數(shù)學(xué)試題
（本卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．
1．下列式子是分式的是（ ）．
A．B．C．D．
2．下面四張圖分別是四屆亞運會的會徽，其中是軸對稱圖形的是（ ）．
A．B．C．D．
3．下面給出的三條長度的線段，能組成三角形的是（ ）．
A．1，1，2B．2，2，4C．2，3，4D．3，2，7
4．下列計算正確的是（ ）．
A．B．
C．D．
5．下面給出的四組條件中，不能判定≌的是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
6．在如圖所示的中，點D，E在邊AB上，的平分線于F，的平分線于H，若，，則的周長為（ ）．
A．10B．12C．18D．20
7．如圖，已知，，．點到的距離為1，點到的距離為2，≌，≌（n為正整數(shù)）．則在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，點的坐標(biāo)是（ ）．
A．B．C．D．
8．《四元玉鑒》是我國古代杰出數(shù)學(xué)家朱世杰的著作，該著作記載了“買椽問題”是：“四貫七百六十文，倩人去買幾株椽．每株腳錢兩文足，無錢準(zhǔn)與兩株椽．”大意是：請人代買一批椽，這批椽的費用為4760文．每株椽還必須給代買人勞務(wù)費2文，若不給錢恰好給代買人2株椽也可以．設(shè)4760文錢能買x株椽（椽，建屋頂時支撐屋頂蓋的材料），則可列方程為（ ）．
A．B．C．D．
9．在如圖所示的中，AC的垂直平分線DE交BC于點D，垂足為E，F(xiàn)為DE上任意一點，若，，，則周長的最小值為（ ）．
A．11B．13C．14D．15
10．對于依次排列的一串式子，若把相鄰的兩個式子，用右邊式子減去左邊式子，所得差寫在這兩個式子之間，得到一串新式子，稱為“一次操作”．例如對于3個分式，，，那么“第一次操作”后得一串新分式為，，，，．已知一串式子是，，，張三通過實際操作，得出以下結(jié)論：①“第2次操作”后得到的一串新式子為：，0，，，，，，，；②“第3次操作”后共有17個式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第2024次操作”后所有式子之和為．那么，張三結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）．
A．4B．3C．2D．1
二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．
11．華為Mate 60的5納米麒麟9000S芯片在性能、功耗、通信等多個方面都表現(xiàn)卓越，其5納米即為0.000000005米．那么5納米用科學(xué)記數(shù)法表示為______米．
12．若一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的6倍，則該多邊形的邊數(shù)是______．
13．若點與點關(guān)于x軸對稱，則______．
14．在如圖所示的中，若AB邊上的點D使得，則______．
15．若關(guān)于x的代數(shù)式是一個完全平方式，則實數(shù)______．
16．如圖，在中，是直角，，E是CD上一點，BE過AC的中點于F，若，，則圖中陰影部分的面積為______．
17．若關(guān)于y的不等式組有解，且關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)m之和為______．
18．若一個四位正整數(shù)的千位數(shù)字與十位位數(shù)字之和與百位數(shù)字與個位位數(shù)字之和相等，我們就稱該數(shù)是“吉祥數(shù)”，則最大的“吉祥數(shù)”是______；若一個“吉祥數(shù)”M的千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是9，且十位數(shù)字與個位數(shù)的和能被3整除，則這樣的“吉祥數(shù)”M的最大值為______．
三、解答題（本大題8個小題，第19題8分，其余各題10分，共78分）解答時必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19．完成下列各題
（1）化簡；（2）分解因式．
20．如圖所示，已知，，．
（1）用尺規(guī)完成作圖，并在圖中作出適當(dāng)標(biāo)識：作的平分線BF交AE于點F，連接CF，設(shè)，，（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）根據(jù)（1）中作圖，求證：；請完善下面的證明過程，將空白處的內(nèi)容填在答題卡對應(yīng)的序號后面．
證明：∵BF平分，∴ ① ，
∵，∴ ② ，
∴，∴ ③ ，
在和中，∵，， ④ ，
∴≌，∴．
21．已知分式．
（1）化簡已知分式；
（2）若分式方程的解為a，求已知分式的值．
22．如圖，已知與都是等腰三角形，，，，D為AB邊上的一點，連接AE．
（1）求證：≌；
（2）若，，，求的面積．
23．重慶某中學(xué)甲、乙兩學(xué)生到杭州參加移動機器人比賽，擬乘坐高鐵，訂票后發(fā)現(xiàn)重慶到杭州高鐵的平均時速提高了20％，結(jié)果到杭州的時間比預(yù)計縮短了1小時20分鐘，已知重慶到杭州的高鐵全長為1600公里．
（1）求提速后重慶到杭州高鐵的平均時速？
（2）在乘坐高鐵時，甲同學(xué)先花1小時完成了全部模塊任務(wù)檢測的，乙同學(xué)也加入檢測，兩人合作3小時完成了余下的模塊任務(wù)檢測．若由乙同學(xué)獨自檢測，能否只花實際乘坐高鐵時間的80％完成全部模塊任務(wù)檢測？
24．如圖，點A、B分別在的邊上，的平分線OC與AB的垂直平分線CD交于點C，于點E，于點F．
（1）求證：；
（2）若，，求OA的長；
（3）求證：．
25．閱讀下面材料，解決后面的問題：
我們知道，如果實數(shù)a，b滿足，那么．利用這種思路，對于，我們可以求出m，n的值．
解法是：∵，∴，
即，∴，，∴．
根據(jù)這樣的解法，完成：
（1）若，求的值；
（2）若等腰的兩邊長a，b滿足，求該的周長；
（3）若正整數(shù)a，b，c滿足不等式，求的值．
26．如圖，已知OA平分，點B在OF邊上，且．
（1）求證：；
（2）已知，動點M、N同時從O點出發(fā)，其中點M以每秒4個單位長度沿射線OF方向勻速運動；動點N以每秒3個單位長度沿射線OE方向勻速運動．設(shè)動點M、N的運動時間為t秒．
圖1圖2圖3
①如圖2，當(dāng)?shù)拿娣e是面積的2倍時，求t的值；
②如圖3，如果，的面積為，當(dāng)為等腰三角形時，求ON（寫出所有ON的長）．
數(shù)學(xué)參考答案及評分意見
一、選擇題（每題4分，共40分）
1．A2．D3．C．4．A
5．C6．D7．C8．B
9．C10．B
二、填空題（每題4分，共32分）
11．12．1413．114．90°
15．3或16．2517．18．9999 5478
三、解答題（19題8分，其余各題10分，共78分）
19．解：（1）原式．
（2）原式．
20．解：（1）畫圖：略．
（2）①②③AF④（每空1分）．
21．解：（1）原式．
（2）分式方程可化為，解得，
經(jīng)檢驗是分式方程的解，故，∴已知分式的值為．
22．解：設(shè)圖中，，，
（1）∵，∴，∴，
在和中，∵，，，∴≌．
（2）由（1）知，，∵，，，
∴，，
即，而，
∴的面積為．
23．解：（1）設(shè)提速前該高鐵從重慶到杭州的平均時速是x公里/小時，
則提速后的平均時速是公里/小時，1小時20分鐘為小時，
由題意得：，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，，
答：提速后重慶到杭州高鐵的平均時速是240公里/小時．
（2）設(shè)乙同學(xué)獨自完成全部模塊任務(wù)檢測需a小時，
由題意得：，解得，
經(jīng)檢驗是該方程的解，而％，
答：：乙不能只花乘坐高鐵時間的80％完成全部模塊任務(wù)檢測．
24．（1）證明：∵CD是AB的垂直平分線，∴，
∵OC是的平分線，，，
∴在與中，，，
∴≌，∴．
（2）解：由（1）得，在ON邊上，
∵，，∴，
由（1）得，∴在OM邊上，．
（3）證明：∵，
由（1）得，∴，
設(shè)，則，
在四邊形OECF中，，∵，，
∴，∴，
在等腰中，，∴．
25．解：（1）∵，∴，
∴，，∴．
（2）∵，∴，∴，．
∵a，b是等腰的兩邊長，
∴當(dāng)a是腰，b是底時，的周長為；
當(dāng)b是腰，a是底時，的周長為．
（3）∵，∴，
∴，∵a，b，c為正整數(shù)，∴，即，
而或，即或1或3，
當(dāng)時，必有，則，與題意不符，舍去，
當(dāng)時，必有，則，與題意不符，舍去，
∴，，，∴．
26．（1）證明：∵OA平分，∴，
又∵，∴，∴．
（2）解：由題意得，，點A到兩邊的距離相等，
①要使的面積是面積的2倍，則，
當(dāng)時，，即，∴，
當(dāng)時，，即，∴，∴或．
②得底邊上的高為，，∴，
要使為等腰三角形，則或8或，
此時，或2或，∴或6或．

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