甘肅省武威市涼州區(qū)涼州區(qū)高壩中學聯(lián)片教研2023-2024學年八年級下學期4月期中數(shù)學試題（含解析）

這是一份甘肅省武威市涼州區(qū)涼州區(qū)高壩中學聯(lián)片教研2023-2024學年八年級下學期4月期中數(shù)學試題（含解析），共26頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，計算題，作圖題，解答題等內容，歡迎下載使用。
一、選擇題(共30分)
1．下列計算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，已知四邊形中，，，，，，則這個圖形的面積為（ ）
A．48B．54C．24D．60
4．下列四組數(shù)中，勾股數(shù)是（ ）
A．2，3，5B．6，8，10C．0.3，0.4，0.5D．，，3
5．如圖①，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖②的新的圖案，如果圖①中的直角三角形的長直角邊為，短直角邊為，則圖中的陰影部分的周長為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，在中，D為斜邊的中點，E為上一點，F(xiàn)為中點．若，，則的長為（ ）
A．B．3C．D．4
7．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是的中點，則下列結論一定正確的是（ ）
A．四邊形是矩形
B．四邊形的內角和小于四邊形的內角和
C．四邊形的周長等于四邊形的對角線長度之和
D．四邊形的面積等于四邊形的面積的
8．如圖，中，對角線，相交于點，點是的中點，若，則的長為（ ）

A．3B．12C．8D．10
9．如圖所示，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（ ）
A．4B．6C．16D．55
10．在周長為的正方形中，點是邊的中點，點為對角線上的一個動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題(共24分)
11．計算的結果是 ．
12．若二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則的取值范圍是 ．
13． 計算結果是 ．
14．如圖，一座水庫大壩的橫斷面為梯形，斜坡，現(xiàn)將坡度為的斜坡改為坡度為的斜坡．則新坡面 ．（結果保留根號）

15． 如圖，在中，，點、為邊上點，連接、，將邊沿翻折，使點的對稱點在邊上的點處；再將邊沿翻折，使點的對稱點落在的延長線上的點處．若，5，則的長為 ．
16．如圖，中，，將折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段BN的長為 ．
17．如圖，在平行四邊形中，，的平分線交于點E，交的延長線于點F，則 cm．
18．如圖，在平行四邊形中，對角線，交于點，點為的中點，點，為上的點，且，連接，．若的面積為60，則圖中陰影部分面積是 ．
三、計算題(共8分)
19．計算
(1)
(2)
四、作圖題(共4分)
20．如圖，圖1、圖2是兩張大小完全相同的6×6方格紙，每個小方格的頂點叫做格點，以格點為頂點的多邊形叫做格點多邊形．網格中有一個邊長為2的格點正方形，按下列要求畫出拼圖后的格點平行四邊形（用陰影表示）
（1）把圖1中的格點正方形分割成兩部分，再通過圖形變換拼成一個平行四邊形，在圖1中畫出這個格點平行四邊形；
（2）把圖2中的格點正方形分割成三部分，再通過圖形變換拼成一個平行四邊形，在圖2中畫出這個格點平行四邊形．
五、解答題(共54分)
21．已知是整數(shù)，求自然數(shù)n的值．
22．挖掘問題中的隱含條件，解答下列問題：
(1)已知，求的值；
(2)已知a，b是實數(shù)，且，化簡．
23．木工師傅為了讓直尺經久耐用，常常在直尺的直角頂點與斜邊之間加一根小木條，如左圖所示，右圖為其示意圖．若，線段的長為15cm，線段的長為20cm，試求出小木條的最短長度．
24．如圖在四邊形中，為對角線，，，，．
(1)求四邊形的周長；
(2)求四邊形的面積．
25．如圖，平行四邊形的對角線相交于點O，E，F(xiàn)分別是的中點．求證：．
26．如圖，點E，F(xiàn)在平行四邊形的對角線上，，求證：四邊形為平行四邊形．

27．如圖所示,在正方形ABCD中,點M是對角線BD上的一點,過點M作ME∥CD交BC于點E,作MF∥BC交CD于點F.求證AM＝EF.
28．如圖①正方形中，點E是對角線上任意一點，連接．
(1)求證：；
(2)當時，求的度數(shù)；
(3)如圖②，過點E作交于點F，當時，若．求的長．
參考答案與解析
1．C
【分析】本題主要考查了二次根式的運算，利用算術平方根的定義對A和C進行判斷，利用二次根式的加法對B進行判斷，利用二次根式的除法對D進行判斷．
【解答】解：A. ，故選項錯誤，不符合題意；
B. ，故選項錯誤，不符合題意；
C. ，故選項正確，符合題意；
D. ，故選項錯誤，不符合題意；
故選：C．
2．B
【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．
【解答】解：A選項，原式，故該選項不符合題意；
B選項，是最簡二次根式，故該選項符合題意；
C選項，原式，故該選項不符合題意；
D選項，原式，故該選項不符合題意；
故選：B．
【點撥】本題考查了最簡二次根式，解題的關鍵是掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關鍵．
3．C
【分析】本題考查了勾股定理以及勾股定理逆定理、三角形面積公式，連接，由勾股定理得，由勾股定理逆定理得出為直角三角形，再根據(jù)這個圖形的面積，計算即可．
【解答】解：如圖，連接，
，，，，
，
，，，
，
為直角三角形，
這個圖形的面積，
故選：C．
4．B
【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)是滿足勾股定理的一組正整數(shù)，據(jù)此逐項分析即可作答．
【解答】解：A、，故該選項是錯誤的；
B、，故該選項是正確的；
C、，，不是正整數(shù)，故該選項是錯誤的；
D、，不是正整數(shù)，故該選項是錯誤的；
故選：B．
5．B
【分析】本題考查勾股定理的知識，解題的關鍵是根據(jù)線段之間的關系，求出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)圖中的陰影部分的周長為，即可．
【解答】∵直角三角形的長直角邊為，短直角邊為，
∴，，
∴，
∴，
∴圖中的陰影部分的周長為，
故選：B．
6．D
【分析】根據(jù)三角形中位線可以求得AE的長，再根據(jù)AE＝AD，可以得到AD的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關系，可以求得BD的長．
【解答】解：∵D為斜邊AC的中點，F(xiàn)為CE中點，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故選：D．
【點撥】本題考查直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關系、三角形的中位線，解答本題的關鍵是求出AD的長．
7．C
【分析】本題考查中點四邊形，連接，根據(jù)三角形中位線的性質得到，，，繼而逐項分析判斷即可求解．
【解答】解：連接，設交于點，
點，，，分別是，，，邊上的中點，
，，
A． 四邊形是平行四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
B． 四邊形的內角和等于于四邊形的內角和，都為360度，故該選項不正確，不符合題意；
C． 四邊形的周長等于四邊形的對角線長度之和，故該選項正確，符合題意；
D． 四邊形的面積等于四邊形面積的，故該選項不正確，不符合題意；
故選C
8．A
【分析】先證明是的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求解．
【解答】解：∵的對角線、相交于點，
∴，
∵點是的中點，
∴，
∴是的中位線，
∵，
∴．
故選：A．
【點晴】本題考查了平行四邊形的性質：對角線互相平分這一性質和三角形的中位線定理．
9．C
【分析】運用正方形邊長相等，結合全等三角形和勾股定理來求解即可．
【解答】解：如圖：
a，b，c都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，，
在中，由勾股定理得，
．
故選：C．
【點撥】此題主要考查對全等三角形和勾股定理的綜合運用，結合圖形求解，對圖形的理解能力要比較強，解題的關鍵是靈活運用正方形邊長相等，結合全等三角形和勾股定理來求解．
10．C
【分析】由于點B與點D關于AC對稱，所以連接DE，交AC于點P，此時BP＋PE最小為線段DE的長，在Rt△DAE中，由勾股定理先計算出DE的長度即可．
【解答】連接DE，與AC的交點為P，此時BP＋PE最小，
∵四邊形ABCD是正方形，且周長為8，
∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2，
∴點B與點D關于AC對稱，
∴BP＝DP，
∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE，
∵E是AB的中點，
∴AE＝AB＝1，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，
∴DE＝＝，
故選C．
【點撥】此題考查軸對稱問題，根據(jù)兩點之間線段最短，確定點P的位置是解題關鍵．
11．
【分析】根據(jù)二次根式的性質和乘法法則化簡即可．
【解答】解：，
故答案為：．
【點撥】本題考查了二次根式的性質，解題的關鍵是靈活運用運算法則．
12．
【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件．根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù)求解即可．
【解答】解：由題意知，
解得，
故答案為：．
13．
【分析】本題考查了二次根式的減法，掌握二次根式的加減法運算法則是解題關鍵，先將二次根式化簡為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可．
【解答】解：，
故答案為：．
14．
【分析】本題考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題．根據(jù)的坡度為，，可得的長，再根據(jù)改為坡度為可以求出的長，根據(jù)勾股定理即可求出新坡面．
【解答】解：的坡度為，，
，
，
，
斜坡改為坡度為的斜坡，
，
，
．
新坡面為．
故答案為：．
15．##0.6
【分析】本題考查了翻折的性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理的應用，解題關鍵是理清折疊前后對應的線段和角相等，等面積法的應用．先利用勾股定理求出的值，再根據(jù)翻折的性質得，，，，由等腰三角形的性質，易得，，進而由等腰三角形判定得，再利用等面積法得，即可求出的值，然后在中，利用勾股定理求出的值，最后根據(jù)，即可得出答案．
【解答】解：，，5，
，
由翻折得，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案為：．
16．4
【分析】設，則由折疊的性質可得，根據(jù)中點的定義可得，在中，根據(jù)勾股定理可得關于的方程，解方程即可求解．
【解答】解：設，由折疊的性質可得，
是的中點，
，
在中，，
解得．
故線段的長為4．
故答案為：4．
【點撥】此題考查了翻折變換（折疊問題），折疊的性質，勾股定理，中點的定義以及方程思想，綜合運用以上知識是解題的關鍵．
17．3
【分析】先證明，再結合平行四邊形的性質，計算即可．
【解答】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：3．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，角的平分線的意義，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．
18．15
【分析】連接，設與交于點，證明，可得，然后根據(jù)平行四邊形的性質分析，利用三角形的面積公式解答即可．
【解答】解：如圖，連接，設與交于點，
四邊形是平行四邊形，
點為的中點，，
點為的中點，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
點為的中點，
，
，
，
陰影部分面積．
故答案為：15．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定及性質，三角形的面積公式，解題的關鍵是證明．
19．(1)
(2)
【分析】本題考查二次根式化簡,完全平方公式應用．
（1）根據(jù)題意先去括號,再將每個二次根式化簡進行運算即可;
（2）根據(jù)題意先利用完全平方公式對進行運算,再對進行有理化,先算乘法再算加減即可得到本題答案．
【解答】（1）解:,
,
,
,
,
故答案為:．
（2）解:,
,
,
,
,
故答案為:．
20．（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）B、C、D保持不動，延長CD邊的對邊，使AB=CD，則四邊形ABCD是格點平行四邊形；
（2）把正方形的一邊作為平行四邊形的對角線，這邊的對邊中點作為平行四邊形的一個頂點，然后根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形作圖即可.
【解答】（1）解：如圖1中，平行四邊形ABCD即為所求（答案不唯一）
（2）解：如圖2中平行四邊形ABCD即為所求（ 答案不唯一 ）
【點撥】本題考查作圖，解題關鍵在于熟悉所做圖形的基本性質與判定.
21．10，9，6，1
【分析】本題考查二次根式的性質，利用二次根式的性質、化簡法則及自然數(shù)指大于等于0的整數(shù)，分析求解．
【解答】由題意得，
又n為自然數(shù)，
∴，
∵是整數(shù) ，
∴，，，，
∴自然數(shù)n所有可能的值為10，9，6，1．
22．(1)
(2)
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件及利用二次根式的性質化簡，解題關鍵是掌握二次根式有意義的條件，挖掘出隱含條件．
（1）由根號內的數(shù)據(jù)大于等于0，得，解得，再根據(jù)，去根號，化簡求解即可；
（2）由根號內的數(shù)據(jù)大于等于0，得，且，解得，將的值代入式子，得的取值范圍，再對進行去根號，化簡即可．
【解答】（1）解：由題意，得
，
，
，
解得．
（2）解：由題意，得 ，且，
且，
，
，，
，，
．
23．12cm
【分析】根據(jù)垂線段最短，所以當時，最短，利用勾股定理和等積法進行求解即可．
【解答】解：∵，
∴是直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
要使得小木條AD最短，則此時，
，
即，
∴．
【點撥】本題考查勾股定理．熟練掌握垂線段最短，是解題的關鍵．
24．(1)
(2)4
【分析】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．
（1）先根據(jù)勾股定理求出的值，再求出的長，即可計算出周長；
（2）根據(jù)即可得出結論．
【解答】（1），，，，
在中
根據(jù)勾股定理得：
，
在中
，
四邊形的周長為．
（2），
和為直角三角形，
，
，
∴．
25．見解析
【分析】利用證明，即可證明．
【解答】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
∵E，F(xiàn)分別是的中點，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解決問題的關鍵．
26．見解析
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，靈活地選擇方法是解決問題的關鍵．連接，交于點O，由“平行四邊形的對角線互相平分”得到，；然后結合已知條件證得，進而可得出結論．
【解答】證明：連接，交于點O，如圖所示：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
27．證明見解析
【解答】試題分析：過M點作MQ⊥AD，垂足為Q，作MP⊥AB，垂足為P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形MFDQ和四邊形PBEM是正方形，四邊形APMQ是矩形，
∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，
∵在△APM和△FME中，
，
∴△APM≌△FME（SAS），
∴AM=EF．
考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；矩形的判定與性質．
28．(1)見解答
(2)
(3)
【分析】（1）證明即可求證；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和即可求得；
（3）過點作，證明，在四邊形中求出，證明是等邊三角形，即可求出的長．
【解答】（1）證明：在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴；
（3）過點作，
在和中，
，
∴，
∴，
在四邊形中
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等邊三角形，
設，
則，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
解得，
∴．
【點撥】此題考查了正方形的性質、三角形全等、勾股定理，解題的關鍵是綜合運用正方形的性質、三角形全等、勾股定理的知識點．