北京市平谷區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)試卷及答案解析

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注意事項(xiàng)：
1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共4頁.共150分，考試時(shí)間為120分鐘.
2.試題所有答案必須書寫在答題紙上，在試卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，將答題紙交回，試卷按學(xué)校要求保存好.
第I卷 選擇題（共40分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求直線的斜率，根據(jù)公式求傾斜角.
【詳解】直線方程可化為，所以直線的斜率為：，即，
又，所以.
故選：C
2. 圓心為，且與直線相切的圓的半徑為（ ）
A B. 2C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】由題意知，圓心為，且與直線相切，
則圓的半徑為.
故選：A.
3. 已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為、，，雙曲線上一點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由雙曲線的定義求出，由可得，然后由離心率的計(jì)算公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)分別為、，，
所以，故，
又因?yàn)殡p曲線上一點(diǎn)滿足，所以，故，
所以雙曲線的離心率為.
故選：B.
4. 已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，則其準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的定義可直接寫出答案.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為：，根據(jù)拋物線的定義，可得到準(zhǔn)線的距離為，即.
所以準(zhǔn)線方程為.
故選：A
5. 已知三棱錐中，設(shè)，，，為中點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則求解．
【詳解】由題意，
故選：C．
6. 已知展臺上四個(gè)盲盒中裝有由卡通動漫人物設(shè)計(jì)的四款不同的產(chǎn)品，學(xué)生甲喜歡其中的一款.甲從四個(gè)盲盒中抽選兩個(gè)，則“學(xué)生甲抽到了喜歡的那一款”的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算，求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，甲四個(gè)盲盒中抽選兩個(gè)，共有種不同的選法，
其中學(xué)生甲抽到了喜歡的那一款，有種不同的選法，
根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得概率為.
故選：D.
7. 已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)向圓作切線，則切線長的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得圓心的軌跡方程為圓，得到圓上到點(diǎn)的最大距離為，結(jié)合圓的切線長公式，即可求解.
【詳解】設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，
因?yàn)閳A的半徑為，且過點(diǎn)，可得，
即，即圓心的軌跡表示以為圓心，半徑為1的圓，
可得，則圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，
又由切線長公式，可得切線長的最大值為.
故選：A.
8. 已知雙曲線，則“它的漸近線方程為”是“它的離心率為”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】依題意可分別討論參數(shù)的符號，再分別驗(yàn)證漸近線和離心率即可得出結(jié)論.
【詳解】根據(jù)意題意，若，則漸近線方程為，即可得，
此時(shí)離心率為，即充分性不成立；
若，當(dāng)離心率為時(shí)可得，即可得，
此時(shí)漸近線方程為，顯然必要性也不成立；
即可得“它的漸近線方程為”是“它的離心率為”的既不充分也不必要條件；
故選：D
9. 已知四棱錐中，側(cè)面底面，，底面是邊長為的正方形，是四邊形及其內(nèi)部的動點(diǎn)，且滿足，則動點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取線段的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出平面，可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓及其內(nèi)部，結(jié)合圓的面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以，平面，
因?yàn)槠矫?，則，
因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的正方形，則，
所以，，，
所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓及其內(nèi)部，
因此，動點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為.
故選：B.
10. 已知曲線方程為，給出下列命題：
①曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；
②曲線上任意兩點(diǎn)的距離最大值為；
③曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍；
④曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積為16.
則所有真命題是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分類討論，得到曲線的方程，畫出曲線的圖形，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由曲線方程為，
當(dāng)時(shí)，可得，即；
當(dāng)時(shí)，可得，即；
當(dāng)時(shí)，可得，即；
當(dāng)時(shí)，可得，即；
當(dāng)時(shí)，可得，即；
當(dāng)時(shí)，可得，即，
所以曲線的圖象，如圖所示，
對于①中，用代入方程中的，方程不變，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以正確；
對于②中，令，解得，可得曲線上任意兩點(diǎn)的距離最大值為，所以不正確；
對于③中，結(jié)合圖象，可得曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍，所以正確；
對于④中，曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為，所以正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是合理地分類討論再正確地作出圖形， 根據(jù)圖形分析其對稱性、距離最值和面積.
第II卷 非選擇題（共110分）
二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）
11. 已知直線和直線平行，那么______.
【答案】或
【解析】
【分析】利用兩直線平行的斜率關(guān)系即可求得或.
【詳解】易知直線的斜率一定存在，且為，
由兩直線平行可得，解得或；
經(jīng)檢驗(yàn)或都符合題意；
故答案：或
12. 已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦恰被點(diǎn)平分時(shí)，直線的方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】求得圓心坐標(biāo)為，易知，利用斜率之間的關(guān)系可得，即可求得直線的方程.
【詳解】易知可表示為，
可知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，如下圖所示：
根據(jù)題意由圓的性質(zhì)可知，易知，所以；
由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的方程為，即.
故答案為：
13. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，并根據(jù)所選條件寫出一個(gè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.①焦點(diǎn)；②經(jīng)過點(diǎn).你所選的條件是______，得到的一個(gè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是______.
【答案】 ①. ① ②.
【解析】
【分析】利用拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)以及標(biāo)準(zhǔn)方程形式即可得出答案.
【詳解】若選擇①，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)，又可知，可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是；
若選擇②，根據(jù)題意可知，拋物線只能開口向右或向上，
若開口向右，可設(shè)，將代入可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；
若開口向上，可設(shè)，將代入可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；
故答案為：①；（②；或）
14. 已知盒子中有大小、形狀都相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次從中取一個(gè)球，取到紅球記1分，取到白球記2分.如果有放回的抽取2次，則“2次所得分?jǐn)?shù)之和為3分”的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意，2次所得分?jǐn)?shù)之和為3分，
則第1次取出紅球第2次取出白球或第1次取出白球第2次取出紅球,
由于有放回抽取，兩次抽取為相互獨(dú)立事件，
其概率為.
故答案為：
15. 已知雙曲線的離心率，則______.
【答案】1
【解析】
【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定，求得，再利用離心率求得．
【詳解】由題意顯然有，，因此，，解得，
故答案為：1.
16. 已知曲線關(guān)于直線對稱，若直線被曲線截得的弦長為，則______.
【答案】
【解析】
【分析】曲線方程化為桂圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后得出圓心坐標(biāo)，代入對稱直線方程得值，由弦長得出圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得．
【詳解】曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，它表示圓，圓心坐標(biāo)為，
由題意，解得，即圓心為，半徑為，
直線被圓截得的弦長為，則圓心到直線的距離為，
所以，解得．
故答案為：．
17. 如圖，棱長為2的正方體中，，分別是線段和上的動點(diǎn).對于下列四個(gè)結(jié)論：

①存在無數(shù)條直線平面；
②線段長度的取值范圍是；
③三棱錐的體積最大值為；
④設(shè)，分別為線段和上的中點(diǎn)，則線段的垂直平分線與底面的交點(diǎn)構(gòu)成的集合是圓.
則其中正確的命題有______.
【答案】①③
【解析】
【分析】構(gòu)造面面平行，尋找線面平行，可以判斷①的對錯；通過特殊位置，可以判斷②是錯誤的；分析三棱錐的高是確定的，求底面積最大值，可得三棱錐體積的最大值，判斷③的對錯；根據(jù)公理，兩個(gè)平面的交點(diǎn)在一條直線上，可得④是錯誤的.
【詳解】對①：過作，交于，連接，則平面，因?yàn)辄c(diǎn)再上運(yùn)動，故滿足條件的直線有無數(shù)條.所以①正確；

對②：當(dāng)與重合，為中點(diǎn)時(shí)，，所以長度取值范圍是是錯誤的；
對③：

因?yàn)橹本€平面，所以到平面的距離為定值，是正方體體對角線的，所以當(dāng)與重合時(shí)，底面積最大，此時(shí)的體積最大，為，所以③正確；
對④，當(dāng)，位置確定時(shí)，線段的垂直平分線構(gòu)成一個(gè)平面，它和底面的交點(diǎn)應(yīng)該是一條直線，所以④錯誤.
故答案為：①③
三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
18. 如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，四邊形為平行四邊形，，，，是的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）答案見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造線線平行，證明線面平行；
（2）借助等體積法求點(diǎn)到面的距離.
【小問1詳解】
如圖：連接，交于，連接，
因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以為中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，，平面，，所以平面，
平面，所以.
所以底面為矩形.
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以、到平面的距離相等，設(shè)為.
由，
而，，
中，，，，所以是直角三角形，且，
所以，即為所求.
19. 已知某公司統(tǒng)計(jì)了一種產(chǎn)品在2023年各月的銷售情況，如圖，公司將每連續(xù)3個(gè)月的銷售量做為一個(gè)觀測組，對該公司這種產(chǎn)品的銷售量（單位：萬）進(jìn)行監(jiān)測和預(yù)測.
（1）現(xiàn)從產(chǎn)品的10個(gè)觀測組中任取一組，求組內(nèi)三個(gè)月中至少有一個(gè)銷售量高于50萬的概率；
（2）若當(dāng)月的銷售量大于上一個(gè)月的銷售量，則稱該月的銷售指數(shù)增長；若當(dāng)月的銷售量小于上一個(gè)月的銷售量，則稱該月的銷售指數(shù)下降.（已知1月份的銷售量低于2022年12月份銷售量）.現(xiàn)從10個(gè)觀測組中任取一組，求抽到的觀測組中銷售指數(shù)增長月份恰有2個(gè)的概率.
（3）假設(shè)該產(chǎn)品每月的銷售指數(shù)是否增長只受上一個(gè)月銷售指數(shù)的影響，預(yù)測2024年1月份“銷售指數(shù)增長”和“銷售指數(shù)下降”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大（直接寫出結(jié)果）.
【答案】（1）
（2）
（3）“銷售指數(shù)增長”的概率估計(jì)值最大
【解析】
【分析】（1）列舉出10個(gè)觀測組中的數(shù)據(jù)，求出符合題意的觀測組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可得出概率；
（2）將銷售指數(shù)增長記為“1”，銷售指數(shù)下降記為“0”，得出每個(gè)月的增長指數(shù)情況，求出銷售指數(shù)增長月份恰有2個(gè)的數(shù)據(jù)組數(shù)，即可得出結(jié)論；
（3）易知12月份為“銷售指數(shù)增長”月，求出連續(xù)兩個(gè)月為增長的概率即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可知，四個(gè)觀測組中的數(shù)據(jù)分別為：
，
；
至少有一個(gè)高于50萬的數(shù)據(jù)有8組，
所以從10個(gè)觀測組中任取一組，組內(nèi)三個(gè)月中至少有一個(gè)銷售量高于50萬的概率；
【小問2詳解】
將銷售指數(shù)增長記為“1”，銷售指數(shù)下降記為“0”，
則10個(gè)觀測組中的銷售指數(shù)可表示為：
，；
觀測組中銷售指數(shù)增長月份恰有2個(gè)的共有6組，
即從10個(gè)觀測組中任取一組，抽到的觀測組中銷售指數(shù)增長月份恰有2個(gè)的概率；
【小問3詳解】
易知12月份為“銷售指數(shù)增長”月，12個(gè)月當(dāng)中每個(gè)月的銷售指數(shù)可表示為0，1，1，1，0，0，1，1，0，1，1，1，
易得“銷售指數(shù)增長”的月份共有8個(gè)，
上個(gè)月增長下個(gè)月也增長的月份共5個(gè)，即可知2024年1月份“銷售指數(shù)增長”和“銷售指數(shù)下降”的概率估計(jì)值分別為和,
因此2024年1月份“銷售指數(shù)增長”的概率估計(jì)值最大.
20. 已知橢圓的左右頂點(diǎn)距離為，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)，斜率存在且不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求弦垂直平分線的縱截距的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)長軸長與橢圓的離心率求得，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)與橢圓方程聯(lián)立后，得到韋達(dá)定理的形式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到方程；令可求得在軸的截距，利用函數(shù)值域的求解方法可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意，，即，
又，所以，
故，
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
如圖，
由題意知：直線的斜率存在且不為零，
設(shè)，，，，中點(diǎn)，
聯(lián)立，消去并整理得：，
恒成立，
則，，，
，
則方程為：，即，
化簡得：
設(shè)直線在軸上截距為，令得，
由可知，
所以直線在軸上的截距的取值范圍為.
21. 如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，側(cè)面底面，為等邊三角形，，，點(diǎn)在上，.
（1）求證：為中點(diǎn)；
（2）設(shè)上一點(diǎn)，若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理得平面，然后證明線面垂直平面，得出線線垂直，最后由等邊三角形得證中點(diǎn)；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法求二面角的方法可求得值．
【小問1詳解】
因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，則，
又因?yàn)槠矫娴酌?，面底面，平面?br>所以平面，平面，則，
因?yàn)?，，平面?br>所以平面，又平面，所以，
因?yàn)槭堑冗吶切?，所以是中點(diǎn)；
【小問2詳解】
分別以所在直線為軸，過且平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，，，
所以，，
設(shè)，則，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
顯然平面的一個(gè)法向量是，
因?yàn)槠矫媾c平面的夾角的余弦值為，
所以，又，故解得，
所以．
22. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)橢圓上一點(diǎn)（不與左右頂點(diǎn)重合），直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且的周長為6.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，直線，分別與直線交于，兩點(diǎn).試判斷：以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并說明理由.
【答案】（1）
（2）相切，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓定義并利用即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立并利用韋達(dá)定理可求得的中點(diǎn)為，且，再由點(diǎn)到直線距離即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
由橢圓定義可得的周長為；
又，解得；
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
相切，理由如下：
如下圖所示：
易知，設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，整理可得，顯然；
且，
可得直線的方程為，直線的方程為；
所以，設(shè)的中點(diǎn)為
可得
，
即圓心；
則，
易知，
化簡可得；
所以以為直徑的圓的半徑為，
又到直線的距離為，
所以圓心到直線距離等于圓的半徑，即以為直徑的圓與直線相切.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解圓錐曲線中弦長問題時(shí)，經(jīng)常利用韋達(dá)定理代入表達(dá)式計(jì)算得出，并根據(jù)代數(shù)計(jì)算判斷出幾何關(guān)系.