)法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值大于與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【詳解】解：萬，
故答案為：
12. 如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點H，畫射線，若，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】此題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)作圖方法可得點H在第一象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第一象限內(nèi)點的坐標符號可得答案．
【詳解】解：根據(jù)作圖方法可得點H在第一象限角平分線上；點H橫縱坐標相等且為正數(shù)；
，
解得：，
故答案為：．
13. 在函數(shù)中，自變量的取值范圍是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式組解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意可得，，
解得且，
故答案為：且．
14. 若圓錐的底面半徑是1cm，它的側(cè)面展開圖的圓心角是直角，則該圓錐的高為______cm．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了圓錐的計算．設圓錐的母線長為R，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到，然后解方程即可得母線長，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可．
【詳解】解：設圓錐的母線長為R，
根據(jù)題意得，
解得：．
即圓錐的母線長為，
∴圓錐的高cm，
故答案是：．
15. 如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點，在軸上，若點，，則實數(shù)的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)，根據(jù)的縱坐標相同以及點在反比例函數(shù)上得到的坐標，進而用代數(shù)式表達的長度，然后根據(jù)列出一元一次方程求解即可．
【詳解】是平行四邊形
縱坐標相同
的縱坐標是
在反比例函數(shù)圖像上
將代入函數(shù)中，得到
的縱坐標為
即：
解得：
故答案為：．
16. 已知矩形紙片，，，點P在邊上，連接，將沿所在的直線折疊，點B的對應點為，把紙片展平，連接，，當為直角三角形時，線段的長為______．
【答案】或2
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，分兩種情況進行討論：當時，當，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：∵四邊形為矩形，
∴，，，
當時，如圖所示：
∵，
∴點在上，
根據(jù)折疊可知：，，
設，則，
∴，
，
在中，根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
當，如圖所示：
根據(jù)折疊可知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
綜上分析可知：或2．
故答案為：或2，
17. 如圖，數(shù)學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標系中，點O的坐標為，點B的坐標為，點C在第一象限，．將沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點O的對應點為，點C的對應點為，與的交點為，稱點為第一個“花朵”的花心，點為第二個“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，滾動2024次后停止?jié)L動，則最后一個“花朵”的花心的坐標為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質(zhì)，點的坐標規(guī)律探索．連接，求得，，，分別得到，， ，，推導得到，滾動一次得到，滾動四次得到，滾動七次得到，由此得到滾動2024次后停止?jié)L動，則，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：連接，
由題意得，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
，
同理，
，
，
滾動一次得到，滾動四次得到，滾動七次得到，
∴滾動2024次后停止?jié)L動，則時，，
故答案為：．
三、解答題(本題共7道大題，共69分)
18. (1)計算：
(2)分解因式：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，因式分解；
（1）根據(jù)算術(shù)平方根，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，進行計算即可求解；
（2）先提公因式，進而根據(jù)平方差公式因式分解，即可求解．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
19. 解方程：x2﹣5x+6＝0
【答案】x1＝2，x2＝3
【解析】
【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.
【詳解】利用因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
則x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
【點睛】本題考查解一元二次方程因式分解法,關鍵在于熟練掌握因式分解的方法步驟.
20. 為提高學生的環(huán)保意識，某校舉行了“愛護環(huán)境，人人有責”環(huán)保知識競賽，對收集到的數(shù)據(jù)進行了整理、描述和分析．
【收集數(shù)據(jù)】隨機抽取部分學生的競賽成績組成一個樣本．
【整理數(shù)據(jù)】將學生競賽成績的樣本數(shù)據(jù)分成四組進行整理．
(滿分分，所有競賽成績均不低于分)如下表：
【描述數(shù)據(jù)】根據(jù)競賽成績繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：______，______；
（2）請補全條形統(tǒng)計圖；
（3）扇形統(tǒng)計圖中，組對應的圓心角的度數(shù)是______；
（4）若競賽成績分以上(含分)為優(yōu)秀，請你估計該校參加競賽名學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．
【答案】（1），；
（2）補圖見解析； （3）；
（4）．
【解析】
【分析】（）根據(jù)組人數(shù)及其百分比求出抽取的學生人數(shù)，進而可求出的值；
（）根據(jù)（）中的值補圖即可；
（）用乘以組人數(shù)的占比即可求解；
（）用乘以分以上(含分)的人數(shù)占比即可求解；
本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，統(tǒng)計表，樣本估計總體，看懂統(tǒng)計圖是解題的關鍵．
【小問1詳解】
解：抽取的學生人數(shù)為人，
∴，
∴，
故答案為：，；
【小問2詳解】
解：補全條形統(tǒng)計圖如下：
【小問3詳解】
解：，
故答案為：；
【小問4詳解】
解：，
答：估計該校參加競賽的名學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)大約是人．
21. 如圖，內(nèi)接于，為的直徑，于點D，將沿所在的直線翻折，得到，點D的對應點為E，延長交的延長線于點F．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）連接，由折疊的性質(zhì)得，，再證明，推出，據(jù)此即可證明是的切線；
（2）先求得，在中，求得，再利用扇形面積公式求解即可．
【小問1詳解】
證明：連接，
∵，
∴，
∵沿直線翻折得到，
∴，，
∵是的半徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴于點C，
又∵為的半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了切線的判定與扇形面積公式，折疊的性質(zhì)，解直角三角形．充分運用圓的性質(zhì)，綜合三角函數(shù)相關概念，求得線段長度是解題的關鍵．
22. 領航無人機表演團隊進行無人機表演訓練，甲無人機以a米/秒的速度從地面起飛，乙無人機從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無人機同時勻速上升，6秒時甲無人機到達訓練計劃指定的高度停止上升開始表演，完成表演動作后，按原速繼續(xù)飛行上升，當甲、乙無人機按照訓練計劃準時到達距離地面的高度為96米時，進行了時長為t秒的聯(lián)合表演，表演完成后以相同的速度大小同時返回地面．甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y(米)與無人機飛行的時間x(秒)之間的函數(shù)關系如圖所示．請結(jié)合圖象解答下列問題：
（1） ______米/秒， ______秒；
（2）求線段所在直線的函數(shù)解析式；
（3）兩架無人機表演訓練到多少秒時，它們距離地面的高度差為12米？(直接寫出答案即可)
【答案】（1）8，20
（2）；
（3）2秒或10秒或16秒．
【解析】
【分析】本題主要考查求一次函數(shù)應用，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題的關鍵．
（1）根據(jù)圖形計算即可求解；
（2）先求得甲無人機單獨表演所用時間為秒，得到，利用待定系數(shù)法即可求解；
（3）利用待定系數(shù)法分別求得線段、線段、線段所在直線的函數(shù)解析式，再分三種情況討論，列式計算即可求解
【小問1詳解】
解：由題意得甲無人機的速度為米/秒，
，
故答案為：8，20；
【小問2詳解】
解：由圖象知，，
∵甲無人機速度為8米/秒，
甲無人機勻速從0米到96米所用時間為秒，
甲無人機單獨表演所用時間為秒，
∴秒，
∴，
設線段所在直線的函數(shù)解析式為，
將，代入得，
解得，
∴線段所在直線的函數(shù)解析式為；
【小問3詳解】
解：由題意，，
同理線段所在直線的函數(shù)解析式為，
線段所在直線的函數(shù)解析式為，
線段所在直線的函數(shù)解析式為，
當時，由題意得，
解得或（舍去），
當時，由題意得，
解得或（舍去），
當時，由題意得，
解得或（舍去），
綜上，兩架無人機表演訓練到2秒或10秒或16秒時，它們距離地面的高度差為12米．
23. 綜合與實踐：如圖1，這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在中，，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長線于點．

（1）【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段與的數(shù)量關系是______；
（2）【問題解決】如圖3，連接并延長交的延長線于點，若，，求的面積；
（3）【類比遷移】在(2)的條件下，連接交于點，則______；
（4）【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線上找點，使，請直接寫出線段的長度．
【答案】（1）
（2）10 （3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，進而證明，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的方法證明，進而證明，求得，則，然后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．
（3）過點作于點，證明得出，證明，設，則，代入比例式，得出，進而即可求解；
（4）當在點的左側(cè)時，過點作于點，當在點的右側(cè)時，過點作交的延長線于點，分別解直角三角形，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長線于點．

，
，
，
，
，
又且
，
；
【小問2詳解】
解：，
，
，
，
，
又且，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
；
【小問3詳解】
解：如圖所示，過點作于點，

∵，
∴
∴，
即，即，
又∵
∴
∴，
設，則，
解得：
∴；
【小問4詳解】
解：如圖所示，當在點的左側(cè)時，過點作于點

∵
∴，設，則，
又∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
解得：
在中，
∴
∴
如圖所示，當在點的右側(cè)時，過點作交的延長線于點，

∵
∴
∵
∴
設，則，，
∵，
∴
解得：
∴
∴
綜上所述，或．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
24. 綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為點，點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點E，點F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是x軸上的任意一點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；
（3）當時，求點P的坐標；
（4）在（3）的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關鍵．
（1）先根據(jù)題意確定點A、C的坐標，然后運用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標與圖形即可解答；
（3）先證明可得，設，則,可得，即，求得可得m的值，進而求得點P的坐標；
（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關于對稱軸的點,則，由兩點間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關系可得即可解答．
【小問1詳解】
解：∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，
∴當時，，即；當時，，即；
∵，
∴設拋物線的解析式為，
把代入可得：，解得：，
∴，
∴拋物線的解析式為：．
小問2詳解】
解：∵，，
∴,
∴，
如圖：當，
∴,即；
如圖：當，
∴,即；
如圖：當，
∴,即；
綜上，點D的坐標為．
【小問3詳解】
解：如圖：∵軸，
∴，
∵軸，
∴，
∵，
∴,
∴,
∵設，則,
∴，
∴，解得：（負值舍去），
當時，，
∴．
【小問4詳解】
解： ∵拋物線的解析式為：，
∴拋物線的對稱軸為：直線，
如圖：將線段向右平移單位得到,
∴四邊形是平行四邊形，
∴,即,
作關于對稱軸的點,則
∴,
∵，
∴的最小值為．
故答案為．
組別
成績(/分)
人數(shù)(人)

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