一、單選題
1．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，則M到y(tǒng)軸的距離是（ ）
A．4B．8C．10D．12
2．如圖，四棱錐S－ABCD的底面ABCD是菱形，且，AB＝AS＝1，則SC＝（ ）
A．1B．C．D．
3．設(shè)，隨機(jī)變量的分布
則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（ ）
A．增大，增大B．增大，減小
C．減小，增大D．減小，減小
4．已知變量x，y的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，其變換后得到一組數(shù)據(jù)下：
由上表可得線性回歸方程，則c＝（ ）
A．B．C．109D．
5．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，現(xiàn)從展開(kāi)式中任取2項(xiàng)，則取到的項(xiàng)都是有理項(xiàng)的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A．B．
C．D．
7．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，（且），則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
8．若（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則，，的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．
B．平面
C．與平面所成夾角的正弦值為
D．平面與平面所成夾角的正弦值為
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．
B．當(dāng)時(shí)，的極大值為，無(wú)極小值
C．當(dāng)時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值
D．當(dāng)時(shí)，恒成立，的取值范圍為
11．已知雙曲線，、分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，、為左、右焦點(diǎn)，，且，，成等比數(shù)列，點(diǎn)是雙曲線的右支上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，記，的斜率分別為，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）．
A．當(dāng)軸時(shí)，
B．雙曲線的離心率
C．為定值
D．若為的內(nèi)心，滿足，則
三、填空題
12．已知數(shù)列滿足 ，若 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，則
13．設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為 ．
14．已知關(guān)于 的不等式 (其中 )的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
四、解答題
15．某家會(huì)員足夠多的知名水果店根據(jù)人的年齡段辦理會(huì)員卡， “年齡在 20歲到34歲之間的會(huì)員” 為 1 號(hào)會(huì)員，占比 20%， “年齡在 35 歲到 59 歲之間的會(huì)員” 為 2 號(hào)會(huì)員，占比 ，“年齡在 60 歲到 80 歲之間的會(huì)員” 為 3 號(hào)會(huì)員，占比 ，現(xiàn)對(duì)會(huì)員進(jìn)行水果質(zhì)量滿意度調(diào)查. 根據(jù)調(diào)查結(jié)果得知，1 號(hào)會(huì)員對(duì)水果質(zhì)量滿意的概率為 號(hào)會(huì)員對(duì)水果質(zhì)量滿意的概率為 號(hào)會(huì)員對(duì)水果質(zhì)量滿意的概率為 .
(1)隨機(jī)選取 1 名會(huì)員， 求其對(duì)水果質(zhì)量滿意的概率;
(2)從會(huì)員中隨機(jī)抽取 2 人，記抽取的 2 人中，對(duì)水果質(zhì)量滿意的人數(shù)為 ，求 的 分布列和數(shù)學(xué)期望.
16．如圖，在斜三棱柱 中， 分別是 的中點(diǎn).
(1)證明: 平面 ;
(2)若 ，且 ，求直線 與平面所成角的正弦值.
17．已知點(diǎn) 為橢圓 上任一點(diǎn)，橢圓的短軸長(zhǎng)為 ，離心率為 .
(1)求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn) 是拋物線 的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn) ，試判斷 是否為定值? 若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值; 若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
18．已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
19．在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，維數(shù)組是一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它在各種編程語(yǔ)言中被廣泛使用．對(duì)于維數(shù)組，，定義與的差為與之間的距離為．
(1)若維數(shù)組，證明：；
(2)證明：對(duì)任意的數(shù)組A，B，C，有；
(3)設(shè)集合中有個(gè)維數(shù)組，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明：．
0
1
16
17
18
19
50
34
41
31
參考答案：
1．B
2．B
3．D
4．D
5．A
6．B
7．D
8．A
9．BC
10．CD
11．BCD
12．77
13．
14．
15．(1)
(2)分布列見(jiàn)解析；
【分析】（1）由題意，根據(jù)全概率公式計(jì)算即可求解；
（2）由題意知，利用二項(xiàng)分布求出對(duì)應(yīng)的概率，列出的分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可.
【詳解】（1）設(shè)事件：隨機(jī)選取1名會(huì)員，其對(duì)水果質(zhì)量滿意.
則；
（2）的可能取值為，則，
，
，
，
所以的分布列為
所以.
16．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接交于點(diǎn)E，連接OE，，可得四邊形為平行四邊形，則有，利用線面平行的判定定理可證得平面；
（2）可證得平面ABC，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，，OC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成的角正弦值.
【詳解】（1）連接交于點(diǎn)E，連接OE，，
∵O，E分別是AB，的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，則．
∵平面，平面，
∴平面．
（2）連接OC，
∵，,
∴為正三角形，
∴，
∵，且都在面，
∴平面ABC，而面，故，
由，易知△ABC是等腰直角三角形，
∴，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，，OC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，則，，，，
由，可得，且，，
設(shè)平面的法向量為，
∴，即，令，，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
即直線與平面所成的角正弦值為．
17．(1)
(2)為定值，且定值為2．
【分析】（1）將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出的值，代入即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)原點(diǎn)，所以，得到，再利用兩點(diǎn)間的距離公式代入化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)為 ，離心率為 .，
所以，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其準(zhǔn)線方程為：，
設(shè)，，
因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)原點(diǎn)，所以，所以，
所以，即，
所以，
又因?yàn)?，?br>所以，
所以為定值，且定值為2．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩點(diǎn)間距離公式中點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)用橢圓方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知量即可得出定值.
18．(1)答案見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）求導(dǎo)，分和討論判斷正負(fù)，得解；
（2）根據(jù)題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有兩解，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性極值情況得解；
（3）根據(jù)題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，對(duì)恒成立．當(dāng)時(shí)，上式顯然成立；當(dāng)時(shí)，上式轉(zhuǎn)化為，令利用導(dǎo)數(shù)求出最值得解.
【詳解】（1）， ，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，令，則．
若，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．
若，即時(shí)，方程的根為，
當(dāng)時(shí)，或，在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
（2）令，則．
令，則．
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．
又當(dāng)時(shí)，，且；當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，先減后增，且在處有最小值，
此時(shí)直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（3）因?yàn)?，即?br>即，對(duì)恒成立．
當(dāng)時(shí)，上式顯然成立；
當(dāng)時(shí)，上式轉(zhuǎn)化為，
令，，
，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第三問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求最值，進(jìn)而確定參數(shù)范圍.
19．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合新定義判斷證明；
（2）根據(jù)新定義，因?yàn)?，分和兩種情況證明；
（3）根據(jù)題意結(jié)合排列組合的知識(shí)表示的式子，然后結(jié)合組合數(shù)和基本不等式進(jìn)行放縮即可證得結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)與的對(duì)應(yīng)項(xiàng)中同時(shí)為0的有個(gè)，同時(shí)為1的有個(gè)，則對(duì)應(yīng)項(xiàng)不同的為個(gè)，所以．
所以．
（2）設(shè)．
因?yàn)椋?br>所以．
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
所以
（3）記集合P中所有兩個(gè)元素間距離的總和為，
則．
設(shè)集合中所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字共有個(gè)個(gè)0．
則，因?yàn)椋?br>所以．所以.
所以
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第一問(wèn)，設(shè)與的對(duì)應(yīng)項(xiàng)中同時(shí)為0的有個(gè)，同時(shí)為1的有個(gè)，根據(jù)A與B之間的距離的定義，求出，，可證；第二問(wèn)，設(shè)，先由A與B的差的定義求出，再求出，分和討論證明；第三問(wèn)，記集合P中所有兩個(gè)元素間距離的總和為，可得，設(shè)集合中所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字共有個(gè)個(gè)0，則，結(jié)合組合數(shù)和基本不等式進(jìn)行放縮即可證得結(jié)論.
0
1
2

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