注意事項：
1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷 客觀題
1．已知集合A={x|2x?1|0的焦點為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，直線AF1與橢圓C的另一個交點為B，若∠F1AF2=π3，則（ ）
A．橢圓C的焦距為2B．△ABF2的周長為8
C．橢圓C的離心率為32D．△BF1F2的面積為335
11．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．sin143°15'>sin144°30'B．cs510°>cs145°
C．20.9>(14)?0.35D．lg30.3>lg120.7
12．已知直線l：kx?y?k+1=0與圓C：(x?2)2+y2=8相交，則直線l過的定點是 ；直線l被圓C截得的最短弦長等于 .
13．復(fù)數(shù) z 滿足 （1?i）z=2i，則|z|=
14．已知雙曲線C： x2m?y2=1 （m>0）的一條漸近線為 3x +my=0，則C的焦距為 .
15．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知3csC(acsB+bcsA)=c．
（1）求csC的值；
（2）若c=22，△ABC的面積為2，求△ABC的周長．
16．某市航空公司為了解每年航班正點率x%對每年顧客投訴次數(shù)y（單位：次）的影響，對近8年（2015年～2022年）每年航班正點率x%和每年顧客投訴次數(shù)y的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.
（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；
（2）該市航空公司預(yù)計2024年航班正點率為84%，利用（1）中的回歸方程，估算2024年顧客對該市航空公司投訴的次數(shù)；
（3）根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，該市所有顧客選擇乘坐該航空公司航班的概率為12，現(xiàn)從該市所有顧客中隨機抽取4人，記這4人中選擇乘坐該航空公司航班的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：經(jīng)驗回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
b=i=1xiyi?nxyi=1(xi?x)2，a=y?bx
17．在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,PA=AB=2,PB=22,AD=2BC=2,AB⊥BC,AD//BC,M為棱AP的中點.
（1）求證：BM//平面PCD；
（2）求直線PC與平面BCM所成角的正弦值.
18．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，離心率e=32，且點A2,?1在橢圓上.
（1）求該橢圓的方程；
（2）直線l交橢圓C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0，且∠PAQ=π2，求△PAQ的面積.
19．已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+2?ln2x.
（1）當(dāng)b=0時，若f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=0時，若f(x)有兩個極值點x1,x2，求證：x1x2>e2；
（3）若f(x)在定義域上單調(diào)遞增，求a2+b的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,C
12．【答案】(1，1)；26
13．【答案】2
14．【答案】4
15．【答案】（1）解：由3csC(acsB+bcsA)=c，利用正弦定理得3csC(sinAcsB+sinBcsA)=sinC，
即3csCsin(A+B)=sinC，即3csCsinC=sinC，則csC=13；
（2）解：由于csC=13，則sinC=1?cs2C=223，
因為△ABC的面積為2，所以12ab?sinC=2，即ab=3，
由余弦定理得a2+b2?2ab?csC=8，即a2+b2=10，
故(a+b)2=16，a+b=4，則△ABC的周長為a+b+c=4+22.
16．【答案】（1）解：x=6008=75，y=5928=74，
則b=i=1xiyi?nxyi=1(xi?x)2=43837.2?8×75×7493.8=?6，
所以a=y?bx=74+6×75=524，
所以y=?6x+524；
（2）解：當(dāng)x=84時，y=20，
所以2024年顧客對該市航空公司投訴的次數(shù)為20次；
（3）解：X可取0，1，2，3，4，
P(x=0)=C40(12)4=116，P(x=1)=C41?12×(12)3=14，
P(x=2)=C42?(12)2×(12)2=38，P(x=3)=C43?(12)3×12=14，
P(x=4)=C44(12)4=116，
所以分布列為
所以E(X)=0×116+1×14+2×38+3×18+4×116=2.
17．【答案】（1）證明：取PD的中點N，連接MN,CN，則MN//AD且MN=12AD，
又BC//AD且BC=12AD，所以MN//BC且MN=BC，
故四邊形BCNM為平行四邊形，所以BM//CN，
又BM?平面PCD，CN?平面PCD，
所以BM//平面PCD.
（2）解：由AB=PA=2,PB=22，得AB2+PA2=PB2，所以PA⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB,PA?平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，所以PA⊥AC.
由AB=2,BC=1,AB⊥BC，得AC=AB2+BC2=5，
所以PC=AC2+PA2=3，CM=AM2+AC2=6,BM=AM2+AB2=5，
得CM2=BM2+BC2，則BC⊥BM，所以S△MBC=12BM?BC=52.
又VP?MBC=VP?ABC?VM?ABC=13S△ABC(PA?MA)=13?12?2?1?(2?1)=13，
設(shè)P到平面MBC的距離為?，直線PC與平面MBC的所成角為θ，
則VP?MBC=13?S△MBC=56?，所以13=56?，解得?=255，
所以sinθ=?PC=2553=2515，
即直線PC與平面MBC的所成角的正弦值為2515.
18．【答案】（1）解：由題意得1?b2a2=324a2+1b2=1 解得a=22b=2，
則橢圓C：x28+y22=1；
（2）解：設(shè)直線AP的傾斜角為α，由∠PAQ=π2，2α+∠PAQ=π，
得α=π4，kAP=1，kAQ=?1，
即AP：y=x?3，AQ：y=?x+1，
聯(lián)立y=x?3x28+y22=1，解得x=145或2（舍），故P145,?15，
聯(lián)立y=?x+1x28+y22=1，解得x=?25或2（舍），故Q?25,75，又A2,?1，
AP=145?22+?15+12=425，AQ=?25?22+(75+1)2=1225，
故S△PAQ=12APAQ=12×425×1225=4825.
19．【答案】（1）解：a=ln2x?2x2=g(x)，則g'(x)=?2(lnx+1)(lnx?2)x3
∴g(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減，(1e,e2)上單調(diào)遞增，(e2,+∞)上單調(diào)遞減
由圖可知∴a∈(?e2,0]∪{2e4}時有兩個零點
（2）解：(法一)f'(x)=b?2lnxx 設(shè)?(x)=2lnxx，則?'(x)=2(1?lnx)x2
∴?(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，(e,+∞)上單調(diào)遞減，?(e)=2e
∴0?(e2x2)
只要證r(x2)=?(x2)??(e2x2)在x2∈(e,+∞)上恒正即可
而r'(x2)=?'(x2)+e2x22?'(e2x2)=2(lnx2?1)(1e2?1x22)
=2(lnx2?1)(x2+e)(x2?e)e2x22>0
∴r(x2)在(e,+∞)上遞增， ∴r(x2)>r(e)=0 ∴x1x2>e2成立；
(法二)f(x)=bx+2?ln2x，則f'(x)=b?2lnxx
∴由題意可得：b=2lnxx在x∈(0,+∞)有兩個不等的實根x1,x2
即x1lnx1=x2lnx2=2b
∴2b=x1+x2lnx1+lnx2=x1?x2lnx1?lnx2
(先證：對均不等式x1?x2lnx1?lnx2e2
（3）解：(法一)f'(x)=2ax+b?2lnxx≥0恒成立；
∴b≥2lnxx?2ax=r(x)恒成立
r'(x)=2(1?lnxx2?a)
當(dāng)且僅當(dāng)a≥0時，r(x)有最大值（這時即為極大值)
設(shè)r(x)的極大值點為x0，則1?lnx0x02?a=0
∴b≥r(x)max=2lnx0x0?2ax0
∴a2+b≥a2+2lnx0x0?2ax0=(lnx0?1)2+(4lnx0?2)x03x04=φ(x0)
而φ'(x0)=2(3?2lnx0)(x03+lnx0?1)x05
∴φ(x0)在(0,1)上減，(1,e32)上增，(e32,+∞)上減
∴a2+b≥φ(x0)min=φ(1)=?1
這時x0=1,a=1,b=?2
(法二)f'(x)=2ax+b?2lnxx≥0恒成立；
它表示以(a,b)為動點的直線及其上方的點；
z=a2+b表示以(a,b)為動點的拋物線，兩者有公共點；
2ax+b?2lnxx=0z=a2+b
消去b得a2?2xa+2lnxx?z=0
Δ=4x2?4(2lnxx?z)≥0恒成立；
∴z≥2lnxx?x2=u(x) ∴u'(x)=2(1?lnx?x3)x2
∴u(x)在(0,1)上遞增，在(1,+∞)上遞減
∴z=a2+b≥u(x)max=u(1)=?1
題號
一
二
三
四
總分
評分
閱卷人
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
得分
閱卷人
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
得分
閱卷人
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
得分
閱卷人
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
得分
i=18xi
i=18yi
i=18xiyi
i=18(xi?x)2
600
592
43837.2
93.8
X
0
1
2
3
4
P
116
14
38
14
116

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