自貢市蜀光綠盛實驗學(xué)校2025屆九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

這是一份自貢市蜀光綠盛實驗學(xué)校2025屆九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共17頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、單選題
1．下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是( )
A.B.
C.D.
2．用配方法解方程時,原方程變形為( )
A.B.C.D.
3．對于二次函數(shù)的圖象,下列說法不正確的是( )
A.開口向下B.對稱軸是直線
C.當時,y有最大值D.當時,y隨x的增大而減小
4．一元二次方程的根的情況為( )
A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根
C.沒有實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根
5．二次函數(shù)向左平移3個單位,向上平移1個單位得到函數(shù)解析式是( )
A.B.C.D.
6．用公式法解方程,得到( )
A.B.
C.D.
7．生物興趣小組的學(xué)生,將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件,全組共互贈了182件,如果全組有x名同學(xué),則根據(jù)題意列出的方程是( )
A.B.
C.D.
8．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是( )
A.B.且
C.D.且
9．一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程的兩根,則該等腰三角形的周長是( )
A.12B.9C.13D.12或9
10．已知m,n是方程的兩根,則代數(shù)式的值是( )
A.B.12C.3D.0
11．在同一坐標系中,一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是( )
A.B.C.D.
12．二次函數(shù),當且時,y的最小值為2m,最大值2n,則的值等于( )
A.0B.C.D.
二、填空題
13．把方程化為一般形式是______.
14．已知函數(shù),當____________時,它是二次函數(shù).
15．若一元二次方程的兩個實數(shù)根為a,b,則的值為______.
16．如圖所示,在寬為米、長為米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路,余下部分作為耕地,若耕地面積需要平方米,設(shè)修建的路寬為x米,根據(jù)題意,可列方程為____________.
17．設(shè),,是拋物線上的三點,則,,的大小關(guān)系為______.
18．二次函數(shù)的圖象如圖,點位于坐標原點,點、、、…、在y軸的正半軸上,點、、、…、在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上.若、、、…、都為等邊三角形,則的邊長為__________________.
三、解答題
19．解方程：
(1)用直接開平方法：；
(2)用配方法：；
(3)用公式法：；
(4)用因式分解法：.
20．已知關(guān)于x的方程.
(1)若該方程的一個根為2,求a的值及該方程的另一根.
(2)求證：不論a取何實數(shù),該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.
21．已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于A、B兩點，如圖所示，其中.
(1)求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式.
(2)求的面積.
22．已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根.
(1)求m的取值范圍；
(2)設(shè)此方程的兩個根分別為,,若,求m的值.
23．某商場一種商品的進價為每件30元,售價為每件40元.每天可以銷售48件,為盡快減少庫存,商場決定降價促銷.
(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件32.4元,求兩次下降的百分率；
(2)經(jīng)調(diào)查,若該商品每降價0.5元,每天可多銷售4件,那么每天要想獲得510元的利潤,每件應(yīng)降價多少元？
24．閱讀材料：
為了解方程,我們可以將看作一個整體,設(shè),那么原方程可化為①,解得,.
當時,,∴.∴；
當時,,∴.∴.
故原方程的解為,,,.
解答問題：
(1)上述解題過程,在由原方程得到方程①的過程中,利用法達到了降次的目的,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；
(2)請利用以上知識解方程：；
(3)請利用以上知識解方程：.
25．平面直角坐標系中,拋物線與x軸交于A,,與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式,并直接寫出點A,C的坐標；
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使是直角三角形？若存在,請直接寫出點P的坐標,請說明理由；
(3)如圖,點M是直線上的一個動點,連接,是否存在點M使最小,若存在,求出點M的坐標,若不存在,請說明理由.
參考答案
1．答案：A
解析：A、,變形為：,是關(guān)于x的一元二次方程,故本選項符合題意；
B、,不是整式方程,故本選項不符合題意；
C、,當a為0時,則不是關(guān)于x的一元二次方程,故本選項不符合題意；
D、,變形為：,不是關(guān)于x的一元二次方程,故本選項不符合題意；
故選：A.
2．答案：B
解析：,
,
,
,
故選：B.
3．答案：D
解析：∵二次函數(shù),
∴該函數(shù)圖象開口向下,故選項A正確,不符合題意；
對稱軸是直線,故選項B正確,不符合題意；
頂點坐標為,故選項C正確,不符合題意；
當時,y隨x的增大而增大,故選項D錯誤,符合題意；
故選：D.
4．答案：C
解析：
，
原方程無實數(shù)根.
故選：C.
5．答案：D
解析：由題意知,二次函數(shù)向左平移3個單位,向上平移1個單位得到函數(shù)解析式是,
即,
故選：D.
6．答案：C
解析：,
,
,
∴,
故選：C.
7．答案：B
解析：由題意可得,
,
故選B.
8．答案：B
解析：由題意知，，方程有兩個不相等的實數(shù)根，
所以，.
又方程是一元二次方程，，
且.
故選：B.
9．答案：A
解析：因式分解可得：
解得：,
當2為底,5為腰時,則三角形的周長為；
當5為底,2為腰時,則無法構(gòu)成三角形,
故選：A.
10．答案：B
解析：,n是關(guān)于x的方程的兩根,
,,.
.
故選：B.
11．答案：C
解析：根據(jù)二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得,
當時,
二次函數(shù)圖象開口向上,頂點在y軸負半軸,
一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限；
當時,
二次函數(shù)圖象開口向上,頂點在y軸正半軸,
一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限.
符合條件的只有選項C,
故選：C.
12．答案：B
解析：二次函數(shù)的大致圖象如下：
.
①當時,當時,y取最小值,即,
解得：,(舍去).
當時,y取最大值,即,
解得：或(均不合題意,舍去)；
②當時,當時,y取最小值,即,
解得：.
當時,y取最大值,即,
解得：,
或時,y取最小值,時,y取最大值,
,,
∴,
∵,
∴此種情形不合題意,
所以.
故選：B.
13．答案：
解析：由得：,
故答案為：.
14．答案：
解析：∵是二次函數(shù),
∴,
∴或(舍去).
故答案為：-1.
15．答案：5
解析：根據(jù)題意得,
故答案為：5
16．答案：
解析：設(shè)路寬為xm,那么余下耕地的長為,寬為,
根據(jù)面積可列出方程.
.
故答案為..
17．答案：
解析：拋物線的開口向下,對稱軸為直線,
而離直線的距離最遠,點離直線最近,
.
故答案為：.
18．答案：
解析：如圖,分別過、、作y軸的垂線,垂足為A、B、C,設(shè),,,a、b、c均大于0,
∵、、是等邊三角形,
∴,,,
∴,
將代入得,
解得,或(舍去),
∴；
∴,
將代入得,
解得,或,
∴；
∴,
將代入得,
解得,或(舍去),
∴；
……
∴的邊長為,
故答案為：.
19．答案：(1),
(2),
(3),
(4),
解析：(1),
,
,；
(2),
,
,
,
,；
(3),,
,
,
,；
(4),
,
或,
,.
20．答案：(1),
(2)證明見解析
解析：(1)∵方程的一個根為2,
∴,
解得：,
∴,
∴,
∴；
(2)證明：由題意可得,
,
∵,
∴,
∴不論a取何實數(shù),該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；
21．答案：(1)，；
(2)3
解析：(1)一次函數(shù)的圖象過點，
，解得，
一次函數(shù)表達式為，
過點，
，解得，
二次函數(shù)表達式為；
(2)在中，令，得，
，
由一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立可得，
解得或
A的橫坐標點B的橫坐標.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根.
∴,
解得：.
(2)∵關(guān)于x的一元二次方程的兩個根分別為、,
∴,,
∵,
∴,即,
解得：,(舍去),
∴實數(shù)m的值為.
23．答案：(1)兩次下降的百分率為10%
(2)每件商品應(yīng)降價2.5元
解析：(1)設(shè)每次降價的百分率為x.
,
即：,
或(190%不符合題意,舍去),
答：兩次下降的百分率為10%；
(2)設(shè)每天要想獲得510元的利潤,且更有利于減少庫存,則每件商品應(yīng)降價y元,
由題意,得,
化簡得：,
解得：,,
∵有利于減少庫存,
∴.
答：要使商場每月銷售這種商品的利潤達到510元,且更有利于減少庫存,則每件商品應(yīng)降價2.5元.
24．答案：(1)換元
(2),,,
(3),
解析：(1)換元
(2)設(shè),
則原方程化為：,
,
解得,,
①當,即時,解得；
②當,即時,解得.
綜上所述,原方程的解為：,,,；
(3)設(shè),
原方程化為：,
解得：,,
∵,
∴,
當時,,解得,,
原方程的解為：,.
25．答案：(1),,
(2)存在,,,,
(3)存在點M使最小,
解析：(1)將代入,
即,
解得,
,
令,,
令,,
解得,,
,；
(2)存在點P,使是直角三角形,
,對稱軸為直線,
設(shè),
,,
,
,
,
①當時,,
,
解得；
②當,,
,
解得；
③當,,
,
解得或,
綜上所述,或或或；
(3)存在
作O點關(guān)于的對稱點Q,連接交于點M,連接,
由對稱性可知,,
,
當A,M,Q三點共線時,有最小值,
,,
,
,
由對稱性可知,,,
,
,
設(shè)直線的解析式為,
,
解得,
直線的解析式為,
設(shè)直線解析式為,
,
解得,
故直線解析式為,
聯(lián)立方程組,
解得.
故.