一、選擇題
1．在復平面內(nèi),若i是虛數(shù)單位,復數(shù)z與關(guān)于虛軸對稱,則( )
A.B.C.D.
2．若對于任意的實數(shù)都有成立,則的值可能是( )
A.B.C.D.0
3．下列說法中不正確的是( )
A.“”是“”的必要不充分條件
B.命題“,”的否定是“,”
C.“若a,,,則且”是假命題
D.設(shè)m,,則“或”是“”的充要條件
4．在數(shù)列中,,則數(shù)列前24項和的值為( )
A.144B.312C.288D.156
5．已知實數(shù),則的最小值為( )
A.12B.9C.6D.3
6．在軸截面頂角為直角的圓錐內(nèi),作一內(nèi)接圓柱,若圓柱的表面積等于圓錐的側(cè)面積,則圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑的比值為( )
A.B.C.D.
7．已知,,若存在常數(shù),使得為偶函數(shù),則的值可以為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù),若,則最大值為( )
A.B.C.eD.
二、多項選擇題
9．已知向量,,則下列說法中正確的是( )
A.若,則或1
B.若,則或-3
C.若,則或3
D.若,則向量,夾角的余弦值為
10．已知的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列四個命題中正確的是( )
A.若為銳角三角形,則
B.若,,則是直角三角形
C.若,則是等腰三角形
D.若為鈍角三角形,且,,,則的面積為
11．已知,是函數(shù),兩個不同的零點,且,,是函數(shù)兩個極值點,則( )
A.B.或
C.值可能為11D.使得的a的值有且只有1個
三、填空題
12．已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為,且,則的值為________.
13．如圖,邊長為1的正,P是以A為圓心,以為半徑的圓弧上除點B以外的任一點,記外接圓圓心為O,則________.
14．若存在實常數(shù)k和b,使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足恒成立,則稱直線為和的“媒介直線”.已知函數(shù),,若和之間存在“媒介直線”,則實數(shù)b的范圍是________.
四、解答題
15．已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列,,且,,成等比數(shù)列,若數(shù)列前n項和為,并滿足,.
（1）求數(shù)列,的通項公式.
（2）若,求數(shù)列前n項的和.
16．已知向量,,.
（1）求函數(shù)解析式,寫出函數(shù)的最小正周期、對稱軸方程和對稱中心坐標.
（2）試用五點作圖法作出函數(shù)在一個周期上的簡圖（要求列表,描點,連線畫圖）.
（3）根據(jù)（2）中的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、最小值及取得最小值時相應值的集合.
17．如圖①,在平面四邊形中,,,O為對角線中點,F為中點,E為線段上一點,且,,.
（1）求的長.
（2）從下面（i）與（ii）中選一個作答,如果兩個都作答,則只按第一個解答計分.
（i）在平面四邊形中,以為軸將向上折起,如圖②,當面面時,求異面直線與所成角的余弦值.
（ii）在平面四邊形中,以為軸將向上折起,如圖③,當時,求三棱錐的體積.
18．已知函數(shù),.
（1）如果函數(shù)在處的切線,也是的切線,求實數(shù)a的值.
（2）若在存在極小值,試求的范圍.
（3）是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)有3個零點,若存在,求出所有實數(shù)a的取值集合,若不存在,請說明理由.
19．對于任意,向量列滿足.
（1）若,,求的最小值及此時的.
（2）若,,其中,,s,,若對任意,,設(shè)函數(shù),記,試判斷的符號并證明你的結(jié)論.
（3）記,,,對于任意,記,若存在實數(shù)和2,使得等式成立,且有成立,試求m的最大值.
參考答案
1．答案：C
解析：,
復數(shù)z與關(guān)于虛軸對稱,故.
故選:C
2．答案：A
解析：,
故,,即,,
當時,
故選:A
3．答案：B
解析：對于A,“”是“”的必要不充分條件,故A正確;
對于B,命題“,”的否定是“,”,故B錯誤;
對于C,當時,滿足,不滿足且,
故“若a,,,則且”是假命題,故C正確;
對于D,“或”是“”的充要條件,故D正確.
故選:B
4．答案：C
解析：因為,
所以,
故選:C.
5．答案：B
解析：
設(shè),,故,
,
當且僅當,即時,等號成立.
故選:B
6．答案：D
解析：設(shè)圓柱和圓錐底面半徑分別為r,R,因為圓錐軸截面頂角為直角,所以圓錐母線長為,
設(shè)圓柱高為h,則,,
由題,,得.
故選:D.
7．答案：A
解析：由,,
得是偶函數(shù),因為不可能是奇函數(shù),
所以和都是偶函數(shù),
為偶函數(shù),則,即,
為偶函數(shù),則,,
,,只有時,,
故選:A
8．答案：A
解析：,
因為,且函數(shù)和都是增函數(shù),
故若恒成立,則函數(shù)和的零點相同,
即.
故,設(shè)則
故在,,單調(diào)遞增;
在,,單調(diào)遞減.
故
故最大值為.
故選:A
9．答案：AC
解析：A選項,若,有,解得或;B選項,若,有,解得或;C選項,若,有,解得或;D選項,當時,,,,,,向量,夾角的余弦值為.
10．答案：AC
解析：對于A,若為銳角三角形,則即,
故,故A正確;
對于B,若,,則,
即,故,且,故是等邊三角形,故B錯誤;
對于C,若,則
即即
故,是等腰三角形.故C正確;
對于D,,解得或,
且,
當時,,A為鈍角,故,
當時,,B為鈍角,故,故D錯誤.
故選:AC
11．答案：ACD
解析：由已知有兩個零點,,
又,是函數(shù)兩個不同的零點且,
所以,
即
所以,,即,A正確;
,解得或,
,,
由已知有兩個不等實根,所以,解得或,
所以或,B錯;
,解得或,滿足或,C正確;
由,得,,
,
由整理得,
設(shè),則,
或時,,時,,
在在和上遞增,在上遞減,
又,,,,
所以在,,上各有一個零點,
又或,因此只在上在一個解,D正確.
故選:ACD.
12．答案：
解析：,故,
因為在區(qū)間上的值域為,
且,故必有
,
如圖所示,則故
故答案為:
13．答案：或
解析：取的中點D,因為為正三角形,故為的中垂線,
則外接圓圓心一定在上,如圖所示,
,
故.
故答案為:
14．答案：
解析：恒成立,即的圖像一直在和之間,
,
當同時與和均相切時,方程和方程均只有一個解,
即和均只有一個解,
故或,解得或,
結(jié)合圖像可知,“媒介直線”的截距.
故答案為:
15．答案：（1）;
（2）
解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,
由,且,,成等比數(shù)列知:
,整理得:,
即或者,因為公差大于1,故.
且,故.
數(shù)列前n項和為,并滿足①,
且,解得,
故當時,②,
①式減②式得:,
即,故是公比為2的等邊數(shù)列,
則,
故
（2）,
故,
則,
故,
故
則
16．答案：（1）見解析
（2）見解析
（3）見解析
解析：（1）向量,,則,,
故的最小正周期,
當,時,,,
當,時,,,
故的對稱軸方程為,,對稱中心為,.
（2）列表:
描點,連線,畫圖得:
（3）由圖可知,的單調(diào)增區(qū)間為,;
最小值為;取最小值時相應x值的集合為:.
17．答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）因為,O為對角線中點,故,
因為,故,,
即,,
解得,,
故,,
則,,
因為,,
則,,
所以,
所以,,
且,
故,則在等腰中,由正弦定理得:,
即,
則.
（2）若選（i）:當面面時,因為,
面面,面,
故面,又,
故以點B為坐標原點,為x軸,為y軸,過點B做的平行線為z軸,可以建如圖所示空間直角坐標系,
由（1）知,,故E為中點,
則易得,,,,
則,,
設(shè)異面直線與所成角為,
則.
若選（ii）:由（1）知,,故E為中點,
故,
當時,,
因為,,
故,且,,
故面,
因為E為中點,O為中點,
故,
則三棱錐的體積:.
18．答案：（1）2
（2）
（3）
解析：（1）,,,
故在處的切線為,
也是的切線,
故方程只有一個解,即只有一個解,
,解得.
（2）,
,
當時,,無極值點,不符合題意;
當時,在上,,單調(diào)遞減;
在上,,單調(diào)遞增;
故的極小值點,則,
故,
設(shè),,則,
此時,
設(shè),則,
時,,單調(diào)遞增;
時,,單調(diào)遞減;
,,,故,
即
（3）,,
,
當時,,在單調(diào)遞減,不存在3個零點;
當時,,在單調(diào)遞增,不存在3個零點;
當時,,
因為在上單調(diào)遞增,設(shè),
則在上也是單調(diào)遞增,且,
當,,
故存在唯一一個,使,
即在,,,單調(diào)遞減;
在,,,單調(diào)遞增;
且,故,且,
故在有唯一零點,
,故,
當時,,因為在有唯一零點,故在也有唯一零點,
故當,有3個零點;
綜上所述,所有實數(shù)a的取值集合為.
19．答案：（1）,此時或
（2）,證明見解析
（3）30
解析：（1）因為對任意成立,
所以有
…
將上述各式相加得,又因為,,
所以,
所以有,又,
當或時,,此時或.
（2）可判定,
（1）因為,所以數(shù)列不可能是各項均為0的常數(shù)列;
（2）當數(shù)列為非零常數(shù)列時,任意,
若,則,
若,則,
故當數(shù)列為非零常數(shù)列時,.
（3）當數(shù)列為公差不為0的數(shù)列時,因,,
若①,
由等差數(shù)列性質(zhì)有,其中
又為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞增,
則由可得,所以有,
即,,
所以有,
即②,所以由①②知.
同理可證明若,利用函數(shù)為奇函數(shù),
且在R上單調(diào)遞增,可證,所以有.
綜上可知恒成立.
（3）,所以,即為等差數(shù)列,
所以,
由題意知
,
構(gòu)造函數(shù),
則,
,
,
所以函數(shù)至少有三個零點:,,,
若使得有三個零點,則存在區(qū)間,使得為常數(shù),
且三個零點均在內(nèi),所以m必為偶數(shù),且,
于是有,故有,
其中,
實際上,
化簡得,解得,又m為偶數(shù),故m的最大值為30.
0
x
0
2
0
0

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