東北三省精準(zhǔn)教學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)強(qiáng)化卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）
A.B.C.D.
2.設(shè)集合，，，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（）
A.B.C.D.
3.已知一圓臺(tái)內(nèi)切球G與圓臺(tái)各個(gè)面均相切，記圓臺(tái)上、下底面半徑分別為，，若，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（）
A.B.C.2D.
4.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則B的大小為（）
A.B.C.D.
5.已知且，若函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（）
A.B.C.D.
6.已知定義在R上的函數(shù)滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）
A.B.C.D.
7.在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，，且，，成等差數(shù)列，則的最小值為（）
A.B.C.D.1
8.如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象，其中P和分別是圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)B，A分別是，圖象的一個(gè)對稱中心，若，，則（）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知方程，其中.下列命題為真命題的是（）
A.可以是圓的方程B.可以是拋物線的方程
C.可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程D.可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
10.如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點(diǎn)，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）
A.三棱錐的體積為定值B.直線平面
C.當(dāng)時(shí)，D.直線與平面所成的角的正弦值為
11.定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）
A.當(dāng)時(shí)，
B.當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)
C.對任意正實(shí)數(shù)t，在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)
D.若在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)極大值點(diǎn)，則k的取值范圍是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知向量，，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________.
13.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，P為C上一點(diǎn)，且.若的面積為，則________.
14.已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.
（1）若AC與BD交于點(diǎn)O，且，求BO的長；
（2）求四邊形ABCD周長的最大值.
16.（15分）已知四棱柱，如圖所示，底面ABCD為平行四邊形，其中點(diǎn)D在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，且，.
（1）求證：平面平面；
（2）已知點(diǎn)E在線段上（不含端點(diǎn)位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值.
17.（15分）已知函數(shù).
（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明.
18.（17分）已知函數(shù).
（1）若，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，證明：.
（2）若對任意的，且，函數(shù)，證明：函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn).
19.（17分）定義：從數(shù)列中隨機(jī)抽取m項(xiàng)按照項(xiàng)數(shù)從小到大的順序依次記為，，…，（），將它們組成一個(gè)項(xiàng)數(shù)為m的新數(shù)列，其中，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則稱數(shù)列是數(shù)列的“m項(xiàng)遞增衍生列”.
（1）已知數(shù)列滿足，數(shù)列是的“3項(xiàng)遞增衍生列”，寫出所有滿足條件的；
（2）已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為m的等比數(shù)列，其中，若數(shù)列為1，16，81，求證：數(shù)列不是數(shù)列的“3項(xiàng)遞增衍生列”；
（3）已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為14，且，數(shù)列是數(shù)列的“m項(xiàng)遞增衍生列”，其中.若在數(shù)列中任意抽取3項(xiàng)，且均不構(gòu)成等差數(shù)列，求m的最大值.
答案及解析
東北三省精準(zhǔn)教學(xué)2024年12月高三聯(lián)考強(qiáng)化卷數(shù)學(xué)
1.C 【深度解析】由，得，所以.故選C.
2.B 【深度解析】根據(jù)集合中元素的互異性，可得，解得，，0，因此方程，，，均無解，故必有.故選B.
3.A 【深度解析】如圖為圓臺(tái)及其內(nèi)切球的軸截面，其中圓G是等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓，設(shè)圓G與梯形的上底、下底、腰AD分別切于點(diǎn)，，E，連接GA，GD，，，GE，則，，且G，，三點(diǎn)共線，設(shè)球的半徑為R，則.由圓的切線的性質(zhì)可知GD，GA分別為，的平分線，則，由切線長定理可知，，故由射影定理得.設(shè)圓臺(tái)的體積為，球的體積為，則.故選A.
4.D 【深度解析】因?yàn)?，所以由正弦定理得，所?因?yàn)?，，所以，所以或，即或（舍去），所以，解?故選D.
5.A 【深度解析】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，則函數(shù)的值域不可能為R；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，在上單調(diào)遞減，所以，若使函數(shù)的值域?yàn)镽，則，即，解得.故選A.
6.C 【深度解析】因?yàn)棰?，所以②，①②?lián)立可得，所以，，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理可得.故選C.
7.D 【深度解析】設(shè)的公比為，由，，成等差數(shù)列，得，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，所以，解得，所以，令，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1.故選D.
8.D 【深度解析】由題可得，，令，，，分別得，，.又，令，得，則，則，所以.又，，，所以，即，化簡得，將代入，解得（負(fù)值舍去），所以，則（另解：由，得，因?yàn)椋裕ㄌ崾荆阂驗(yàn)辄c(diǎn)B為函數(shù)圖象的對稱中心，所以），所以，所以，所以，所以，所以.故選D.
9.ABC 【深度解析】對于A，因?yàn)榉匠蹋渲校援?dāng)時(shí)，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程，故A正確；
對于B，當(dāng)時(shí)，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，方程為，即是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故C正確；
對于D，若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則，，，這與矛盾（提示：由得，，則，不符合題意），故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，故D錯(cuò)誤.故選ABC.
10.AD 【深度解析】對于A，因?yàn)辄c(diǎn)P到上底面的距離是定值1，
所以，為定值，故A正確；
對于B，解法一：如圖①，連接，，，在正方體中，易證平面平面，又平面，所以平面不成立，故B錯(cuò)誤；
圖①
解法二（反證法）：連接，假設(shè)平面，因?yàn)槠矫妫移矫嫫矫?，由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，與與相交矛盾，假設(shè)不成立，所以平面不成立，故B錯(cuò)誤；
對于C，如圖②，連接，若，，，，平面，則平面，又平面，所以，顯然不成立，故C錯(cuò)誤；
圖②
對于D，如圖②，連接，由題易知平面，所以即為直線與平面所成的角，則，故D正確.故選AD.
11.BD 【深度解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，，…，，將上述式子累加可得，所以，，設(shè)，，則，所以，，.
對于A，當(dāng)時(shí)，，則，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)?，，，所以?dāng)，時(shí)，，所以，，故B正確；
對于C，當(dāng)，時(shí)，，所以，易知在上單調(diào)遞減，令得，所以在上有唯一的極大值點(diǎn)，設(shè)相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)的距離為d，則，則在區(qū)間內(nèi)可含有2個(gè)極大值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對于D，由選項(xiàng)C可知的極大值點(diǎn)為，，所以的極大值點(diǎn)從左往右依次為，，，，…，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)有3個(gè)極大值點(diǎn)，所以，即k的取值范圍是，故D正確.故選BD.
12.
【深度解析】與的夾角為銳角，等價(jià)于且與不共線，即，解得且.所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.
13. 【深度解析】設(shè)，，不妨設(shè)點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，如圖.
，解得.因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼茫?br>，整理得，又，所以.
14. 【深度解析】由題可得，函數(shù)的定義域?yàn)?，則（提示：只需要考慮分子的符號即可）.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，故符合題意.當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，所以，若存在，使得，則（提示：存在，使得，即），即，即，易證，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即.綜上，可得.
15.（1）（6分）（2）（7分）
【解】（1）在中，由余弦定理得
，
. 3分
設(shè)，則.，
在，中，
由得（關(guān)鍵：利用勾股定理，構(gòu)造關(guān)于BO的方程），5分
即，解得，故.6分
（2）令，，
，，7分
即.又
（提示：利用基本不等式的變式，把邊長積化為邊長和），9分
，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，11分
，故四邊形ABCD周長的最大值為.13分
16.（1）證明見解析（5分）（2）1（10分）
（1）【證明】分析：根據(jù)點(diǎn)D在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，可以判斷平面ABCD，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直，在中使用余弦定理求邊BD的長度，結(jié)合勾股定理證明，最后根據(jù)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化證明結(jié)論.
由題意可知平面ABCD，又平面ABCD，故.1分
不妨設(shè)，在中，，，，
由余弦定理得，
所以，故，故.3分
因?yàn)椋?，平面，所以平面?分
而平面，所以平面平面.5分
（2）【解】分析：根據(jù)垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
連接，AC，由（1）知，DA，DB，兩兩垂直，如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
故，，
又因?yàn)?，所以，所?7分
設(shè)，則，
即，所以.9分
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，
令，則，，所以.12分
因?yàn)閥軸垂直于平面，則可取為平面的一個(gè)法向量.13分
設(shè)平面與平面的夾角為α，則，解得，故. 15分
17.（1），（6分）
（2）；證明見解析（9分）
【解】（1）分析：根據(jù)題意，先利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，再由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，代入計(jì)算得到結(jié)果.
.2分
由，
得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.4分
又，，
所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，.6分
（2）分析：根據(jù)題意，帶入數(shù)值，利用輔助角公式及三角函數(shù)的有界性得到a的取值范圍；接下來分類討論進(jìn)行證明.
由，得，7分
即，其中，. 8分
所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，滿足題意.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.10分
當(dāng)時(shí)，，即，
此時(shí)，
而，所以；12分
當(dāng)時(shí)，，即，
此時(shí)，而，所以. 14分
綜上. 15分
18.【證明】（1）分析：先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系求得a，從而求出，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合虛設(shè)零點(diǎn)的方式，即可證明不等式.
，，
又，，. 2分
設(shè)，則，
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞增，
又，，
存在使得，即，
，4分
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，.6分
（2）分析：先判斷的單調(diào)性，再對，變形，通過構(gòu)造函數(shù)，證明，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得證.
，
，在上單調(diào)遞增，8分
又，
同理.13分
設(shè)，則，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，
，. 15分
又，，，，存在，
使得，又在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn).17分
19.（1）1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5（3分）
（2）證明見解析（5分）（3）8（9分）
【特色題型】數(shù)列的新定義的理解與應(yīng)用
（1）【解】由題意得，數(shù)列為1，8，3，4，5，2，1分
若是數(shù)列的“3項(xiàng)遞增衍生列”，且，
則為1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5. 3分
（2）【證明】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
假設(shè)數(shù)列是數(shù)列的“3項(xiàng)遞增衍生列”，
則存在，使，，，
所以，，則，，5分
則，，
所以，6分
因?yàn)?，，所以為有理?shù)，但為無理數(shù)，
所以（*）式不可能成立.7分
（反證法的應(yīng)用，先假設(shè)數(shù)列是數(shù)列的“3項(xiàng)遞增衍生列”，推出矛盾，得出結(jié)論）
綜上，數(shù)列不是數(shù)列的“3項(xiàng)遞增衍生列”.8分
（3）【解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由，解得，9分
故數(shù)列為1，2，3，4，5，…，14，10分
令，因?yàn)閿?shù)列中各項(xiàng)均為正整數(shù)，
所以（提示：若，則，，成等差數(shù)列），11分
同理，且，所以，則，
同理，且，所以，則，
這與已知條件矛盾，所以，15分
此時(shí)可以構(gòu)造數(shù)列為1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三項(xiàng)均不構(gòu)成等差數(shù)列，16分
綜上所述，m的最大值為8. 17分

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