一、選擇題
1．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，直線的傾斜角等于( )
A.B.C.D.
2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A.B.C.D.
3．王偉在“國(guó)慶”節(jié)七天假期中每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，則( )
A.王偉這七天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)是73
B.王偉這七天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)是75
C.王偉這七天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的第80百分位數(shù)是92
D.王偉這七天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的極差是45
4．下列三角函數(shù)式的值不等于的是( )
A.
B.
C.
D.
5．下列函數(shù)中，其圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是( )
A.
B.
C.
D.
6．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，則直線EF到平面的距離為( )
A.B.C.D.
7．已知，，，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系正確的是( )
A.B.C.D.
8．口袋中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球（形狀和大小完全相同），從中隨機(jī)不放回地依次摸出2個(gè)球，設(shè)事件“第1次摸出的是紅球”，“第2次摸出的是紅球”，“摸出的兩個(gè)球均為紅球”，“摸出的兩個(gè)球顏色不同”則下列說法正確的是( )
A.A與B互斥
B.C與D互為對(duì)立
C.
D.A與D相互獨(dú)立
二、多項(xiàng)選擇題
9．經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是( )
A.B.C.D.
10．若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的有( )
A.
B.
C.
D.
11．在正方體中，，，則( )
A.為鈍角
B.
C.平面
D.直線與平面所成角的正弦值為
三、填空題
12．已知直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為________.
13．已知圓與圓相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
14．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，若空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則下列命題正確的是________.（請(qǐng)用正確命題的序號(hào)作答）
①若，則二面角的平面角為；
②若，則點(diǎn)P到平面的距離為；
③若，則三棱錐的體積為；
④若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的平面圖形的面積為.
四、解答題
15．如圖，在平行六面體中，，，，，.求：
(1)的長(zhǎng)；
(2)與所成角的余弦值
16．已知圓C的圓心M在直線上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線相切
(1)求圓C的方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程
17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，M是的中點(diǎn)，N是棱上一點(diǎn)
(1)若N是的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)若平面，求的長(zhǎng)
18．如圖，四棱錐中，是等邊三角形，，.
(1)證明：；
(2)若，，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值
19．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與原點(diǎn)O的距離的2倍
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
(2)求的最小值；
(3)經(jīng)過原點(diǎn)O的兩條互相垂直的直線分別與軌跡E相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD的面積S的最大值
參考答案
1．答案：D
解析：設(shè)直線的傾斜角為，
由直線，可得斜率為，
即，所以，故D正確
故選：D
2．答案：A
解析：在空間直角坐標(biāo)系中，
某點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)在y軸、z軸上的坐標(biāo)均不變，
x軸上的坐標(biāo)變?yōu)閷?duì)應(yīng)的相反數(shù)即可，
所以關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：A
3．答案：C
解析：由題意：平均數(shù)為，A錯(cuò)；
從小到大排列為：，中位數(shù)是70，B錯(cuò)；
，第80百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)92，C正確；
極差是，D錯(cuò)，
故選：C
4．答案：A
解析：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?br>所以選項(xiàng)A正確，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋赃x項(xiàng)B錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：A.
5．答案：B
解析：A：由且定義域?yàn)镽
所以函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
B：由
則，
且定義域?yàn)镽，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且
故函數(shù)圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
C：由且定義域?yàn)镽
所以函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
D：由且定義域?yàn)?br>所以函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
故選：B
6．答案：B
解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，即
令，則，
由于，則，
又平面，故平面，
則直線EF到平面的距離即為點(diǎn)E到平面的距離，
又,
設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為d
即得,
即直線EF到平面的距離為，
故選：B
7．答案：C
解析：因?yàn)?br>，
所以，而，，
故我們構(gòu)造指數(shù)函數(shù)
得到，
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在R上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所?br>綜上可得，故C正確
故選：C
8．答案：D
解析：令2個(gè)紅球和2個(gè)白球分別為
從中隨機(jī)不放回地依次摸出2個(gè)球有：
，共12種，
事件A對(duì)應(yīng)事件為，有6種，
事件B對(duì)應(yīng)事件為，有6種，
事件C對(duì)應(yīng)事件為，有2種，
事件D對(duì)應(yīng)事件為，有8種，
綜上，A與B不互斥，C與D互斥但不對(duì)立
，且，
事件對(duì)應(yīng)事件為，有4種
故，
所以
故A、B、C錯(cuò)，D對(duì)
故選：D
9．答案：AC
解析：
①當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為，即；
②當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求的直線方程為
則，故
因此所求的直線方程為，
綜上，符合的直線方程為或.
故選：AC
10．答案：ABD
解析：由已知，，不共面，則，，不共面，A選項(xiàng)正確；
設(shè)
即方程無解，
所以，，不共面，B選項(xiàng)正確；
設(shè)
即，解得：，
即
所以，，共面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
設(shè)，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底
所以方程無解，這表明三個(gè)向量不共面，D選項(xiàng)正確；
故選：ABD
11．答案：BCD
解析：令，以D為原點(diǎn)
分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系
如圖
則為銳角，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
設(shè)平面的法向量為
不妨設(shè)，則，
，
，又平面
則平面，故C正確；
平面
則是平面的一個(gè)法向量，又，
則直線與平面所成角的正弦值為，故D正確
故選：BCD.
12．答案：0或1
解析：當(dāng)時(shí)，直線化為：，
直線化為
此時(shí)兩直線垂直，滿足題意，所以；
當(dāng)時(shí)，直線化為：，
直線化為
此時(shí)兩直線不垂直，不滿足題意，所以；
則當(dāng)且時(shí)，直線的斜率為，
直線的斜率為
因?yàn)閮芍本€垂直，所以，
解得：，
綜上可得：實(shí)數(shù)a的值為0或1，
故答案為:0或1.
13．答案：
解析：圓的圓心坐標(biāo)、半徑分別為，
圓
即的圓心坐標(biāo)、半徑分別為，
若圓與圓相交，
則
或，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
14．答案：①④
解析：分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，，，
對(duì)于①，若，
則，可得，
設(shè)平面的法向量，
又，，
，
即，
取，則，
易得平面的一個(gè)法向量，
則，
設(shè)二面角的平面角為，
是銳角，二面角的平面角為，故①正確；
對(duì)于②，向量，
設(shè)平面的法向量，
由，，
則即，
取，則，
則點(diǎn)P與平面的距離為，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：，
，，，
，則，
設(shè)平面的法向量為，
由，，
則，
取，則，
則點(diǎn)P到平面的距離為，
由，得，
又為邊長(zhǎng)為的等邊三角形
則，
則三棱錐的體積，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，
取中點(diǎn)，中點(diǎn)，
連接，并延長(zhǎng)交棱，于點(diǎn)E，F(xiàn)，交，延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N，連接交棱，于點(diǎn)G，H，連接，，如圖所示，
則平面與正方體的截面為六邊形，，
在平面中，
，點(diǎn)為中點(diǎn)，
，，
在和中，
，
，
，
，即點(diǎn)E為中點(diǎn)，，
同理可得，，
六邊形為正六邊形，且邊長(zhǎng)為，
則其面積，
，，
，
整理得，
點(diǎn)P在平面上，
當(dāng)，點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的平面圖形的面積為，故④正確；
故答案為：①④.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因?yàn)?br>所以，
所以，而，
同理可得，而
所以長(zhǎng)為；
(2)因?yàn)?br>，
所以，
而，故，
所以，
所以與所成角的余弦值為.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)設(shè)圓C的方程為，
由已知得
解得，，，
所以圓C的方程為
即；
(2)①若直線l有斜率，可設(shè)l的方程為
即，
由已知，則圓心到直線l的距離
解得，
此時(shí)，直線l的方程為
即；
②若直線l沒有斜率，則l的方程為，
將其代入
可得或，
即得，，滿足條件，
綜上所述，直線l的方程為或.
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題設(shè)可得：，，，，
，，，
∴，，,
由，
，
可得，，
又∵，平面MNC
∴平面；
(2)設(shè)的長(zhǎng)為h則，點(diǎn)，進(jìn)而得，
設(shè)平面的法向量為，因，
則
取得，
∵，且平面，
∴，即，
解得，即的長(zhǎng)為.
18．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)證明：如圖①，設(shè)O為BD中點(diǎn)，連接PO、CO，
由，可得，
由，可得，
又∵，，平面POC，
所以平面POC，
又平面POC，所以.
(2)∵，O為BD中點(diǎn)，∴，
又∵，且A，B，C，D四點(diǎn)共面
∴A，O，C三點(diǎn)共線，且，
∵，
∴，
是等邊三角形，則.
由題意知為正三棱錐
所以點(diǎn)P在底面ABD上的射影M是正的中心，連接PM，如圖②所示
根據(jù)正三角形的性質(zhì)可得
，
∴，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB所在直線分別為x軸，y軸，過點(diǎn)O作平面ABCD的垂線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，可得，，，，，
∴，，，，
設(shè)平面PAB的法向量，平面PCD的法向量，
則，，
即，，
令，可得，，
∴.
所以平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為.
19．答案：(1)
(2)
(3)7
解析：(1)由已知得，
化簡(jiǎn)得
即，
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程為：；
(2)設(shè)，得，
代入軌跡E的方程消去y并整理得，
∴
即，
解得，
故的最小值為；
(3)(i)若兩直線都有斜率，可設(shè)直線AB的方程為
則直線CD的方程為，
由(1)的結(jié)論可知，軌跡E是以點(diǎn)為圓心，半徑長(zhǎng)為2的圓
到直線AB的距離
所以，
同理，，
所以.
，
(ii)若AB、CD兩直線中有一條沒有斜率，則另一條的斜率為0，
此時(shí)線段AB、CD的長(zhǎng)分別為、4（或4、）
所以.
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)
即時(shí)，四邊形ACBD的面積S取得最大值，最大值為7.
日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)
58
92
100
70
80
45
60

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