1．（3分）2022的相反數(shù)是
A．B．C．2022D．
2．（3分）某商城開設(shè)一種摸獎游戲，中一等獎的機會為20萬分之一，將這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為
A．B．C．D．
3．（3分）下面的圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是
A．B．C．D．
4．（3分）如圖，圖中所示的幾何體為一桶快餐面，其俯視圖正確的是
A．B．C．D．
5．（3分）下列計算正確的是
A．B．C．D．
6．（3分）世界文化遺產(chǎn)“三孔”景區(qū)已經(jīng)完成基站布設(shè)，“孔夫子家”自此有了網(wǎng)絡(luò)．網(wǎng)絡(luò)峰值速率為網(wǎng)絡(luò)峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸500兆數(shù)據(jù)，網(wǎng)絡(luò)比網(wǎng)絡(luò)快45秒，求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率．設(shè)網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是
A．B．
C．D．
7．（3分）如圖，一個幾何體上半部為正四棱錐，下半部為立方體，且有一個面涂有顏色，該幾何體的表面展開圖是
A．B．
C．D．
8．（3分）如圖，半徑為3的經(jīng)過原點和點，是軸左側(cè)優(yōu)弧上一點，則為
A．B．C．D．
9．（3分）如圖，點的坐標是，點的坐標是，為的中點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△．若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過的中點，則的值是
A．9B．12C．15D．18
10．（3分）拋物線上的部分點的橫坐標與縱坐標的對應(yīng)值如表：
則下列結(jié)論：①；②；③拋物線的對稱軸為直線；④方程的兩個根為，．正確的有
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）函數(shù)自變量的取值范圍是 ．
12．（3分）因式分解： ．
13．（3分）為了落實“雙減”政策，東營市某學(xué)校對初中學(xué)生的課外作業(yè)時長進行了問卷調(diào)查，15名同學(xué)的作業(yè)時長統(tǒng)計如下表，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 分鐘．
14．（3分）如圖，在中，弦半徑，，則的度數(shù)為 ．
15．（3分）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是 ．
16．（3分）如圖，是等腰直角三角形，直角頂點與坐標原點重合，若點在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點的函數(shù)圖象表達式為 ．
三、解答題（本大題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（4分）（1）計算：
（1）；
（2），其中，．
18．（8分）6月5日是世界環(huán)境日．某校舉行了環(huán)保知識競賽，從全校學(xué)生中隨機抽取了名學(xué)生的成績進行分析，并依據(jù)分析結(jié)果繪制了不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖（如圖所示）．
學(xué)生成績分布統(tǒng)計表
請根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
（1）填空： ， ；
（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）求這名學(xué)生成績的平均分；
（4）從成績在和的學(xué)生中任選兩名學(xué)生．請用列表法或畫樹狀圖的方法，求選取的學(xué)生成績在和中各一名的概率．
19．（8分）知識再現(xiàn)
如圖1，在中，，，，的對邊分別為，，．
，，
，．
．
拓展探究
如圖2，在銳角中，，，的對邊分別為，，．
請?zhí)骄?，，之間的關(guān)系，并寫出探究過程．
解決問題
如圖3，為測量點到河對岸點的距離，選取與點在河岸同一側(cè)的點，測得，，．請用拓展探究中的結(jié)論，求點到點的距離．
20．（8分）開學(xué)初，小芳和小亮去學(xué)校商店購買學(xué)習(xí)用品，已知每支鋼筆的價格比每本筆記本的價格少2元，小芳用30元錢購買鋼筆的數(shù)量是小亮用25元錢購買筆記本數(shù)量的2倍．
（1）求每支鋼筆和每支筆記本的價格；
（2）一模后，班主任再次購買上述價格的鋼筆和筆記本共50件作為獎品，獎勵給一模中表現(xiàn)突出和進步的同學(xué)，總費用不超過200元．請問至少要買多少支鋼筆？
21．（10分）如圖，在中，，以為直徑的交于點，交于點，過作于點，交的延長線于點．
（1）求證：是的切線；
（2）當(dāng)，時，求的長；
（3）當(dāng)，時，求的值．
22．（10分）如圖，直線與函數(shù)的圖象相交于點，與軸交于點．
（1）求的值及直線的解析式；
（2）直線在直線的上方，滿足，求直線的解析式；
（3）若是線段上一點將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點恰好落在函數(shù)的圖象上，求點的坐標．
23．（12分）和均為等邊三角形，點、分別從點，同時出發(fā)，以相同的速度沿、運動，運動到點、停止．
（1）如圖1，當(dāng)點、分別與點、重合時，請判斷：線段、的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
（2）如圖2，當(dāng)點、不與點，重合時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）當(dāng)點運動到什么位置時，四邊形的面積是面積的一半，請直接寫出答案；此時，四邊形是哪種特殊四邊形？請在備用圖中畫出圖形并給予證明．
24．（12分）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過，兩點，交軸負半軸于點，為拋物線上一動點，點的橫坐標為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若，當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？
（3）若，設(shè)直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
2024年山東省臨沂市聯(lián)盟中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）
1．（3分）2022的相反數(shù)是
A．B．C．2022D．
【分析】直接根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可．
【解答】解：2022的相反數(shù)等于，
故選：．
【點評】此題考查的是相反數(shù)，只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．
2．（3分）某商城開設(shè)一種摸獎游戲，中一等獎的機會為20萬分之一，將這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為
A．B．C．D．
【分析】先把20萬分之一轉(zhuǎn)化成0.000 005，然后再用科學(xué)記數(shù)法記數(shù)記為．小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【解答】解：．
故選：．
【點評】考查了科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，將一個絕對值較小的數(shù)寫成科學(xué)記數(shù)法的形式時，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，是負數(shù)．
3．（3分）下面的圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念即可解答．
【解答】解：、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；
、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．
故選：．
【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)后兩部分重合．
4．（3分）如圖，圖中所示的幾何體為一桶快餐面，其俯視圖正確的是
A．B．C．D．
【分析】找出從幾何體的上面看所得到的圖形即可．
【解答】解：從幾何體的上面看可得，
故選：．
【點評】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，關(guān)鍵是掌握所看的位置．
5．（3分）下列計算正確的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)對各選項進行逐一計算即可．
【解答】解：、，原計算錯誤，不符合題意；
、，原計算錯誤，不符合題意；
、，原計算錯誤，不符合題意；
、，正確，符合題意．
故選：．
【點評】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，熟知二次根式具有非負性是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）世界文化遺產(chǎn)“三孔”景區(qū)已經(jīng)完成基站布設(shè)，“孔夫子家”自此有了網(wǎng)絡(luò)．網(wǎng)絡(luò)峰值速率為網(wǎng)絡(luò)峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸500兆數(shù)據(jù)，網(wǎng)絡(luò)比網(wǎng)絡(luò)快45秒，求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率．設(shè)網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是
A．B．
C．D．
【分析】直接利用網(wǎng)絡(luò)比網(wǎng)絡(luò)快45秒得出等式進而得出答案．
【解答】解：設(shè)網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是：
．
故選：．
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，正確得出等式是解題關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，一個幾何體上半部為正四棱錐，下半部為立方體，且有一個面涂有顏色，該幾何體的表面展開圖是
A．B．
C．D．
【分析】由平面圖形的折疊及幾何體的展開圖解題，注意帶圖案的一個面不是底面．
【解答】解：選項和帶圖案的一個面是底面，不能折疊成原幾何體的形式；
選項能折疊成原幾何體的形式；
中的圖形不是這個幾何體的表面展開圖．
故選：．
【點評】本題主要考查了幾何體的展開圖．解題時勿忘記正四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．注意做題時可親自動手操作一下，增強空間想象能力．
8．（3分）如圖，半徑為3的經(jīng)過原點和點，是軸左側(cè)優(yōu)弧上一點，則為
A．B．C．D．
【分析】作直徑，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)正切的定義求出，根據(jù)圓周角定理得到，等量代換即可．
【解答】解：作直徑，
，
點在軸上，
在中，，，
則，
，
由圓周角定理得，，
則，
故選：．
【點評】本題考查的是圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，點的坐標是，點的坐標是，為的中點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△．若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過的中點，則的值是
A．9B．12C．15D．18
【分析】作軸于．證明，推出，，求出點坐標，再利用中點坐標公式求出點坐標即可解決問題．
【解答】解：作軸于．
，
，，
，
，
，
，，
點的坐標是，點的坐標是，
，，
，，
，
，
，
，
反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
．
故選：．
【點評】本題考查反比例函數(shù)圖形上的點的坐標特征，坐標與圖形的變化旋轉(zhuǎn)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
10．（3分）拋物線上的部分點的橫坐標與縱坐標的對應(yīng)值如表：
則下列結(jié)論：①；②；③拋物線的對稱軸為直線；④方程的兩個根為，．正確的有
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)表格中，的值的變化，判斷①；令，，即可判斷②；再根據(jù)當(dāng)和時，的值相等，求出對稱軸判斷③；最后根據(jù)表格知當(dāng)或時，，判斷④，即可得出答案．
【解答】解：由表格可知當(dāng)逐漸增大時，的值先減小后增大，
拋物線開口向上，即，故①正確；
由表格知當(dāng)時，，即，故②正確；
由表格知當(dāng)和時，的值相等，
拋物線的對稱軸為直線，故③正確；
由表格知當(dāng)或時，，
方程的兩個根滿足，，故④正確．
可知正確的有4個．
故選：．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對于二次函數(shù)，，為常數(shù)，，當(dāng)時，開口向上，在對稱軸的左側(cè)隨的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)隨的增大而增大；當(dāng)時，開口向下，在對稱軸的左側(cè)隨的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)隨的增大而減?。?br>二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）函數(shù)自變量的取值范圍是 ．
【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解．
【解答】解：根據(jù)題意得，，
解得．
故答案為：
【點評】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍的知識點，關(guān)鍵是利用二次根式的被開方數(shù)非負數(shù)解答．
12．（3分）因式分解： ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式進行分解．
【解答】解：，
，
．
【點評】本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本題要進行二次分解，分解因式要徹底．
13．（3分）為了落實“雙減”政策，東營市某學(xué)校對初中學(xué)生的課外作業(yè)時長進行了問卷調(diào)查，15名同學(xué)的作業(yè)時長統(tǒng)計如下表，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 70 分鐘．
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義即可解決問題．
【解答】解：分鐘出現(xiàn)了6次，它的次數(shù)最多，
眾數(shù)是70分鐘．
故答案為：70．
【點評】本題考查了確定一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的能力．求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，若幾個數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時眾數(shù)就是這多個數(shù)據(jù)．
14．（3分）如圖，在中，弦半徑，，則的度數(shù)為 ．
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算的度數(shù)．
【解答】解：半徑，
，
，
，
．
故答案為：．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和：三角形內(nèi)角和是．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和圓的認識．
15．（3分）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是 且 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義和根的判別式的意義得到且△，然后求出兩不等式的公共部分即可．
【解答】解：根據(jù)題意得且△，
解得且，
所以的取值范圍是且．
故答案為：且．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程無實數(shù)根．
16．（3分）如圖，是等腰直角三角形，直角頂點與坐標原點重合，若點在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點的函數(shù)圖象表達式為 ．
【分析】作軸于，軸于，根據(jù)是等腰直角三角形，可證明，利用反比例函數(shù)的幾何意義得到，則，所以，然后求出得到經(jīng)過點的反比例函數(shù)解析式．
【解答】解：如圖，作軸于，軸于，
，
，
，
，
，
，
，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
，
，
經(jīng)過點的反比例函數(shù)解析式為．
故答案為：．
【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
三、解答題（本大題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（4分）（1）計算：
（1）；
（2），其中，．
【分析】（1）依據(jù)題意，根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值進行計算可以得解；
（2）依據(jù)題意，根據(jù)分式的混合運算法則進行化簡，然后代入計算可以得解．
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
．
又當(dāng)，，
原式．
【點評】本題主要考查了分式的化簡求值、整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，解題時要熟練掌握并能準確計算是關(guān)鍵．
18．（8分）6月5日是世界環(huán)境日．某校舉行了環(huán)保知識競賽，從全校學(xué)生中隨機抽取了名學(xué)生的成績進行分析，并依據(jù)分析結(jié)果繪制了不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖（如圖所示）．
學(xué)生成績分布統(tǒng)計表
請根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
（1）填空： 40 ， ；
（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）求這名學(xué)生成績的平均分；
（4）從成績在和的學(xué)生中任選兩名學(xué)生．請用列表法或畫樹狀圖的方法，求選取的學(xué)生成績在和中各一名的概率．
【分析】（1）根據(jù)頻率之和等于1，頻數(shù)除以百分比等于總?cè)藬?shù)求解；
（2）先求頻數(shù)，再補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）用組中值代表數(shù)據(jù)求解；
（4）利用樹狀圖求概率．
【解答】解：（1）；
；
故答案為：40，0.25；
（2）頻數(shù)分布直方圖如圖示：
（3），
所以這名學(xué)生成績的平均分為88.125分；
（4）用，表示成績在的學(xué)生，用，表示成績在的學(xué)生，樹狀圖如下：
選取的學(xué)生成績在和中各一名的概率為：．
【點評】本題考查了頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖及概率，掌握各組人數(shù)、總?cè)藬?shù)與各組的百分數(shù)間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
19．（8分）知識再現(xiàn)
如圖1，在中，，，，的對邊分別為，，．
，，
，．
．
拓展探究
如圖2，在銳角中，，，的對邊分別為，，．
請?zhí)骄?，，之間的關(guān)系，并寫出探究過程．
解決問題
如圖3，為測量點到河對岸點的距離，選取與點在河岸同一側(cè)的點，測得，，．請用拓展探究中的結(jié)論，求點到點的距離．
【分析】拓展研究：作于點，于點，根據(jù)正弦的定義得，，，，從而得出結(jié)論；
解決問題：由拓展探究知，，代入計算即可．
【解答】解：拓展探究
如圖，作于點，于點，
在中，，
同理：，
，
，
，，，，
，，
；
解決問題
在中，，
，
，
，
點到點的距離為．
【點評】本題主要考查了解直角三角形，對于銳角三角形，利用正弦的定義，得出是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）開學(xué)初，小芳和小亮去學(xué)校商店購買學(xué)習(xí)用品，已知每支鋼筆的價格比每本筆記本的價格少2元，小芳用30元錢購買鋼筆的數(shù)量是小亮用25元錢購買筆記本數(shù)量的2倍．
（1）求每支鋼筆和每支筆記本的價格；
（2）一模后，班主任再次購買上述價格的鋼筆和筆記本共50件作為獎品，獎勵給一模中表現(xiàn)突出和進步的同學(xué)，總費用不超過200元．請問至少要買多少支鋼筆？
【分析】（1）設(shè)每支鋼筆元，則每本筆記本元，根據(jù)數(shù)量總價單價結(jié)合小芳用30元錢購買鋼筆的數(shù)量是小亮用25元錢購買筆記本數(shù)量的2倍，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)要買支鋼筆，則要買本筆記本，根據(jù)總費用單價數(shù)量結(jié)合總費用不超過200元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)每支鋼筆元，則每本筆記本元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解且符合題意，．
答：每支鋼筆3元，每本筆記本5元．
（2）設(shè)要買支鋼筆，則要買本筆記本，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：至少要買25支鋼筆．
【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
21．（10分）如圖，在中，，以為直徑的交于點，交于點，過作于點，交的延長線于點．
（1）求證：是的切線；
（2）當(dāng)，時，求的長；
（3）當(dāng)，時，求的值．
【分析】（1）連接，由等腰三角形的性質(zhì)得出，證出，再由已知得出，即可證出是的切線；
（2）連接、，由圓周角定理得出，即，，由等腰三角形的性質(zhì)得出，證出是等邊三角形，得出，證出，由平行線得出，證出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出的長；
（3）由等腰三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理求出，由三角函數(shù)求出，得出，再由勾股定理求出，由平行線得出，得出對應(yīng)邊成比例求出，在中，由三角函數(shù)定義即可得出答案．
【解答】（1）證明：連接，如圖1所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切線；
（2）解：連接、，如圖2所示：
是的直徑，
，
即，，
，，
，是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，，
，
，
，
，
，即，
解得：，
在中，，
．
【點評】此題是圓的綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度．
22．（10分）如圖，直線與函數(shù)的圖象相交于點，與軸交于點．
（1）求的值及直線的解析式；
（2）直線在直線的上方，滿足，求直線的解析式；
（3）若是線段上一點將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點恰好落在函數(shù)的圖象上，求點的坐標．
【分析】（1）將代入反比例函數(shù)解析式即可求出，再根據(jù)、兩點坐標即可求出直線的解析式；
（2）根據(jù)，構(gòu)造三角形全等，在上找到令一點的坐標即可求出直線的解析式；
（3）根據(jù)題意數(shù)形結(jié)合，利用三角形全等表示出和的坐標再代入反比例函數(shù)解析式中即可求出點坐標．
【解答】解：（1）將點代入函數(shù)中得：
，
設(shè)直線的解析式為，經(jīng)過，兩點，將其代入得：
，
解得：，
直線的解析式為：；
（2）在上截取，使得，則：
在和中，
，
，
，
在中，令，則，
設(shè)，
，，
，
解得：或（舍去），
點坐標為，
設(shè)直線的解析式為：，經(jīng)過點，點，將其代入得：
，
解得：，
直線的解析式：，
解法二：直線的解析式為：；
，
，
，，
，
坐標為，
接下來同上．
（3）設(shè)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則，過點作軸交于點，過點作軸交于點，
，，
在△和中，
，
△，
，，
設(shè)，則：，，
點在第二象限，
且在上，
，
解得：，，
經(jīng)檢驗符合題意，
坐標為或．
【點評】本題考查反比例函數(shù)的綜合性質(zhì)，熟練反比例函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造全等三角形將點的坐標進行轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．
23．（12分）和均為等邊三角形，點、分別從點，同時出發(fā)，以相同的速度沿、運動，運動到點、停止．
（1）如圖1，當(dāng)點、分別與點、重合時，請判斷：線段、的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
（2）如圖2，當(dāng)點、不與點，重合時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）當(dāng)點運動到什么位置時，四邊形的面積是面積的一半，請直接寫出答案；此時，四邊形是哪種特殊四邊形？請在備用圖中畫出圖形并給予證明．
【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)解決問題即可；
（2）證明，推出，，再證明是等邊三角形，可得結(jié)論；
（3）當(dāng)點是的中點時，四邊形的面積是的面積的一半．利用相似三角形的性質(zhì)，等高模型解決問題．
【解答】解：（1），都是等邊三角形，
，，
，
故答案為：，；
（2）結(jié)論成立．
理由：如圖2中，連接．
，都是等邊三角形，
，，，
，
，
，，
，，
，
是等邊三角形，
，
；
證法二：先證，得到，
再證明，
即可得四邊形是平行四邊形，
即可得出結(jié)論平行且相等．
（3）當(dāng)點是的中點時，四邊形的面積是的面積的一半．此時四邊形是菱形．
理由：如圖3中，連接．
由（2）可知，是等邊三角形，，
，
，
，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
．
連接．，，
是等邊三角形，
是等邊三角形，
四邊形是菱形．
【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
24．（12分）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過，兩點，交軸負半軸于點，為拋物線上一動點，點的橫坐標為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若，當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？
（3）若，設(shè)直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；
（3）根據(jù)，分在內(nèi)部與外部兩種情況討論，從而利用一次函數(shù)圖象上點的特征計算求解．
【解答】解：（1）在直線中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
點，點，
設(shè)拋物線的解析式為，
把點，點代入可得：
，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）由題意，，
，
當(dāng)四邊形是平行四邊形時，，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
把代入可得，
解得：，
直線的解析式為，
又過點作軸的平行線交拋物線于另一點，且拋物線對稱軸為，
，
，
解得 （不合題意，舍去），；
當(dāng)為時，四邊形是平行四邊形；
（3）存在，理由如下：
對稱軸為，
設(shè)點坐標為，
點橫坐標為：，
，，
①如圖1，
，即是的中點，點在對稱軸上，
，，
又點在直線，代入得：
，
解得：或（舍去），
故此時的值為．
②如圖2，設(shè)點坐標為，，，
，
①，
②，
聯(lián)立①②并解得：（舍去）或，
綜上所述，的值為或．
【點評】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想和 方程思想解題是關(guān)鍵．
0
1
2
3
6
3
0
0
作業(yè)時長（單位：分鐘）
50
60
70
80
90
人數(shù)（單位：人）
1
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成績分
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頻率
78
0.05
83
88
0.375
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