題型1 “平移圓”模型

垂直于磁場邊界不斷地發(fā)射速度相同的同種帶電粒子，不考慮粒子間的相互作用，則粒子經(jīng)過磁場的區(qū)域（陰影部分）可能是（ C ）
解析 帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，如圖所示，粒子源最左端發(fā)射的粒子落在A點，最右端發(fā)射的粒子落在B點，故選C.
題型2 “旋轉(zhuǎn)圓”模型

2.[2023四川德陽期末]如圖所示，豎直平行線MN、PQ間距離為a，其間存在垂直紙面向里的勻強磁場（含邊界PQ），磁感應(yīng)強度大小為B，MN上O處的粒子源能沿不同方向釋放速度大小相等、方向均垂直磁場的帶負電粒子，已知粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m.粒子間的相互作用及重力不計，其中沿θ＝60°射入的粒子，恰好垂直PQ射出，則（ D ）
A.粒子在磁場中做圓周運動的半徑為3a
B.粒子的速率為aqBm
C.沿θ＝60°射入的粒子，在磁場中的運動時間為πm3qB
D.PQ邊界上有粒子射出的長度為23a
解析 粒子沿θ＝60°射入時，恰好垂直PQ射出，則粒子在磁場中轉(zhuǎn)過30°，如圖甲所示，由幾何關(guān)系有Rsin30°＝a，解得R＝2a，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝mv2R，則v＝2aqBm，故AB錯誤.沿θ＝60°射入的粒子，在磁場中的運動時間為t＝30°360°T＝112×2πRv＝πR6v＝πm6qB，故C錯誤.如圖乙所示，θ＝0°時，粒子從PQ上離開磁場的位置與B點的距離為3a，當θ增大時，粒子從PQ上離開磁場的位置下移，直到粒子運動軌跡與PQ相切；θ繼續(xù)增大，則粒子不能從PQ邊界射出；粒子運動軌跡與PQ相切時，由半徑R＝2a可知，粒子轉(zhuǎn)過的角度為60°，所以出射點在PQ上O點的水平線下方3a處；所以PQ邊界上有粒子射出的長度為23a，故D正確.
題型3 “放縮圓”模型


3.真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示.一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進入磁場.已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力.為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強度最小為（ C ）
A.3mv2aeB.mvaeC.3mv4aeD.3mv5ae
解析 為使電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進入勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑最大時軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為r，軌跡圓圓心為M，磁場的磁感應(yīng)強度最小為B，由幾何關(guān)系有r2＋a2＋r＝3a，解得r＝43a，電子在勻強磁場中做勻速圓周運動有evB＝mv2r，解得B＝3mv4ae，選項C正確.
題型4 “磁聚焦”與“磁發(fā)散”模型


4.如圖所示，半徑為R的14圓形區(qū)域內(nèi)存在著垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，磁場的左邊垂直x軸放置一線形粒子發(fā)射裝置，能在0≤y≤R的區(qū)間內(nèi)各處沿x軸正方向同時發(fā)射出速度相同、帶正電的同種粒子，粒子質(zhì)量為m、電荷量為q，不計粒子的重力及粒子間的相互作用力，若某時刻粒子被裝置發(fā)射出后，經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)擊中y軸上的同一位置，則下列說法中正確的是（ D ）
A.粒子都擊中O點處
B.粒子的初速度為BqR2m
C.粒子在磁場中運動的最長時間為πmqB
D.粒子到達y軸上的最大時間差為πm2qB－mqB
解析 由題意，某時刻發(fā)出的粒子都擊中y軸上一點，由最高點射出的粒子只能擊中（0，R），可知擊中的同一點就是（0，R），A錯誤；從最低點射入的粒子也擊中（0，R），由幾何關(guān)系可知粒子做勻速圓周運動的半徑為R，由洛倫茲力提供向心力得qvB＝mv2R，則速度v＝BqRm，B錯誤；偏轉(zhuǎn)角最大的粒子在磁場中的運動時間最長，顯然從最低點射入的粒子偏轉(zhuǎn)角最大，為90°，故其在磁場中的運動時間最長，時間t＝14T＝14×2πmqB＝πm2qB，C錯誤；從最高點直接射向（0，R）的粒子到達y軸的時間最短，則最長與最短的時間差為Δt＝t－Rv＝πm2qB－mqB，D正確.

1.如圖所示為邊長為L的正方形有界勻強磁場ABCD，帶電粒子從A點沿AB方向射入磁場，恰好從C點飛出磁場；若帶電粒子以相同的速度從AD的中點P垂直AD射入磁場，則從DC邊的M點飛出磁場（M點未畫出）.設(shè)粒子從A點運動到C點所用的時間為t1，從P點運動到M點所用的時間為t2.帶電粒子重力不計，則t1∶t2為（ C ）
A.2∶1B.2∶3C.3∶2D.1∶2
解析 畫出粒子從A點射入磁場到從C點射出磁場的軌跡，并將該軌跡向下平移，粒子做圓周運動的半徑為R＝L，從C點射出的粒子運動時間為t1＝T4；由P點運動到M點所用時間為t2，圓心角為θ，csθ＝R2R＝12，則θ＝60°，故t2＝T6，所以t1t2＝T4T6＝32，C正確.
2.[2021全國乙]如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的帶電粒子從圓周上的M點沿直徑MON方向射入磁場.若粒子射入磁場時的速度大小為v1，離開磁場時速度方向偏轉(zhuǎn)90°；若射入磁場時的速度大小為v2，離開磁場時速度方向偏轉(zhuǎn)60°.不計重力，則v1v2為（ B ）
A.12B.33C.32D.3
解析 設(shè)圓形磁場區(qū)域的半徑為R，粒子的運動軌跡如圖所示，沿直徑MON方向以速度v1射入圓形勻強磁場區(qū)域的粒子離開磁場時速度方向偏轉(zhuǎn)90°，則其軌跡半徑為r1＝R，由洛倫茲力提供向心力得qv1B＝mv12r1，解得v1＝qBRm；沿直徑MON方向以速度v2射入圓形勻強磁場區(qū)域的粒子離開磁場時速度方向偏轉(zhuǎn)60°，由幾何關(guān)系得tan30°＝Rr2，可得其軌跡半徑為r2＝3R，由洛倫茲力提供向心力得qv2B＝mv22r2，解得v2＝3qBRm，則v1v2＝13＝33，B正確.
3.[多選]如圖所示，空間中存在一半徑為R、磁感應(yīng)強度為B的圓形勻強磁場，MN是一豎直放置的足夠長的感光板.大量相同的帶正電粒子從圓形磁場最高點P以速率v沿不同方向垂直磁場方向射入，不考慮速度沿圓形磁場切線方向入射的粒子.粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，不考慮粒子間的相互作用和粒子的重力.關(guān)于這些粒子的運動，以下說法正確的是（ ACD ）
A.對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中運動的時間越短
B.對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中運動的時間越長
C.若粒子速度大小均為v＝qBRm，出射后均可垂直打在MN上
D.若粒子速度大小均為v＝qBRm，則粒子在磁場中的運動時間一定小于πmqB
解析 對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中做圓周運動的軌跡半徑越大，軌跡對應(yīng)的圓心角越小，由t＝θ2πT＝θmqB可知，運動時間越短，故A正確，B錯誤.粒子速度大小均為v＝qBRm時，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得粒子的軌跡半徑r＝mvqB＝R，根據(jù)幾何關(guān)系可知，入射點P、O、出射點與軌跡圓的圓心的連線構(gòu)成菱形，射出磁場時的軌跡半徑與PO平行，故粒子射出磁場時的速度方向與MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根據(jù)幾何關(guān)系可知，軌跡對應(yīng)的圓心角小于180°，粒子在磁場中的運動時間t＜12T＝πmqB，故C、D正確.
4.[2023豫北名校聯(lián)考/多選]如圖所示，直角三角形ABC區(qū)域內(nèi)有一方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場，∠A＝30°，AB＝L.在A點有一個粒子源，可以沿AB方向發(fā)射速度大小不同的帶正電的粒子.已知粒子的比荷均為k，不計粒子間相互作用及重力，則下列說法正確的是（ CD ）
A.隨著速度的增大，粒子在磁場中運動的時間變短
B.隨著速度的增大，粒子射出磁場區(qū)域時速度的偏轉(zhuǎn)角變大
C.從AC邊射出的粒子的最大速度為233kLB
D.從AC邊射出的粒子在磁場中的運動時間為π3kB
解析
5.[多選]如圖所示，正方形abcd區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，O點是cd邊的中點.一個帶正電的粒子（重力忽略不計）從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)過時間t0剛好從c點射出磁場.現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點沿紙面以與Od成30°角的方向（如圖中虛線所示）且以各種不同的速率射入正方形區(qū)域內(nèi)，那么下列說法正確的是（ AD ）
A.該帶電粒子不可能從正方形的某個頂點射出磁場
B.若該帶電粒子從ab邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間可能為32t0
C.若該帶電粒子從bc邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間可能為32t0
D.若該帶電粒子從cd邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間一定為53t0
解析 帶電粒子以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t0剛好從c點射出磁場，則知帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為T＝2t0.如圖所示，隨粒子速度逐漸增大，軌跡由①→②→③→④依次漸變，由圖可以知道粒子在四個邊射出時，不可能從四個頂點射出，故A正確；由幾何關(guān)系可知粒子從ab邊射出時經(jīng)歷的時間小于半個周期t0，從bc邊射出時經(jīng)歷的時間小于23T，從cd邊射出時軌跡所對的圓心角都是300°，經(jīng)歷的時間為5T6＝5t03，故B、C錯誤，D正確.
6.如圖所示，在屏MN的上方有磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里.P為屏上的一個小孔，PC與MN垂直.一群質(zhì)量為m、帶電荷量為－q的粒子（不計重力），以相同的速率v從P處沿垂直于磁場的方向射入磁場區(qū)域.粒子入射方向在與磁場B垂直的平面內(nèi)，且散開在與PC夾角為θ的范圍內(nèi).則在屏MN上被粒子打中的區(qū)域的長度為（ D ）
A.2mvqB
B.2mvcsθqB
C.2mv（1－sinθ）qB
D.2mv（1－csθ）qB
解析 當粒子初速度方向與MN垂直時，粒子打中屏MN上被粒子打中的區(qū)域的最右端，到P點的距離x1＝2r＝2mvqB；當粒子初速度方向與PC夾角為θ時，粒子打中屏MN上被粒子打中的區(qū)域的最左端，到P點的距離x2＝2rcsθ＝2mvcsθqB，故在屏MN上被粒子打中的區(qū)域的長度為x1－x2＝2mv（1－csθ）qB，D正確.
7.[選項圖形化/多選]如圖所示，紙面內(nèi)有寬為L、水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質(zhì)量為m，電荷量為－q，速率為v0，不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用，要使粒子都會聚到一點，可以在粒子流的右側(cè)虛線框內(nèi)設(shè)計一勻強磁場區(qū)域，則磁場區(qū)域的形狀及對應(yīng)的磁感應(yīng)強度可以是下列選項中的（其中B0＝mv0qL，A、C、D選項中曲線均為半徑為L的14圓弧，B選項中曲線為半徑為L2的圓）（ AB ）
A B C D
8.如圖所示，正方形區(qū)域abcd內(nèi)（含邊界）有垂直紙面向里的勻強磁場，ab＝l，Oa＝0.4l，大量帶正電的粒子從O點沿與ab邊成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁場，不計粒子重力和粒子間的相互作用.已知帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8.
（1）求帶電粒子在磁場中運動的最長時間；
（2）若帶電粒子從ad邊離開磁場，求v0的取值范圍.
答案 （1）143πm90qB （2）qBl4m＜v0≤5qBl9m
解析 （1）粒子從ab邊離開磁場時，在磁場中運動的時間最長，如圖甲所示
有qBv0＝mv02R，又T＝2πRv0，解得T＝2πmBq
又由幾何關(guān)系得θ＝74°，則粒子在磁場中運動的最長時間
t＝360°－74°360°T＝143πm90qB
（2）粒子軌跡與ad邊相切時，如圖乙所示，設(shè)此時初速度為v01，軌跡半徑為R1，由幾何關(guān)系可得
R1＋R1sin37°＝0.4l
又qBv01＝mv012R1，解得v01＝qBl4m
粒子運動軌跡與cd邊相切時，如圖丙所示，設(shè)此時初速度為v02，軌跡半徑為R2，由幾何關(guān)系可得
R2＋R2cs37°＝l
又qBv02＝mv022R2，解得v02＝5qBl9m
綜上可得qBl4m＜v0≤5qBl9m.
9.[與數(shù)學知識聯(lián)系緊密/2024湖北武漢部分學校調(diào)研/多選]如圖所示，在xOy平面的第一象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強度大小B＝0.5T的有界勻強磁場（未畫出），磁場右邊界滿足曲線方程x22＋y24＝1（其中x≥0，y≥0，單位：m），M點的坐標為（12m，32m）.從O點沿x軸正方向以不同速率射出大量質(zhì)量m＝1×10－6kg、電荷量q＝＋2×10－4C的同種粒子，不計粒子的重力及粒子間的相互作用力，已知所有粒子均不從磁場右邊界射出.下列說法正確的是（ BD ）
A.所有粒子在磁場中運動的時間不同
B.粒子的最大速率為100m/s
C.磁場中有粒子出現(xiàn)的區(qū)域面積為π3m2
D.某粒子從O點運動到M點的過程，動量改變量大小為1×10－4kg·m/s
解析 由題意可知所有的粒子應(yīng)從y軸上沿x軸負方向離開磁場，則所有粒子在磁場中的運動時間均為T2＝πmqB，又所有粒子的質(zhì)量和電荷量均相同，所以所有粒子
在磁場中的運動時間相同，A錯誤；當粒子在磁場中的運動軌跡與磁場右邊界相切時，粒子的運動軌跡半徑最大，速率最大，又粒子的最大軌跡圓方程為x2＋（y－rm）2＝rm2，磁場右邊界的曲線方程為x22＋y24＝1，則聯(lián)立所得方程的判別式Δ＝0，解得rm＝1m，根據(jù)粒子在磁場中運動時有qvmB＝mvm2rm，可得vm＝qBrmm＝100m/s，B正確；根據(jù)題意可知磁場中有粒子出現(xiàn)的區(qū)域面積為粒子在磁場中運動的最大軌跡圓面積的12，即S＝12πrm2＝π2m2，C錯誤；作出粒子運動過程中經(jīng)過M點的軌跡如圖所示，則由幾何關(guān)系有r2＝（12m）2＋（32m－r）2，解得r＝33m，則粒子的速率為v＝qBrm＝10033m/s，根據(jù)圖中的幾何關(guān)系可知粒子在M點時速度方向與y軸正方向的夾角滿足csθ＝1233＝32，即θ＝30°，則粒子從O點運動到M點的過程，速度改變量的大小為Δv＝2vsin30°+90°2＝3v＝100m/s，所以此過程動量改變量的大小為Δp＝mΔv＝1×10－4kg·m/s，D正確.
核心考點
五年考情
命題分析預(yù)測
“平移圓”模型
本專題內(nèi)容為解決帶電粒子在有界磁場中運動的模型歸納，單獨考查的可能性不大，但在解決大量帶電粒子在磁場中的運動問題時，會使解題更加方便快捷.
預(yù)計2025年高考可能會通過與帶電粒子在磁場中做圓周運動有關(guān)的現(xiàn)代科技，考查帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界與極值問題.
“旋轉(zhuǎn)圓”模型
“放縮圓”模型
2020：全國ⅠT18
“磁聚焦”與
“磁發(fā)散”模型
2021：湖南T13
適用條件
同種帶電粒子速度大小相等、方向相同，入射點不同但在同一直線上.粒子進入勻強磁場時，它們做勻速圓周運動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則圓周運動半徑r＝mv0qB，如圖所示（圖中只畫出了粒子帶負電的情境）
軌跡圓
圓心共線
帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡圓圓心在同一直線上，該直線與入射點的連線平行
界定方法
將半徑為r＝mv0qB的圓進行平移，從而探索粒子運動的臨界條件
適用條件
同種帶電粒子速度大小相等，方向不同.粒子進入勻強磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，圓周轉(zhuǎn)向相同，圓心位置不同，軌跡不同.若粒子射入磁場時的速度為v0，則粒子做圓周運動的軌跡半徑為R＝mv0qB，如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情境）
軌跡圓
圓心共圓
如圖.帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡圓的圓心在以入射點為圓心、半徑R＝mv0qB的圓上
界定方法
將半徑為R＝mv0qB的圓以帶電粒子入射點為定點進行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子運動的臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法
適用條件
同種帶電粒子速度方向相同，大小不同.粒子進入勻強磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度大小的變化而變化
軌跡圓
圓心共線
如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情境），速度v越大，運動半徑越大.帶電粒子沿同一方向射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直入射速度方向的直線PP'上
界定方法
以入射點P為定點，圓心位于直線PP'上，將半徑放縮確定運動軌跡，從而探索出粒子運動的臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法
原理
圖像
證明
磁聚焦
如圖甲所示，大量同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場區(qū)域，不計粒子的重力及粒子間的相互作用，如果軌跡圓半徑與磁場圓半徑相等（R＝r），則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點B點射出
圖甲
四邊形OAO'B為菱形，是特殊的平行四邊形，對邊平行，OB必平行于AO'（即豎直方向），可知從A點入射的帶電粒子必然經(jīng)過B點
磁發(fā)散
如圖乙所示，有界圓形磁場的磁感應(yīng)強度為B，圓心為O，P點有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場，不計粒子的重力及粒子間的相互作用，如果帶正電粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場半徑相等，則所有粒子射出磁場的方向平行
圖乙
所有粒子運動軌跡的圓心與磁場圓圓心O、入射點、出射點的連線為菱形，也是特殊的平行四邊形，O1A、O2B、O3C均平行且等于PO，即出射速度方向相同（均沿水平方向）

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