（考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分）
命題學(xué)校：合肥三中 命題教師：蔡開根 審題教師：孟凡慧
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 已知：，：，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. 2,+∞C. D. ?∞,1
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式確定集合，然后由必要不充分條件得是的真子集可得結(jié)論．
【詳解】∵且或，，又是的必要不充分條件，∴?，∴，
故選：D.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查由必要不充分條件求參數(shù)，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：
命題對(duì)應(yīng)集合，命題對(duì)應(yīng)的集合，則
（1）是的充分條件；
（2）是的必要條件；
（3）是的充分必要條件；
（4）是的既不充分又不必要條件集合之間沒有包含關(guān)系．
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)偶次根下大于等于零，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得集合；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得集合，結(jié)合交集的運(yùn)算可得答案.
【詳解】由題意且，故，解得，故；
由得，故；
綜上.
故選：D.
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化對(duì)數(shù)式為指數(shù)式判斷，判斷，化指數(shù)式為對(duì)數(shù)式判斷，則答案可求.
【詳解】由，得；
由，得；
由，得.
∴.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式、對(duì)數(shù)式中的大小比較，一般可利用中介值和函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行大小比較，是基礎(chǔ)題.
4. 已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，設(shè)，則，，再變形可得函數(shù)解析式.
【詳解】解：設(shè)，則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
又函數(shù)是上的奇函數(shù)
故當(dāng)時(shí)有
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由平方差公式化簡(jiǎn)已知條件并結(jié)合二倍角的余弦公式得，進(jìn)而得，從而結(jié)合二倍角正弦公式即可計(jì)算求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以 ，即，
所以由得，
所以.
故選：A.
6. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知，在R上恒成立，分、兩種情況討論，在時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在時(shí)，可得出，綜合可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，
等價(jià)于在R上恒成立，
若，則在R上恒成立，滿足條件；
若，則，解得.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：A．
7. 已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)（ ）
A. 在區(qū)間上是減函數(shù)B. 在區(qū)間上是減函數(shù)
C. 在區(qū)間上是減函數(shù)D. 在區(qū)間上是減函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求解．
【詳解】因?yàn)椋?br>由圖象知，時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)A、C和D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，
故選：B．
8. 定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】，
∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，
∴區(qū)間上存在 ，
滿足
∴方程在區(qū)間有兩個(gè)不相等的解，
令，
則，
解得
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選:A．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
9. 已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則（ ）
A. B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. D. 的一個(gè)周期為
【答案】AD
【解析】
【分析】由奇函數(shù)可得，再根據(jù)函數(shù)的周期性與對(duì)稱性分別判斷.
【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，則，A選項(xiàng)正確；
又，即，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由可知，
即，函數(shù)的一個(gè)周期為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；
故選：AD.
10. 函數(shù)滿足，則正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)，再比較大小即得.
【詳解】依題意，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在R上遞減，
對(duì)于A，，，則，A正確；
對(duì)于B，，，則，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，則，C正確；
對(duì)于D，，，則，D錯(cuò)誤.
故選：AC
11. 已知，則（ ）
A. 的最小值為 B. 的最大值為
C. 的最小值為 D. 的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，結(jié)合基本不等式即可判斷A；結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，利用基本不等式可判斷B；將化為關(guān)于x的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可判斷是C；通過變量代換，令，得到，根據(jù)“1”的巧用，將變形后，利用基本不等式，即可判斷D..
【詳解】對(duì)于A，由于，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，
即的最小值為 ，A正確；
對(duì)于B，由于，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，即的最大值為，B正確；
對(duì)于C，又，得，
故
由于，而對(duì)稱軸為，
則在上單調(diào)遞減，在上無最值，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，則，
故，
由于，故，
，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
即的最小值為，D正確，
故選：ABD
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了基本不等式的應(yīng)用，主要是求最值問題，難點(diǎn)是選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要通過變量代換，令，得到，根據(jù)“1”的巧用，將變形后，利用基本不等式，即可求解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)對(duì)任意滿足，則______.
【答案】
【解析】
【分析】采用方程組法消去，得出的解析式即可.
【詳解】因?yàn)?，以代替得?br>，
得：.
故答案為：.
13. 若函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】由題知函數(shù)為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增，由此抽象出不等式，解出即可
【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?
所以函數(shù)為偶函數(shù)
當(dāng)時(shí)，與為單調(diào)遞增函數(shù)
所以在單調(diào)遞增
所以
所以
解得：
故答案為：
14. 已知點(diǎn)A是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過B點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式可將問題轉(zhuǎn)化為到上一點(diǎn)的最小距離即可，根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離公式，得，利用導(dǎo)數(shù)求解最小值即可.
【詳解】由于是焦點(diǎn)在軸上的拋物線，故設(shè)其焦點(diǎn)為，
則,所以,
故求到上一點(diǎn)的最小距離即可，
設(shè)，則，
記，則
由于函數(shù)在0,+∞單調(diào)遞增，且，
故當(dāng)x∈0,1時(shí)，因此在0,1單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，因此在1,+∞單調(diào)遞增，
故，
因此，故，
故答案：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)在存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程在上有解，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)圖象運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
對(duì)于函數(shù)
，
所以函數(shù)的最小正周期為，
令，則，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
令，即，則，
∵在存在零點(diǎn)，則方程在上有解，
若時(shí)，則，可得，
∴，得
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
16. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可得解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用二次導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的最值情況，證得，從而得證.
【小問1詳解】
因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
令，則，
令，則，
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
即在上單調(diào)遞減，所以，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：恒成立問題：
（1）恒成立；恒成立．
（2）恒成立；恒成立．
（3）恒成立；恒成立；
（4），，．
17. 在銳角中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角B的值；
（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）根據(jù)正弦定理得到，從而得到，求出，得到，，從而求出周長(zhǎng)的取值范圍.
【小問1詳解】
，由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因?yàn)椋?br>所以；
【小問2詳解】
銳角中，，，
由正弦定理得：，
故，
則
，
因?yàn)殇J角中，，
則，，
解得：，
故，，
則，
故，
所以三角形周長(zhǎng)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，
常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值
18. 已知函數(shù)，.
（1）若，求的極值；
（2）設(shè)函數(shù)在處的切線方程為，若函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，求的值；
（3）函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線重合，若存在則求出的取值范圍，若不存在則說明理由.
【答案】（1）的極大值為，極小值為
（2）
（3）不存，理由見解析
【解析】
【分析】（1）令，列極值表，即可求得極值；
（2）求出切線方程，設(shè)，轉(zhuǎn)化為在恒成立，再由基本不等式成立可得答案；
（3）假設(shè)存在符合題意的直線，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為，，分別代入切線方程和整理得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，由導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性可得答案.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
則，
令，解得：x=1或x=2，列表如下：
由表可知，當(dāng)x=1時(shí)，的極大值為，
當(dāng)x=2時(shí)，的極小值為；
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以處切線方程為，
整理得：，
設(shè)，則：
，
由題意可知，
恒成立.
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以應(yīng)有，
而，，所以只有即時(shí)，，
即成立，
所以.
【小問3詳解】
由（2）可知，曲線y=f(x)在處切線方程為：
，
假設(shè)存在符合題意的直線，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為，，
則： ，
由①式可得：，代入②式，則：，
整理得：，
設(shè)，則，設(shè)，
則，
所以單調(diào)遞減，
因?yàn)椋缘慕鉃?
即，解得，
此時(shí)，
所以不存在符合題意的兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線重合.
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性與極值，切線問題，轉(zhuǎn)化與化歸能力，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，第三問轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的關(guān)系是難點(diǎn)，是較難的題目.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點(diǎn)Px,y變換為點(diǎn)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示．
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)Px,y繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)二階矩陣；
（3）向量（稱為行向量形式），也可以寫成，這種形式的向量稱為列向量，線性變換坐標(biāo)公式①可以表示為：，則稱是二階矩陣與向量的乘積，設(shè)是一個(gè)二階矩陣，，是平面上的任意兩個(gè)向量，求證：．
【答案】（1）
（2），
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義得到旋轉(zhuǎn)之前的和，再由兩角和的正弦、余弦公式得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用三角函數(shù)的定義得到旋轉(zhuǎn)之前的和，再由兩角和的正弦、余弦公式得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)變換公式的定義得到變換公式及與之對(duì)應(yīng)的二階矩陣；
（3）根據(jù)定義分別計(jì)算、、，證明即可.
【小問1詳解】
可求得，設(shè)，則，，
設(shè)點(diǎn)，，
故
所以.
【小問2詳解】
設(shè)，，則，，，
故
所以坐標(biāo)變換公式為，
該變換所對(duì)應(yīng)的二階矩陣為
【小問3詳解】
設(shè)矩陣，向量，，則．
，
對(duì)應(yīng)變換公式為：，
，
所以
故對(duì)應(yīng)變換公式同樣為
所以得證.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用三角函數(shù)的定義解題：（1）角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合；（2）角的始邊與軸正半軸重合；在角的終邊上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則：；； .單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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