一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，.
故選：C.
2. 已知1，是方程的兩個根，則的值為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，即可得.
故選：C.
3. 已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C. 1D. 或1
【答案】C
【解析】由題意，，即，解得或，
當時，是偶函數(shù)，滿足題意，
當時，，，沒有奇偶性，不合題意，
所以.
故選：C.
4. 已知在R上的奇函數(shù)，當時，，則（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】由題意，所以.
故選：D.
5. 為實現(xiàn)碳達峰、碳中和，中共中央國務(wù)院提出，到2025年單位國內(nèi)生產(chǎn)總值二氧化碳排放比2020年下降18%，則2020年至2025年要求單位國內(nèi)生產(chǎn)總值二氧化碳排放的年均減排率最低是（ ）
A. 0.036B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)2020年單位國內(nèi)生產(chǎn)總值二氧化碳排放量為，
2020年至2025年要求單位國內(nèi)生產(chǎn)總值二氧化碳排放的年均減排率最低為，
則2020年單位國內(nèi)生產(chǎn)總值二氧化碳排放量為，
故，解得．
故選：C．
6. 已知，則的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，反解得：，
回代得：，即：，
故：.
故選：B.
7. 已知函數(shù)的定義域為，且對，，則（ ）
A. B.
C. D. 2
【答案】B
【解析】分別令和得到：，解得：.
故選：B.
8. 已知為橢圓的右焦點，為橢圓上一點，為圓上一點，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在橢圓中，，，則，則，
則橢圓的左焦點為，圓的圓心為，半徑為，
由橢圓的定義可得，
則
.
當且僅當、、、四點共線且、在線段上時，
上述不等式兩個等號同時成立，故的最小值為.
故選：B.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
9. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 命題“，”，的否定是“，”
B. 與是同一個函數(shù)
C. 不等式的解集為
D. 若，，則
【答案】AD
【解析】由存在量詞命題的否定知，，，的否定是，，
故A正確；
由知的定義域為，由或，
知定義域為，所以函數(shù)不是同一個函數(shù)，故B錯誤；
因為時，分母為0，故不等式的解集不是，故C錯誤；
由不等式的性質(zhì)，，又，所以，
故D正確.
故選：AD.
10. 下列說法不正確的是（ ）
A. 的定義域為，則的定義域為
B. 不等式對一切實數(shù)恒成立的充分不必要條件是
C. 一元二次不等式的解集為，則有最小值
D. 若，則的最小值為1
【答案】AC
【解析】對于A，因為的定義域為，
所以，解得，
故的定義域為，故A錯誤；
對于B，當時，不等式為恒成立，可得對一切實數(shù)恒成立；
當時，由對一切實數(shù)恒成立，
可得，解得，
綜上所述：不等式對一切實數(shù)恒成立的充要條件是，
所以不等式對一切實數(shù)恒成立的充分不必要條件是，
故B正確；
對于C，因為一元二次不等式的解集為，
所以當且僅當，即當且僅當，
所以.
因為，所以上式，
當且僅當，即時取等.
所以有最大值，故C錯誤；
對于D，因為，
所以
，
當且僅當時等號成立，所以，即的最小值為1，故D正確.
故選：AC.
11. 下列說法不正確的是（ ）
A. 函數(shù) 在定義域內(nèi)是減函數(shù)
B. 若是奇函數(shù)，則一定有
C. 已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是
D. 若的定義域為，則 的定義域為
【答案】ABC
【解析】對于AB，若，因為，是奇函數(shù)，
但，時，無意義，故AB描述不正確，符合題意；
對于C，已知函數(shù)在上是增函數(shù)，
首先當時，單調(diào)遞增，則，
其次當時，（對稱軸為）單調(diào)遞增，則，即，
但若要保證函數(shù)在上是增函數(shù)，
還需滿足，即，
所以實數(shù)取值范圍是 ，故C描述不正確，符合題意；
對于D，若的定義域為，則的定義域滿足，
解得，故D描述正確，不符合題意.
故選：ABC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在中，，延長到D，使得，則的長度為_______．
【答案】
【解析】在中，，
由正弦定理可得，，即，所以，
在中，，，，
由余弦定理可得，
，
所以.
13. ______．
【答案】
【解析】
.
14. 若函數(shù)，（，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是_________
【答案】
【解析】可看作由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成，
當時，因為為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增即可，由對勾函數(shù)的單調(diào)性，只需，解得，
當時，因為為減函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減即可，由對勾函數(shù)的單調(diào)性，只需，解得，
綜上，的取值范圍為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，集合，
（1）當時，求；
（2）若是充分不必要條件，求的取值范圍.
解：（1）當時，，
因為，所以，
所以或x≥1，
所以或.
（2）由于是的充分不必要條件，故是的真子集，
若，則，所以，
若，則，且且（等號不同時取得），
當時，真包含于，
當時，真包含于，
故：，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或.
16. 已知命題：關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根；命題：.
（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，中一真一假，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，
則，即，
解得：，即.
（2）當為真命題，為假命題，則，∴，
當為假命題，為真命題，則，∴，
.
17. 今年入秋以來，某市多有霧霾天氣，空氣污染較為嚴重．市環(huán)保研究所對近期每天的空氣污染情況進行調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn)，每一天中空氣污染指數(shù)與時刻時)的函數(shù)關(guān)系為，，其中為空氣治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且．
（1）若，求一天中哪個時刻該市的空氣污染指數(shù)最低；
（2）規(guī)定每天中的最大值作為當天的空氣污染指數(shù)，要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過，則調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
解：（1）時，，，
令，解得，
因此：一天中第個時刻該市的空氣污染指數(shù)最低．
（2）令，
當時，單調(diào)遞減，．
當時，單調(diào)遞增，．
聯(lián)立，解得．可得．
因此調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在范圍．
18. 某奶茶店今年年初花費16萬元購買了一臺制作冰淇淋的設(shè)備，經(jīng)估算，該設(shè)備每年可為該奶茶店提供12萬元的總收入.已知使用x年（x為正整數(shù)）所需的各種維護費用總計為萬元（今年為第一年）.
（1）試問：該奶茶店第幾年開始盈利（總收入超過總支出）？
（2）該奶茶店在若干年后要賣出該冰淇淋設(shè)備，有以下兩種方案：
①當盈利總額達到最大值時，以1萬元的價格賣出該設(shè)備；
②當年均盈利達到最大值時，以2萬元的價格賣出該設(shè)備.
試問哪一種方案較為劃算？請說明理由.
解：（1）由題意可知，總收入扣除支出后的純收入，
，解得，
由，所以從第三年開始盈利.
（2）方案①：
純收入，則5年后盈利總額達到最大值9萬元，
以1萬元的價格賣出該設(shè)備，共盈利10萬元；
方案②：
年均盈利，
由，，當且僅當，即時等號成立，
，
當4年后年均盈利達到最大值2萬元時，以2萬元的價格賣出該設(shè)備，
共盈利萬元.
兩種方案盈利總數(shù)一樣，但方案②時間短，較為劃算.
19. 去年爾濱憑借一己之力帶火了整個東北旅游市場，風頭一時無兩.出圈的同時，也出現(xiàn)了一些不和諧的聲音，有游客反映房費太高住不起.這引起了相關(guān)部門的高度重視，立即展開了調(diào)查.若某酒店去年每間客房的住宿費為800元，整年的入住房間數(shù)為間.酒店承諾，今年每間客房的住宿費可以根據(jù)不同時期進行調(diào)整，價格在550元/間至750元/間上下浮動，而游客則希望每間客房的住宿費用能下調(diào)到.經(jīng)過測算，若酒店下調(diào)客房的住宿費后，則新增入住房間數(shù)量和客房的實際住宿費與游客的期望價格的差成反比（比例系數(shù)為）.設(shè)每個房間的成本費用為300元.（包括水電費、人工費等）
（1）請直接寫出今年價格下調(diào)后酒店的收益（單位：元）關(guān)于實際住宿費（單位：元/間）的函數(shù)解析式；
（2）若酒店仍希望今年的收益比上年至少增長，則客房的住宿費最低應(yīng)定為多少元/間？
（3）當客房的住宿費定為多少元/間時，可以使酒店的收益達到最大？
解：（1）由題意得，今年新增入住房間數(shù)量為，
所以.
（2）依題意有，
整理得，解得.
即若酒店仍希望今年的收益比上年至少增長，則住宿費最低定為600元/間.
（3）由（1）知，
故設(shè)，，.
，
令，得，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當即時，最大.即當客房的住宿費定為750元/間時，可以使酒店的收益達到最大.

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