一、單選題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為直線方程為，化為斜截式為：，
所以直線的斜率為：.
故選：D.
2. 拋物線的焦點到準線的距離為（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】B
【解析】由拋物線方程，
得，故拋物線焦點到準線距離為，
故選：B.
3. 已知兩條直線：，：，且，則的值為( )
A. －2B. 1C. －2或1D. 2或－1
【答案】B
【解析】：，：斜率不可能同時不存在，
∴和斜率相等，則或，
∵m＝－2時，和重合，故m＝1.
另解：，故m=1.
故選：B.
4. 信宜市是廣東省首個“中國慈孝文化之鄉(xiāng)”．為弘揚傳統(tǒng)慈孝文化，信宜某小學(xué)開展為父母捶背活動，要求同學(xué)們在某周的周一至周五任選兩天為父母捶背，則該校的同學(xué)甲連續(xù)兩天為父母捶背的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令周一至周五的5天依次為1，2，3，4，5，
則周一至周五任選兩天的樣本空間，共10個樣本點，
連續(xù)兩天事件，共4個樣本點，
所以該校的同學(xué)甲連續(xù)兩天為父母捶背的概率為.
故選：C
5. 若，則“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A. 充要條件B. 既不充分也不必要條件
C. 充分不必要條件D. 必要不充分條件
【答案】D
【解析】若方程表示橢圓，則，解得或，
因為?或，
因此，“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.
故選：D.
6. 平行六面體中，，則（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】由平行六面體可得，
又，
所以，
則.
故選：B.
7. 若動點P在直線上，動點Q在曲線上，則|PQ|的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，
∴當(dāng)直線與曲線相切，且點為切點時，，兩點間的距離最小，
設(shè)切點， ，所以，
，，，
點，直線的方程為，
兩點間距離的最小值為平行線和間的距離，
兩點間距離的最小值為.
故選：.
8. 已知兩個等差數(shù)列2，6，10，，202及2，8，14，，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（ ）
A. 1678B. 1666C. 1472D. 1460
【答案】B
【解析】第一個數(shù)列的公差為4，第二個數(shù)列的公差為6，
故新數(shù)列的公差是4和6的最小公倍數(shù)12，
則新數(shù)列的公差為12，首項為2，
其通項公式為，
令，得，
故，
則，
故選：B.
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】A：，所以，A正確；
B：，所以，B錯誤；
C：，，所以，C正確；
D：，不存在實數(shù)，使得，故與不平行，D錯誤．
故選：AC．
10. △ABC的三個頂點坐標為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說法中正確的是（ ）
A. 邊BC與直線平行
B. 邊BC上高所在的直線的方程為
C. 過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為
D. 過點A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點D(3，5)
【答案】BD
【解析】直線的斜率為，而直線的斜率為，兩直線不平行，A錯；
邊上高所在直線斜率為，直線方程為，即，B正確；
過且在兩坐標軸上的截距相等的直線不過原點時方程為，過原點時方程為，C錯；
過點A且平分△ABC面積的直線過邊BC中點，坐標為，D正確 ．
故選：BD．
11. 若雙曲線的實軸長為6，焦距為10，右焦點為F，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 過點F的最短的弦長為
B. 雙曲線C的離心率為
C. 雙曲線C上的點到點F距離的最小值為2
D. 雙曲線C的漸近線為
【答案】BCD
【解析】依題知，，則，
所以雙曲線的方程為，且
對于A，當(dāng)直線的斜率為零時，該直線截雙曲線的弦長為，
故A錯誤；
對于B，雙曲線的離心率，故B正確；
對于C，設(shè)雙曲線上任意一點，
則，
則，
又的對稱軸為，
故當(dāng)時，，故C正確；
對于D，雙曲線方程知，漸近線方程為，故D正確；
故選：BCD.
12. 材料：在空間直角坐標系中，經(jīng)過點且法向量的平面的方程為，經(jīng)過點且方向向量的直線方程為．
閱讀上面材料，并解決下列問題：平面的方程為，平面的方程為，直線的方程為，直線的方程為，則（ ）
A. 平面與垂直
B. 平面與所成角的余弦值為
C. 直線與平面平行
D. 直線與是異面直線
【答案】AD
【解析】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直線的方向向量，直線的方向向量；
對于A，，，則平面與垂直，A正確；
對于B，，
平面與所成角的余弦值為，B錯誤；
對于C，，，直線平面或直線平面，
直線過點，又滿足，直線平面，C錯誤；
對于D，與不平行，直線與直線相交或異面，
由得：，此時無解，直線與直線無交點，
直線與直線是異面直線，D正確.
故選：AD.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知等比數(shù)列滿足，，則______．
【答案】12
【解析】等比數(shù)列an滿足，，由，得.
故答案為：12
14. 長方體中，，，點F是底面的中心，則直線與直線所成角的余弦值為______．
【答案】
【解析】如圖所示，建立如下空間直角坐標系，
依題可得，,
則,
所以,
故直線與直線所成角的余弦值為,
故答案為：.
15. 寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程________.
【答案】（答案不唯一，或均可以）
【解析】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，
如圖，有三條切線，易得切線的方程為；
因為，且，所以，設(shè)，即，
則到的距離，解得（舍去）或，所以；
可知和關(guān)于對稱，聯(lián)立，解得在上，
在上取點，設(shè)其關(guān)于的對稱點為，則，
解得，則，
所以直線，即，
綜上，切線方程為或或.
故答案為：（答案不唯一，或均可以）
16. 已知橢圓的右焦點為F，過F點作圓的一條切線，切點為T，延長FT交橢圓C于點A，若T為線段AF的中點，則橢圓C的離心率為_________．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓的左焦點為,連接，,
由幾何關(guān)系可知，則，
即，
由橢圓的定義可知，即且，
整理得，解得，
.
故答案為：.
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知直線與垂直且經(jīng)過點.
（1）求的方程;
（2）若與圓相交于兩點,求.
解：（1）由直線，可得斜率，
因為，所以直線的斜率為，
又因為直線過點，所以直線的方程為，即.
（2）由圓，可得圓心，半徑，
則圓心到直線的距離為，
又由圓的弦長公式，可得弦長.
18. 記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求使成立的n的最小值．
解：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，
，
從而：，由于公差不為零，故：，
數(shù)列的通項公式為：.
（2）由數(shù)列的通項公式可得：，則：，
則不等式即：，
整理可得：，
解得：或，又為正整數(shù)，
故的最小值為.
19. “猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項活動，出現(xiàn)在宋朝．南宋時，首都臨安每逢元宵節(jié)時制迷，猜謎的人眾多．開始時是好事者把謎語寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因為謎語既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨立競猜，甲同學(xué)猜對了12道，乙同學(xué)猜對了8道，丙同學(xué)猜對了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等．
（1）任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率；
（2）任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對概率為，求n的值．
解：（1）設(shè)“甲猜對燈謎”事件A，“乙猜對燈謎”為事件B，
“任選一道燈謎，恰有一個人猜對”為事件C，
由題意得，，，且事件A、B相互獨立，
則
，
所以任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率為；
（2）設(shè)“丙猜對燈謎”為事件D，
“任選一道燈謎，甲、乙、丙三個人都沒有猜對”為事件E，
則由題意，
，
解得．
20. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點，作交于點F．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面的夾角的大?。?br>解：（1）解法一：因為底面是正方形，側(cè)棱底面，
以D為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
依意得，，，，
所以，，
因為，所以，
由已知，且，平面，平面，
所以平面．
解法二：底面是正方形，，
底面，且平面，，
，平面，平面，
平面，平面，，
，E為中點，，
，平面，平面，
平面，平面，，
由已知，且，平面，平面，
所以平面.
（2）解法一：依題意得，且，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即取，
因為，，設(shè)平面的一個法向量為，
則即取，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
又，所以，所以平面與平面的夾角為．
解法二：由（1）知平面，，
又，平面，平面，
為平面與平面所成角，
，E為中點，，，
平面，平面，，
直角三角形中，，
所以，
所以平面與平面的夾角為
21. 記數(shù)列an的前項和為，已知.
（1）證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
解：（1）因為，
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，由，得，
兩式相減得，即，
則，即，
又，故，所以，
所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即，
所以．
（2）由（1）得，
所以,
所以，
則，
兩式相減，得
，
所以．
22. 已知橢圓的左?右焦點分別為，且.過右焦點的直線與交于兩點，的周長為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過原點作一條垂直于的直線交于兩點，求的取值范圍.
解：（1）由，
得，
又的周長為，
即，
，
橢圓的標準方程為.
（2）設(shè)，
當(dāng)直線的斜率為0時，得；
當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線，直線，
聯(lián)立直線和橢圓的方程，并消去整理得
，
.
由根與系數(shù)的關(guān)系得，
所以.
聯(lián)立直線和橢圓的方程，并消去整理得
，由根與系數(shù)的關(guān)系得，
，
所以.
令，則
不妨設(shè)
，
，
，
，
綜上可得，的取值范圍為.

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