2024-2025學年福建省三明市四校聯(lián)考高一(上)期中考試數(shù)學試卷(解析版)-試卷下載-教習網(wǎng)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，則1與集合的關系為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為，所以，這也意味著，從而只有選項A正確.
故選：A.
2. 命題“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命題“，”的否定是“，”.
故選：B.
3. 下列表示同一函數(shù)的是（）
A. 與B. 與
C. 與D. 與
【答案】A
【解析】A：定義域均為，且，所以是同一函數(shù)；
B：定義域為，定義域為，定義域不同，
所以不是同一函數(shù)；
C：中，解得，所以定義域為，
中，解得或，定義域為，
由上可知，定義域不同，所以不是同一函數(shù)；
D：的定義域為，的定義域為，定義域不同，所以不是同一函數(shù).
故選：A.
4. “”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因為，
即，所以“”是“”的充要條件.
故選：C.
5. 已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意可知，解得，所以定義域為.
故選：D.
6. 已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）
A. ，B. ，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】因為在每段定義域對應的解析式上都有可能使得成立，
所以將原不等式轉化為：或，從而得或．
故選：D．
7. 函數(shù)的大致圖象為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函數(shù)的定義域為，，
所以，函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項；
當時，，則，，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，排除C選項.
故選：A.
8. 已知函數(shù)若，則函數(shù)零點個數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作出與的圖象如下，
由圖可知，與的圖象有個交點，
則函數(shù)的零點個數(shù)是.
故選：C．
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法中正確的是（）
A. 若，則函數(shù)的最小值為3
B. 若，則的最小值為4
C. 若，，，則的最大值為1
D. 若，滿足，則的最大值為
【答案】AC
【解析】對于A：因為，所以，
所以，
當且僅當，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為，故正確；
對于B：因，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，故錯誤；
對于C：因為，所以，
所以，所以，解得，
當且僅當時取等號，所以的最大值為，故正確；
對于D：因為，所以，且，
所以，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，
故錯誤.
故選：AC.
10. 下列大小關系正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】對于A：因為且在上單調遞增，所以，故正確；
對于B：因為在上單調遞增，在上單調遞增，
所以，故正確；
對于C：因為，且在上單調遞增，
由于，所以，故正確；
對于D：因為在上單調遞增，在上單調遞增，
所以，故錯誤.
故選：ABC.
11. 已知函數(shù)的定義域為，對任意實數(shù)，滿足：，且．當時，．則下列選項正確的是（）
A. B.
C. 為上的增函數(shù)D. 為奇函數(shù)
【答案】BD
【解析】對于A：令，則，令，
則，
令，則，故錯誤；
對于B：由A選項的計算可知，故正確；
對于C：，則，
則，
因為，所以，又時，，
所以，所以，
所以為上減函數(shù)，故錯誤；
對于D：令，則，則，
所以，所以，
且定義域為關于原點對稱，所以為奇函數(shù)，故正確.
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 冪函數(shù)的圖象關于軸對稱，則實數(shù)＝_______.
【答案】2
【解析】函數(shù)是冪函數(shù)，
∴，解得或，
當時，函數(shù)的圖象不關于軸對稱，舍去；
當時，函數(shù)的圖象關于軸對稱；
∴實數(shù)．
13. 已知函數(shù)且，則的值為______．
【答案】
【解析】令，定義域為且關于原點對稱，
因為，所以為奇函數(shù)，
所以，所以，
代入，可得.
14. 若，，，，使則實數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】原問題等價于函數(shù)的值域是函數(shù)值域的子集．
在上，二次函數(shù)的值域是，
單調遞增的一次函數(shù)的值域是，
則，
則且，解得．
四、解答題：本題共7小題，共84分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 計算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
.
（2）原式
.
16. 設全集，集合，．
（1）求，；
（2）若集合，，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）因為，所以，
因為且在上單調遞增，所以，
所以，
所以，且，
所以.
（2）因為，所以，
當時，顯然不滿足，所以；
因為，所以，解得，
所以的取值范圍是.
17. 已知函數(shù)，且.
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值
解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：
由題得，解得，
故函數(shù)的定義域為，關于原點對稱；
，
所以函數(shù)為奇函數(shù).
（2）由，函數(shù)為增函數(shù)，所以：
函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)（同增異減），
所以函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，
最大值為.
18. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，．
（1）求的值；
（2）討論函數(shù)的單調性；
（3）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）因為為奇函數(shù)，
所以，
所以，所以，
所以.
（2），，
則，
因為，所以，
所以，所以，
所以在上單調遞增.
（3）因為是上的奇函數(shù)，
所以，
因為在上單調遞增，所以恒成立，
所以恒成立，所以；
因為，當時取等號，所以，
所以.
19. 布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)實函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點"函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個不動點．現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動點．
（1）判斷函數(shù)是否是“不動點”函數(shù)，若是，求出其不動點；若不是，請說明理由
（2）已知函數(shù)，若是的次不動點，求實數(shù)的值：
（3）若函數(shù)在上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）依題意，設為f(x)的不動點，即，
于是得，解得或，
所以是“不動點” 函數(shù)，不動點是2和.
（2）因是“次不動點”函數(shù)，依題意有，即，
顯然，解得，
所以實數(shù)的值是.
（3）設分別是函數(shù)在上的不動點和次不動點，
且唯一，
由得：，即，整理得：，
令，顯然函數(shù)在上單調遞增，則，，則，
由得：，即，整理得：，
令，顯然函數(shù)在上單調遞增，，，則，
綜上得：，
所以實數(shù)的取值范圍.