一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年02月04日～ 2022年02月20日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．在會(huì)徽的圖案設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者常常利用對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行設(shè)計(jì)，下列四個(gè)圖案是歷屆會(huì)徽?qǐng)D案上的一部分圖形，其中不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是( )
A. B. C. D.
2.下列運(yùn)算結(jié)果為a6的是( )
A. a3?a2B. a3+a3C. a23D. a18÷a3
3.若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，則第三邊的長(zhǎng)可能是( )
A. 2B. 4C. 6D. 2或4
4.如圖，∠B=∠C=90°，點(diǎn)E是線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，AE⊥DE，則與∠1相等的角是( )
A. ∠DB. ∠2C. ∠AD. ∠B
5.下列各式計(jì)算正確的是( )
A. a32?a4=a9B. ?2a23=?6a6
C. 2ab2??3ab=?6a2b3D. 10a2b÷12a=5ab
6.如圖，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在A(yíng)B,AC上，補(bǔ)充下列一個(gè)條件后，不能判斷?ABE≌?ACD的是( )
A. ∠B=∠CB. AD=AE
C. ∠BDC=∠CEBD. BE=CD
7.如圖，?ABC≌?DEC，點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，∠B=75°，則∠ACD的度數(shù)為( )
A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°
8.已知x=a+b?2,y?2ab=a2+b2，用含x的式子表示y是( )
A. x+2B. x2+4C. x+22D. x2?4
9.如圖，等邊?ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PE最小時(shí)，∠CPE的度數(shù)是( )
A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°
10.小冬以長(zhǎng)方形ABCD的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，設(shè)計(jì)出“中”字圖案，如圖所示．若四個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和為40，面積之和為26，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。
11.若2x?10=1，則x需要滿(mǎn)足的條件是 ．
12.因式分解：mn2?4m= ．
13.已知點(diǎn)A?1,m與點(diǎn)Bn,3關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則m+n= ．
14.如圖，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，點(diǎn)P是射線(xiàn)BD上一點(diǎn)，PE⊥BA于點(diǎn)E，PE=2，點(diǎn)F是射線(xiàn)BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段PF的最小值為 ．
15.如果y2?6y+m是完全平方式，則m的值為 ．
16.如圖，?ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC與∠ACD互補(bǔ)，CD=5，則BC的長(zhǎng)為 ．
17.如圖，∠ABC=60°，AB=3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線(xiàn)BC運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)?ABP是直角三角形時(shí)，t= ．
18.如圖，?ABC中，∠ACB=45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于點(diǎn)E，CD⊥AB于點(diǎn)D，且與BE交于點(diǎn)H，EF⊥BC于點(diǎn)F，且與CD交于點(diǎn)G.則下面的結(jié)論：①BE=CE；②A(yíng)D=CG；③CH=2BD；④CE=AE+BH.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
19.(本小題8分)
化簡(jiǎn)：
(1)2x2x?12；
(2)x+1x+2?2÷x．
20.(本小題8分)
?ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：DE=DF．
21.(本小題8分)
已知4a2+3a?4=0.求代數(shù)式3a+12?a+1a?1的值．
22.(本小題8分)
已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P是射線(xiàn)OC上一點(diǎn)．求作：點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q在OB上，且使PQ//OA．
作法：①分別以點(diǎn)O、P為圓心，以大于12OP的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)；
②作直線(xiàn)MN，交射線(xiàn)OB于點(diǎn)Q．
則點(diǎn)Q即為所求．
(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；
(2)完成下面證明．
證明：連接PM，PN，OM，ON，PQ
∵PM=OM，①
∴直線(xiàn)MN是線(xiàn)段OP的垂直平分線(xiàn)
∵點(diǎn)Q在直線(xiàn)MN上
∴PQ=OQ(② )(填依據(jù))
∴∠POQ=∠OPQ
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
∴∠OPQ=③
∴PQ//OA．
23.(本小題8分)
在學(xué)習(xí)整式乘法這一章時(shí)，我們經(jīng)常利用圖形面積得到關(guān)于整式乘法或因式分解的等式．
(1)如圖1，在邊長(zhǎng)為a的大正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線(xiàn)剪開(kāi)后，拼成如圖2所示的長(zhǎng)方形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可驗(yàn)證的等式為 ；
(2)小明用四個(gè)如圖3所示的小長(zhǎng)方形(m>n)，拼成如圖4所示的大正方形．
①根據(jù)圖4的圖形面積，可以得到的一個(gè)等式是 ；
②利用①中的等式，解決問(wèn)題：若mn=16,m?n=6，求一個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．
24.(本小題8分)
已知，如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°．
(1)按要求作圖：(保留作圖痕跡)
①延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=BC；
②延長(zhǎng)CA到點(diǎn)E，使AE=2CA；
③連接AD，BE．
(2)猜想線(xiàn)段AD與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明．
25.(本小題8分)
如圖，?ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)(不與B，C重合)，點(diǎn)P是點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接CP．BM平分?ABC的外角∠ABE，過(guò)點(diǎn)A作CP的平行線(xiàn)，與BM交于點(diǎn)N，設(shè)∠BAD=α．
(1)依題意補(bǔ)全圖形；
(2)求∠BAN的度數(shù)(用含α的式子表示)；
(3)過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線(xiàn)，交CP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，用等式表示線(xiàn)段DQ,AB,BN的數(shù)量關(guān)系，并證明．
26.(本小題8分)
對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W，直線(xiàn)l和點(diǎn)P，給出如下定義：先將圖形W沿直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)得到對(duì)應(yīng)圖形W1，再將圖形W1其繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到圖形W2，稱(chēng)W2為圖形W的“旋軸變換圖形”.其中，稱(chēng)直線(xiàn)l為“變換直線(xiàn)”，稱(chēng)點(diǎn)P為“變換點(diǎn)”.已知，點(diǎn)Mm,0，“變換直線(xiàn)”為y軸，“變換點(diǎn)”為P0,1．
(1)如圖1，
①當(dāng)m=?2時(shí)，點(diǎn)M的“旋軸變換圖形”M2的坐標(biāo)是 ；
②若點(diǎn)M的“旋軸變換圖形”M2始終位于x軸上方，求m的取值范圍；
(2)已知點(diǎn)Nm,m，隨著點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，在圖2中畫(huà)出線(xiàn)段MN的“旋軸變換圖形”M2N2掃過(guò)的區(qū)域．
參考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.C
6.D
7.C
8.C
9.D
10.A
11.x≠12
12.mn+2n?2
13.4
14.2
15.9
16.10
17.32或6
18.①③④
19.(1)解：2x2x?12
=2x2?x?2x2?12
=2x3?x2
(2)解：x+1x+2?2÷x
=x2+3x+2?2÷x
=x2+3x÷x
=x+3．

20.證明∶連接AD，

∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，
∴AD平分∠BAC，
又DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF．

21.解：3a+12?a+1a?1
=9a2+6a+1?a2+1
=8a2+6a+2
=24a2+3a+2，
∵4a2+3a?4=0，
∴4a2+3a=4，
則24a2+3a+2=2×4+2=10．

22.(1)解：所作圖形如下所示：
(2)證明：連接PM，PN，OM，ON，PQ，如圖所示：
∵PM=OM，PN=ON，
∴直線(xiàn)MN是線(xiàn)段OP的垂直平分線(xiàn)，
∵點(diǎn)Q在直線(xiàn)MN上，
∴PQ=OQ(線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等)
∴∠POQ=∠OPQ，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠OPQ=∠AOC，
∴PQ//OA．

23.(1)解：由圖1得：a2?32，
由圖2得：a+3a?3，
根據(jù)面積相等，得到：a2?32=a+3a?3，
(2)解：①由圖3得：4mn，
由圖4得：m+n2?m?n2，
根據(jù)面積相等，得到：4mn=m+n2?m?n2，
②∵4mn=m+n2?m?n2，mn=16,m?n=6，
∴4×16=m+n2?62，解得：m+n=10，
所以小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為：2m+n=20．

24.(1)如圖所示，即為所求，
(2)延長(zhǎng)AC到點(diǎn)F，使CF=AF，連接BF，
在ΔACD和ΔFCB中
CD=CB∠ACD=∠FCBAC=FC
∴ΔACD?ΔFCB(SAS)
∴AD=FB
∵CF=AC
∴AF=2AC
∵AE=2CA
∴AF=AE
∵∠BAC=90°
∴AB⊥EF
∴AB是EF的垂直平分線(xiàn)，
∴BE=BF
∴AD=BF

25.(1)解：補(bǔ)全圖形，如圖所示：
(2)解：連接AP，

∵?ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∵對(duì)稱(chēng)，
∴AP=AB，
∴∠BAD=∠PAD=α，AP=AC，
∴∠PAC=60°?2α，∠ACP=∠APC=12180°?∠PAC=60°+α，
∵AN//CP，
∴∠CAN=180°?∠ACP=120°?α，
∴∠BAN=∠NAC?∠BAC=120°?α?60°=60°?α；
(3)解：∵∠BAD=α，
∴∠DAC=∠BAC?∠BAD=60°?α，
由(2)知∠BAN=60°?α，
∴∠BAN=∠DAC，
∵BM平分?ABC的外角，
∴∠ABN=12180°?∠ABC=60°=∠ACD，
又AB=AC，
∴?ABN≌?ACD，
∴BN=CD，
過(guò)點(diǎn)N作NO//BC，交AB于點(diǎn)O，

則：∠BON=∠ABC=60°，
∴∠BNO=180°?∠NBO?∠NOB=60°，∠AON=180°?∠BON=120°，
∴?BNO為等邊三角形，∠ANO=∠BON?∠NAB=α，
∴BN=NO=BO，
∴NO=CD，
∵DQ//AB，
∴∠BDQ=∠ABC=60°，
∴∠CDQ=180°?∠BDQ=120°，
∴∠AON=∠CDQ，
由(2)知：∠ACP=60°+α，
∴∠DCQ=∠ACP?∠ACB=α=∠ANO，
在?AON和?QDC中，
∠QCD=∠ANONO=CD∠QDC=∠AON,
∴?AON≌?QDC，
∴AO=QD，
∴AB=AO+BO=BN+QD．

26.(1)解：①當(dāng)m=?2時(shí)，M?2,0，
關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為：M12,0，
連接PM1、PM2，作M2H⊥y軸，垂足為H，
∵PM1=PM2，∠M1PM2=90°，
∴∠HPM2+∠OPM1=90°，
∵M(jìn)2H⊥y軸，
∴∠HPM2+∠HM2P=90°，
∴∠OPM1=∠HM2P，
又∵∠M2HP=∠POM1=90°，
∴?M2H≌?POM1AAS，
∴HP=OM1=2，HM2=OP=1，
∴HO=OP+HP=1+2=3，
∴M21,3，
②Mm,0，關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為：M1?m,0，
連接PM1、PM2，作M2H⊥y軸，垂足為H，
∵PM1=PM2，∠M1PM2=90°，
∴∠HPM2+∠OPM1=90°，
∵M(jìn)2H⊥y軸，
∴∠HPM2+∠HM2P=90°，
∴∠OPM1=∠HM2P，
又∵∠M2HP=∠POM1=90°，
∴?M2H≌?POM1AAS，
∴HP=OM1=m，HM2=OP=1，
當(dāng)m≤0時(shí)，HO=OP+HP=1?m，
當(dāng)m>0時(shí)，
HO=OP?HP=1?m，
當(dāng)m0時(shí)，
HP=IN1=m，HN2=IP=m?1，HO=HP?OP=m?1，
∴N21?m,1?m，
設(shè)m?1=t，則M21,t，N2t,t，
∴M2N2掃過(guò)的區(qū)域如圖

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