知識(shí)導(dǎo)航
必備知識(shí)點(diǎn)
費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)
【結(jié)論】
如圖，點(diǎn)M為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小
【證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．
∵△ABE為等邊三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°．
而∠MBN＝60°，
∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB與△ENB中，
∵，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．
∵∠MBN＝60°，BM＝BN，
∴△BMN為等邊三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小．
此時(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；
∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
費(fèi)馬點(diǎn)作法
分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。
加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)
點(diǎn)P為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值
解決辦法：
第一步，選定固定不變線段；
第二步，對(duì)剩余線段進(jìn)行縮小或者放大。
如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=，如圖所示，B、P、P2、A2四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值。
例：點(diǎn)P為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，連接AP、BP、CP，求3AP+4BP+5CP的最小值
【分析】將△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)90°到△A1P1C，過P2作P1A1的平行線，交CA1于點(diǎn)A2，且滿足A2P2：P1A1=3：4.
在Rt△PCP2中，設(shè)PC=a，由△CA2P2∽△CA1P1得CP2=3a/4，則PP2=5a/4。
∴3AP+4BP+5CP=
∴B、P、P2、A2四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值。接觸BA2長(zhǎng)度即可。
方法點(diǎn)撥
一、題型特征：PA+PB+PC（P為動(dòng)點(diǎn)）
①一動(dòng)點(diǎn)，三定點(diǎn)
②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的頂點(diǎn)與已知三角形且與所作等邊三角形相對(duì)的頂點(diǎn)相連，連線的交點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)。
③同時(shí)線段前可以有不為1的系數(shù)出現(xiàn)，即：加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)
二、模型本質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短。
例題演練
1．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣8的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx+（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，與拋物線交于另一點(diǎn)R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．
（1）求拋物線與直線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P做PH⊥AR于點(diǎn)H，過點(diǎn)P做PQ∥x軸交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P做PH′⊥x軸于點(diǎn)H′，K為直線PH′上一點(diǎn)，且PK＝2PQ，點(diǎn)I為第四象限內(nèi)一點(diǎn)，且在直線PQ上方，連接IP、IQ、IK，記l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，當(dāng)l取得最大值時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)m的最小值．
（3）如圖2，將點(diǎn)A沿直線AR方向平移13個(gè)長(zhǎng)度單位到點(diǎn)M，過點(diǎn)M做MN⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)N，動(dòng)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，連接MD、DN，再將△MDN沿直線MD翻折為△MDN′（點(diǎn)M、N、D、N′在同一平面內(nèi)），連接AN、AN′、NN′，當(dāng)△ANN′為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【解答】解（1）∵y＝ax2+bx﹣8與y軸的交點(diǎn)為C，令x＝0，y＝﹣8
∴點(diǎn)C（0，﹣8）
∴OC＝8
∵OC＝2OA，OB＝3OA
∴OA＝4，OB＝12
∴A（﹣4，0）B（12，0）
將點(diǎn)A代入直線解析式可得0＝﹣4k+
解得k＝
∴y＝x+
將點(diǎn)A和點(diǎn)B代入拋物線中
解得a＝，b＝﹣
∴y＝x2﹣x﹣8
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p，p2﹣p﹣8）
﹣＝4
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝4
∴點(diǎn)Q（8﹣p，）
∴PQ＝2p﹣8
∵PK＝2PQ
∴PK＝4p﹣16
如圖1所示，延長(zhǎng)PK交直線AR于點(diǎn)M，則M（p，）
∴PM＝﹣（）＝
∵∠PHM＝∠MH′A，∠HMP＝∠AMH′
∴∠HPM＝∠MAH′
∵直線解析式為y＝，令x＝0，y＝．
∴OE＝
∵OA＝4
根據(jù)勾股定理得∴AE＝
∴cs∠EAO＝＝
∴cs∠HPM＝＝＝
∴PH＝
∵I＝PH﹣PQ
∴I＝（）﹣（2p﹣8）＝﹣（p﹣5）2+85
∴當(dāng)p＝5時(shí)，I取最大值此時(shí)點(diǎn)P（5，）
∴PQ＝2，PK＝
如圖2所示，連接QK，以PQ為邊向下做等邊三角形PQD，連接KD，在KD取I，
使∠PID＝60°，以PI為邊做等邊三角形IPF，連接IQ
∵IP＝PF，PQ＝PD，∠IPQ＝∠FPD
∴△IPQ≌△FPD
∴DF＝IQ
∴IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此時(shí)m最小
過點(diǎn)D作DN垂直于KP
∵∠KPD＝∠KPQ+∠QPD＝150°
∴∠PDN＝30°
∵DP＝PQ＝2
∴DN＝1，根據(jù)勾股定理得PN＝
在△KDN中，KN＝5，DN＝1，根據(jù)勾股定理得KD＝2
∴m的最小值為2
（3）設(shè)NM與x軸交于點(diǎn)J
∵AM＝13，cs∠MAJ＝
∴AJ＝12，根據(jù)勾股定理得MJ＝5
∵OA＝4，∴OJ＝8
∴M（8，5）
當(dāng)x＝8時(shí)，代入拋物線中，可得y＝﹣8
∴N（8，﹣8），MN＝13
在△AJN中，根據(jù)勾股定理得AN＝4
∵點(diǎn)D為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)翻折，MN′＝13，所以點(diǎn)N′在以M為圓心，13個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖3所示
①當(dāng)N′落在AN的垂直平分線上時(shí)
tan∠MNA＝＝
∴tan∠MGJ＝，∵M(jìn)J＝5
∴JG＝，根據(jù)勾股定理得MG＝
∵M(jìn)D1為∠GMJ的角平分線
∴
∴D1J＝∴D1（，0）
∵M(jìn)D4也為角平分線
∴∠D1MD4＝90°
根據(jù)射影定理得MJ2＝JD1?JD4
∴JD4＝
∴D4（，0）
②當(dāng)AN＝AN′時(shí)
D2與點(diǎn)A重合
∴D2（﹣4，0）
∵M(jìn)D3為角平分線
∴
∴JD3＝
∴D3（，0）
綜上所述D1（，0），D2（﹣4，0），D3（，0），D4（，0）．
2．已知拋物線y＝﹣x2+bx+4的對(duì)稱軸為x＝1，與y交于點(diǎn)A，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，作平行四邊形ABOC并將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′O′C′．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′O′C′重疊部分△OC′D的周長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)P為△AOC內(nèi)一點(diǎn)，直接寫出PA+PC+PO的最小值（結(jié)果可以不化簡(jiǎn)）以及直線CP的解析式．
【解答】解：（1）由已知得，x＝﹣＝1，則b＝1，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4，
∴A（0，4），令y＝0，得﹣x2+x+4＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝4．
（2）在?ABCD中，∠OAB＝∠AOC＝90°，則AB∥CO，
∴OB＝＝2，OC′＝OC＝2，
∴∠OC′D＝∠OCA＝∠B，∠C′OD＝∠BOA，
∴△C′OD∽△BOA，
∴＝＝＝，
∵△AOB的周長(zhǎng)為6+2，
∴△C′OD的周長(zhǎng)為（6+2）×＝2+；
（3）此點(diǎn)位費(fèi)馬點(diǎn)，設(shè)三角形AOB的三邊為a，b，c，
∵OC＝2，OA＝4，AC＝＝2，
PA+PO+PC＝
＝2．
直線CP解析式為y＝（﹣1）x+2﹣2．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D在x軸的正半軸上，∠ODB＝30°，OE為△BOD的中線，過B、E兩點(diǎn)的拋物線與x軸相交于A、F兩點(diǎn)（A在F的左側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）等邊△OMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)P為△ABO內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)m＝PA+PB+PO，請(qǐng)直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時(shí)，線段AP的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）過E作EG⊥OD于G（1分）
∵∠BOD＝∠EGD＝90°，∠D＝∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵點(diǎn)B（0，2），∠ODB＝30°，
可得OB＝2，；
∵E為BD中點(diǎn)，
∴
∴EG＝1，
∴
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2分）
∵拋物線經(jīng)過B（0，2）、兩點(diǎn)，
∴，
可得；
∴拋物線的解析式為；（3分）
（2）∵拋物線與x軸相交于A、F，A在F的左側(cè)，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴，
∴在△AGE中，∠AGE＝90°，（4分）
過點(diǎn)O作OK⊥AE于K，
可得△AOK∽△AEG
∴
∴
∴
∴
∵△OMN是等邊三角形，
∴∠NMO＝60°
∴；
∴，或；（6分）
（寫出一個(gè)給1分）
（3）如圖；
以AB為邊做等邊三角形AO′B，以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB′；
易證OE＝OB＝2，∠OBE＝60°，則△OBE是等邊三角形；
連接OO′、BB′、AE，它們的交點(diǎn)即為m最小時(shí)，P點(diǎn)的位置（即費(fèi)馬點(diǎn)）；
∵OA＝OB′，∠B′OB＝∠AOE＝150°，OB＝OE，
∴△AOE≌△B′OB；
∴∠B′BO＝∠AEO；
∵∠BOP＝∠EOP′，而∠BOE＝60°，
∴∠POP'＝60°，
∴△POP′為等邊三角形，
∴OP＝PP′，
∴PA+PB+PO＝AP+OP′+P′E＝AE；
即m最小＝AE＝；
如圖；作正△OBE的外接圓⊙Q，
根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)知∠BPO＝120°，則∠PBO+∠BOP＝60°，而∠EBO＝∠EOB＝60°；
∴∠PBE+∠POE＝180°，∠BPO+∠BEO＝180°；
即B、P、O、E四點(diǎn)共圓；
易求得Q（，1），則H（，0）；
∴AH＝；
由割線定理得：AP?AE＝OA?AH，
即：AP＝OA?AH÷AE＝×÷＝．
故：m可以取到的最小值為
當(dāng)m取得最小值時(shí)，線段AP的長(zhǎng)為．
（如遇不同解法，請(qǐng)老師根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分）
4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+過點(diǎn)A（1，0），B（5，0），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）定義：平面上的任一點(diǎn)到二次函數(shù)圖象上與它橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的距離，稱為點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離．如：點(diǎn)O到二次函數(shù)圖象的垂直距離是線段OC的長(zhǎng)．已知點(diǎn)E為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且在x軸上方，點(diǎn)F為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)F到二次函數(shù)圖象的垂直距離．
（3）在（2）中，當(dāng)點(diǎn)F到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小時(shí)，在以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的菱形內(nèi)部是否存在點(diǎn)Q，使得AQ，BQ，F(xiàn)Q之和最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+過點(diǎn)A（1，0），B（5，0），
∴0＝a+b+
0＝25a+5b+
∴a＝，b＝﹣3
∴解析式y(tǒng)＝x2﹣3x+
（2）當(dāng)y＝0，則0＝x2﹣3x+
∴x1＝5，x2＝1
∴A（1，0），B（5，0）
∴對(duì)稱軸直線x＝3，頂點(diǎn)坐標(biāo)（3，﹣2），AB＝4
∵拋物線與y軸相交于點(diǎn)C．
∴C（0，）
如圖1
①如AB為菱形的邊，則EF∥AB，EF＝AB＝4，且E的橫坐標(biāo)為3
∴F的橫坐標(biāo)為7或﹣1
∵AE＝AB＝4，AM＝2，EM⊥AB
∴EM＝2
∴F（7，2），或（﹣1，2）
∴當(dāng)x＝7，y＝×49﹣7×3+＝6
∴點(diǎn)F到二次函數(shù)圖象的垂直距離6﹣2
②如AB為對(duì)角線，如圖2
∵AEBF是菱形，AF＝BF＝4
∴AB⊥EF，EM＝MF＝2
∴F（3，﹣2）
∴點(diǎn)F到二次函數(shù)圖象的垂直距離﹣2+2
（3）當(dāng)F（3，﹣2）時(shí)，點(diǎn)F到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小
如圖3，以BQ為邊作等邊三角形BQD，將△BQF繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△BDN位置，連接AN，作PN⊥AB于P
∵等邊三角形BQD
∴QD＝QB＝BD，
∵將△BQF繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△BDN位置
∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ
∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN
∴當(dāng)AQ，QD，DN共線時(shí)AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值為AN的長(zhǎng)．
∵AF＝BF＝4＝AB，
∴∠ABF＝60°
∴∠NBP＝60°且BN＝4，
∴BP＝2，PN＝2
∴AP＝6
在Rt△ANP中，AN＝＝4
∴AQ+BQ+FQ的和最短值為4．
5．如圖，已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D．
（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BE，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒個(gè)單位運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為多少時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最少？
（4）連接BC，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若∠ABC＝60°，求MA+MB+MC的最小值為 ．
【解答】解：（1）已知y＝a（x+3）（x﹣1），
令y＝0，得a（x+3）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0）、B（1，0），
∵直線y＝﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0），
∴3+b＝0，
解得：b＝﹣3，
∴y＝﹣x﹣3，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣5），
∵點(diǎn)D在拋物線上，
∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖1，作PH⊥x軸于H，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
當(dāng)△BPA∽△ABC時(shí)，∠BAC＝∠PBA，
∴tan∠BAC＝tan∠PBA，即＝，
∴＝，即n＝﹣a（m﹣1），
∴，
解得，m1＝﹣4，m2＝1（不合題意，舍去），
當(dāng)m＝﹣4時(shí)，n＝5a，
∵△BPA∽△ABC，
∴＝，即AB2＝AC?PB，
∴42＝?，
解得，a1＝（不合題意，舍去），a2＝﹣，
則n＝5a＝﹣，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣4，﹣）；
當(dāng)△PBA∽△ABC時(shí)，∠CBA＝∠PBA，
∴tan∠CBA＝tan∠PBA，即＝，
∴＝，即n＝﹣3a（m﹣1），
∴，
解得，m1＝﹣6，m2＝1（不合題意，舍去），
當(dāng)m＝﹣6時(shí)，n＝21a，
∵△PBA∽△ABC，
∴＝，即AB2＝BC?PB，
∴42＝?，
解得，a1＝（不合題意，舍去），a2＝﹣，
則n＝21a＝21×（﹣）＝﹣3，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，﹣3），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣3）；
（3）如圖2，作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，
則tan∠DAN＝＝＝，
∴∠DAN＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∴DE＝＝EF，
∴Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝+＝BE+EF，
∴當(dāng)BE和EF共線時(shí)，t最小，
則BE⊥DM，y＝﹣4，
此時(shí)E（1，﹣4）；
（4）以B點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，△BCM繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，同時(shí)將△BCM的邊擴(kuò)大倍，得到△BEF，過F點(diǎn)作FN⊥x軸交于點(diǎn)N，連接AF，
∴EF＝CM，
∵∠MBE＝90°，BE＝BM，
∴ME＝2BM，
∴MA+MB+MC＝（MA+2MB+MC）＝（MA+ME+EF）≥AF，
∴當(dāng)A、M、E、F四點(diǎn)共線時(shí)，MA+MB+MC的值最小為AF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠FBN＝30°，
∵B（1，0），C（0，3），
∴BC＝2，
∴BF＝2，
∴NF＝，BN＝3，
∵A（﹣3，0）、B（1，0），
∴AB＝4，
∴AN＝4+3，
在Rt△ANF中，AF＝2，
∴MA+MB+MC的最小值為，
故答案為：．

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