一、選擇題
1．已知復(fù)數(shù),則( )
A.B.C.1D.
2．設(shè)集合,.則( )
A.B.C.D.
3．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,,則數(shù)列的公差為( )
A.2B.1C.D.0
4．在正方體中,若平面與平面的交線為l,則( )
A.B.C.平面D.平面
5．設(shè),則( )
A.B.C.D.
6．若直線是函數(shù)的一條切線,則的最小值為( )
A.1B.2C.D.
7．已知x,,設(shè)甲:,乙,則( )
A.甲是乙的充分不必要條件
B.甲是乙的必要不充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8．如圖,在四邊形中,為正三角形,,則的最大值為( )
A.B.C.2D.3
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知,且,則( )
A.B.
C.D.
10．已知函數(shù),則( )
A.為的周期
B.函數(shù)的值域?yàn)?br>C.函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
D.滿足的的取值范圍是
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,則( )
A.B.C.是奇函數(shù)D.
三、填空題
12．若,則________.
13．已知底面半徑相等的圓錐和圓柱的側(cè)面積相等,若圓錐的母線長(zhǎng)是底面半徑的2倍,則圓錐與圓柱的體積之比為_(kāi)_______.
14．已知數(shù)列滿足,若,則________.
四、解答題
15．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.
（1）求a、b的值;
（2）若,當(dāng)時(shí),的最小值為,求m的值.
16．記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,.
（1）求A;
（2）若,設(shè),求.
17．如圖,在四棱錐中,四邊形為菱形,,,.
（1）證明:平面;
（2）已知平面與平面的夾角的余弦值為,求.
18．已知函數(shù).
（1）若單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
（2）已知,且.
（i）若,證明:;
（ii）證明:.
19．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且.
（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
（2）若,恒成立,求的取值范圍;
（3）判斷是否存在正整數(shù)p,q,滿足,若存在,求p,q的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案
1．答案：D
解析：由,則,
故選:D.
2．答案：B
解析：由,解得或,因?yàn)?解得,所以,
故選:B.
3．答案：A
解析：由題意,,所以,,所以的公差為2,
故選:A.
4．答案：D
解析：因?yàn)辄c(diǎn)平面平面,所以.
又因直線平面平面,故得,
所以l是過(guò)點(diǎn)B且平行于的直線.
對(duì)于A,因?yàn)?,所以,故不成立,即A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,因?yàn)?而,故不成立,即B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,因?yàn)?而平面,故平面不成立,即C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,因?yàn)?,所以,
又平面平面,所以平面,即D正確.
故選:D.
5．答案：A
解析：,,所以,
因?yàn)?
所以,
故選:A.
6．答案：C
解析：設(shè)切點(diǎn)為,因?yàn)?
所以函數(shù)的切線方程為,
即,所以,
所以,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.
故選:C.
7．答案：C
解析：設(shè),其定義域?yàn)镽,
則,
所以為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,所以在R上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí),,即;
由,
得,即,所以.
所以甲是乙的充要條件.
故選:C.
8．答案：B
解析：由圖知,,則
,
因故當(dāng)與同向時(shí),的最大值為1,
故的最大值為.
故選:B.
9．答案：AD
解析：對(duì)于A,,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,A選項(xiàng)正確;
對(duì)于B,因?yàn)椋ǖ忍?hào)取不到）,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)于C,,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)于D,,所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,D選項(xiàng)正確;
故選:AD.
10．答案：ACD
解析：選項(xiàng)正確;
所以只需考慮,當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,所以的值域?yàn)?B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,,,在有且僅有一個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,無(wú)零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,無(wú)零點(diǎn),
因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),C選項(xiàng)正確;
當(dāng)時(shí),,解得,
當(dāng)時(shí),,
所以滿足的的取值范圍是,D選項(xiàng)正確.
故選:ACD.
11．答案：ACD
解析：令,則,即,因?yàn)椴粸槌：瘮?shù),所以,選項(xiàng)A正確;
互換,則,所以,所以,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
令,則,因?yàn)?所以,
令,則,所以,
所以是奇函數(shù),故選項(xiàng)C正確;
令,則,
因?yàn)楫?dāng)時(shí),單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),,
又,所以當(dāng)時(shí),,
又當(dāng)時(shí),,所以,即,
所以,選項(xiàng)D正確;
故選:ACD.
12．答案：
解析：由題意可得:.
故答案為:.
13．答案：或
解析：設(shè)圓錐底面半徑為,母線長(zhǎng)為l,圓柱高為h,
則,所以,
所以圓錐與圓柱的體積之比為.
故答案為:
14．答案：
解析：若,當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
所以,
故,,
所以,,…,,
所以,又因?yàn)?,
所以,.
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）依題意,,
即,
所以,,所以,.
（2）由（1）可知,,則,
所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
若,則在區(qū)間內(nèi)的最小值為,
即,解得或,均不符題意;
若,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
則在區(qū)間內(nèi)的最小值為,解得,符合題意.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理可得,,
整理可得,,
因?yàn)?所以,
解得或（舍）,
所以;
（2）由（1）可知,,
所以,,
又因?yàn)?所以,
由正弦定理可得,,解得,,
依題意,由,有,有,
所以,
所以.
17．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）設(shè),因?yàn)樗倪呅螢榱庑?則O為、的中點(diǎn),且,
因?yàn)?,,則是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,
則,,
因?yàn)?所以,即,
因?yàn)?、平面,所以平面.
（2）因?yàn)槠矫?以O(shè)為原點(diǎn),、所在直線分別為x軸、y軸,
過(guò)點(diǎn)O且與平面垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則、、,設(shè),則,且,
,,
設(shè)平面的法向量為,
所以,令,則,
由（1）可知,平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)平面與平面的夾角為,
則,化簡(jiǎn)得,
所以,,解得,,所以,
所以,,即.
18．答案：（1）
（2）（i）證明見(jiàn)解析;
（ii）證明見(jiàn)解析
解析：（1）由題意得定義域,,
即恒成立.
設(shè),則,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí),取得極小值,也是最小值,,
所以.
（2）（i）不妨設(shè),則,
則由,知,所以,
設(shè),,
所以單調(diào)遞增,,
所以,即.
（ii）由（1）可知,當(dāng),時(shí),,
所以,即當(dāng)時(shí),,
由,得,所以,
又,所以,所以,
所以.
19．答案：（1）證明見(jiàn)解析;
（2）;
（3）存在,,.
解析：（1）數(shù)列中,,當(dāng)時(shí),,
兩式相減得,,即,
整理得,,當(dāng)時(shí),,解得,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得,,則,,
依題意,,
設(shè),
則,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即,
因此數(shù)列的最大項(xiàng)為,
所以的取值范圍是.
（3）假設(shè)存在正整數(shù)p,q,滿足,
則,即,由且,得,
設(shè),則,
當(dāng)時(shí),不符題意;當(dāng)時(shí),,此時(shí)符合題意;
當(dāng)時(shí),,不符題意;當(dāng)時(shí),,不符題意;
當(dāng)時(shí),,
因此,即當(dāng)時(shí),不符題意,
所以存在正整數(shù),,滿足.

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