一、選擇題
1．若復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A.B.C.D.
2．已知平面上的兩個(gè)非零向量，滿足，則( )
A.B.C.D.
3．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a取值范圍是( )
A.B.C.D.
4．( )
A.B.C.D.1
5．已知四棱錐的底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，高為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，且該圓柱的體積為，則四棱錐的底面的邊長(zhǎng)為( )
A.B.6C.D.9
6．已知向量，，且，則( )
A.B.4C.D.8
7．已知，且，則的最大值為( )
A.9B.12C.36D.48
8．已知圓與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且圓，點(diǎn)．若圓C與圓D相外切，則的最大值為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．在正方體中，為的中點(diǎn)，F(xiàn)是正方形內(nèi)部及邊界上一點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A.平面平面
B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為
C.平面內(nèi)存在一條直線與直線成角
D.將以邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，到平面的距離的取值范圍是
10．如圖，四邊形為正方形，平面平面，且為正三角形，為的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是( )
A.平面
B.
C.直線與所成角的余弦值為
D.點(diǎn)A到平面的距離為
11．點(diǎn)A，B為圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A.當(dāng)，且AB為圓的直徑時(shí)，面積的最大值為3
B.從點(diǎn)P向圓M引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，的最小值為
C.A，B為圓M上的任意兩點(diǎn)，在直線l上存在一點(diǎn)P，使得
D.當(dāng)時(shí)，的最大值為
三、填空題
12．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足則角________.
13．已知正四面體的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N為棱BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AM，CN上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為________.
14．已知曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.
四、解答題
15．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求角B；
(2)若，的面積為，求b．
16．如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn)
(1)證明：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值
17．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者，某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中a的值；
(2)求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；
18．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，平面平面.
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
19．已知直線l的方程為：.
(1)求證：不論m為何值，直線l必過定點(diǎn)M；
(2)過(1)中的點(diǎn)M引直線交坐標(biāo)軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，求面積的最小值
參考答案
1．答案：B
解析：設(shè)
則，
又
得到，
所以，
所以，或，
得到，
所以
故選：B．
2．答案：B
解析：由
故，
則
又，故.
故選：B
3．答案：D
解析：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為直線
由在上單調(diào)遞減，
知
解得．
綜上，a的取值范圍為．
故選：D
4．答案：D
解析：
.
故選:D
5．答案：A
解析：如圖四棱錐的底面四邊形為正方形，高，
作截面（如下圖）點(diǎn)F，點(diǎn)N分別為，的中點(diǎn)
點(diǎn)O為是正方形的中心也是圓柱底面圓的圓心
依題意可知，
所以
所以，
所以，
所以.
故選：A.
6．答案：A
解析：，
，
∵
∴，，
所以，
故選：A
7．答案：C
解析：設(shè) QUOTE Ax1,y1 Ax1,y1與 QUOTE Bx2,y2 Bx2,y2為圓上一點(diǎn)，
則
得，，
即為等腰直角三角形，設(shè)M為的中點(diǎn)，
則，得，
即點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，
故
因?yàn)辄c(diǎn)M到定點(diǎn)距離的最大值為，
因此的最大值為36.
故選：C
8．答案：B
解析：圓的圓心，半徑為r，
圓的圓心，半徑為3，
因?yàn)閳AC與圓D相外切
所以
所以，
且圓D與x軸交于
不妨記，
因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱
點(diǎn)在y軸上，
由對(duì)稱性不妨令，
當(dāng)時(shí)
則
解得，
故
，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
此時(shí)，
故，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
故
，
綜上所述，的最大值為.
故選：B.
9．答案：ABD
解析：對(duì)于A，連接，則,
又平面平面，故,
平面，故平面，
平面，故，同理，
平面，故平面，
平面，故平面平面，A正確；
對(duì)于B，取的中點(diǎn)為H，連接，
則平面，平面，故，
由于，故，
即點(diǎn)F在以H為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，
結(jié)合題意知F軌跡為該圓在平面內(nèi)的圓弧，如圖圓弧，
則
則
故F軌跡長(zhǎng)度為，B正確；
對(duì)于C，從正方體中分離出四棱錐，的中點(diǎn)為H，
平面
則，
則EF與平面所成角的最小值為
,
即，故平面內(nèi)不存在一條直線與直線成角，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，連接交于N，取的中點(diǎn)為M，
連接，則點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)以N為圓心，為半徑的圓，
又正方體性質(zhì)知，由知，
而平面，故平面，
平面，故平面平面;
又平面平面，故，
結(jié)合，平面，
故平面，平面，
故，則，
設(shè)與圓的交點(diǎn)分別為，
當(dāng)點(diǎn)位于處時(shí)，到平面的距離分別取到最大值和最小值，
最大值為，
最大值為，
故到平面的距離的取值范圍是，D正確
故選：ABD
10．答案：BD
解析：取的中點(diǎn)O，連接，
因?yàn)闉檎切危琌為的中點(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?br>平面平面，平面，
所以平面，
又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，以點(diǎn)O為原點(diǎn)
的方向?yàn)檩S的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
，，
對(duì)于A，，由圖易知平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)?，故與平面不平行，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕?br>因?yàn)槠矫嫫矫?br>平面平面，平面，
所以平面，又平面
所以，故B正確；
對(duì)于C，，，
所以直線與所成角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
設(shè)平面的法向量為
則，
令，則，所以，
點(diǎn)A到平面的距離，故選項(xiàng)D正確；
故選：BD
11．答案：ABD
解析：對(duì)于A，當(dāng)，且AB為圓的直徑時(shí)，
此時(shí)，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，面積最大，
不妨取，則，A正確；
對(duì)于B，設(shè)，設(shè)交于N，
由圓的切線性質(zhì)知
則，
故，當(dāng)最大時(shí)，最小，
當(dāng)位于時(shí)，最大
此時(shí)，
則，即的最小值為，B正確；
對(duì)于C，由B的分析可知當(dāng)位于時(shí)
最大，此時(shí)，
即，則
故在直線l上不存在一點(diǎn)P，使得，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，則，
連接MD，則
則，
故點(diǎn)D在以M為圓心，為半徑的圓上，結(jié)合，
可得的最大值為,
故的最大值為，D正確，
故選：ABD
12．答案：
解析：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理可得，
因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：
13．答案：
解析：在棱長(zhǎng)為2的正四面體中
由點(diǎn)M，N為棱BC，AD的中點(diǎn)
得，
由點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AM，CN上，
令
則，
所以
又，
，
故
當(dāng)時(shí)，
所以線段EF長(zhǎng)度的最小值為.
故答案為：
14．答案：
解析：直線恒過點(diǎn).
由得
表示以為圓心，2為半徑的半圓，該半圓在直線的上方
當(dāng)直線與半圓相切于點(diǎn)E時(shí)，直線方程可化為：，
根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑2得：
解得，
當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，
綜上得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意知
即，
由于，
故，即
結(jié)合，則；
(2)，，的面積為
則，則，
故
故.
16．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)連接，交于點(diǎn)O，
由底面是正方形，可知O為的中點(diǎn)，
又是的中點(diǎn)
是的中位線，
，
又平面，平面，
平面.
(2)設(shè)
，
底面，底面，，
即是直角三角形
，
又E是的中點(diǎn)
，
同理可得，且，
平面，
平面，，
在直角中，，
，
又，二面角的平面角為，
.
二面角的平面角的余弦值為.
17．答案：(1)0.030
(2)84
解析：(1)由頻率分布直方圖中各小矩形的面積之和為1，
得，
所以.
(2)成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，
落在內(nèi)的頻率為，
則樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)為
由，得，
所以樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)為84.
18．答案：（1）證明見解析；
（2）
解析：（1）如圖，取的中點(diǎn)O，連接，，
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，
在菱形中，，則為等邊三角形，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以；
（2）由（1）得，，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，
如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以，，為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
因，則，，，.
設(shè)平面的法向量為，則有，
令，則，，所以，
因?yàn)?，記直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
19．答案：(1)證明見解析
(2)4
解析：(1)由
可得，
令
所以直線l過定點(diǎn).
(2)由(1)知，直線恒過定點(diǎn)
由題意可設(shè)直線的方程為，
設(shè)直線與x軸，y軸正半軸交點(diǎn)為A，B，令
得；令，得，
所以面積
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積最小值為4.

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