1.已知集合A={?1,1}，B={(x,y)|x∈A，y∈A}，則A∩B=( )
A. AB. BC. ?D. R
2.已知復(fù)數(shù)z=1+i，則z?z?=( )
A. 2B. 2C. ?2D. ? 2
3.在△ABC中，“sinA=csB”是“C=π2”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4.若sin(α+β)=1，則sin2α=( )
A. sin2βB. cs2βC. ?sin2βD. ?cs2β
5.已知數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=2?4an，則{an}的前2024項(xiàng)的和為( )
A. 2024B. 2025C. 2026D. 2027
6.若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+9y2=1，則x+3y的最小值為( )
A. 1B. ?1C. 2D. ? 2
7.人臉識(shí)別就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義余弦相似度為cs(A,B)=cs，余弦距離為1?cs(A,B).已知A(csα,sinα)，B( 3,?1)，若A，B的余弦距離為13，則cs(2α+π3)=( )
A. ?79B. ?19C. 19D. 79
8.已知點(diǎn)O為△ABC的外心，且向量AO=λAB+(1?λ)AC，λ∈R，若向量BA在向量BC上的投影向量為15BC，則csB的值為( )
A. 32B. 55C. 2 55D. 12
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a4=4，a6=16，則( )
A. 數(shù)列{anan+1}的首項(xiàng)為12B. 數(shù)列{anan+1}是公比為2的等比數(shù)列
C. 數(shù)列{anan+1}是公比為4的等比數(shù)列D. 數(shù)列{anan+1}的前n項(xiàng)和為16(4n?1)
10.下列向量運(yùn)算，一定正確的有( )
A. (a+b)?(a?b)=a2?b2B. |a+b|2=a2+2a?b+b2
C. |a+b||a?b|=|a2?b2|D. |a+b|3=(a+b)3
11.已知函數(shù)f(x)=ex+e?x2，函數(shù)g(x)=ex?e?x2，x∈R，則( )
A. 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f2(x)?g2(x)=1
B. 存在實(shí)數(shù)x，使得f(x)>2g(x)
C. 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，g(x+y)g(x?y)=g2(x)+g2(y)
D. 若直線y=t與函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象共有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，則x1+x2+x3>ln(1+ 2)
三、填空題：本題共3小題，共13分。
12.函數(shù)y=ln(?x2+2x)的定義域?yàn)開(kāi)_____．
13.已知點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，若AB=8，AC=4，則DA?DB的值為_(kāi)_____．
14.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a4=6，S5=20，設(shè)bn=sin2csancsan+1，則a5= ______，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_____(用n表示)．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
設(shè)函數(shù)f(x)=(ex+ke?x)sinx，x∈R．
(1)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)當(dāng)k=0且x∈[?2π,2π]時(shí)，解不等式f(x)+f(?x)>0．
16.(本小題15分)
設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+csx，x∈R，△ABC的內(nèi)角A滿足f(A)= 2．
(1)求A的值；
(2)若AB?BC=?12BC2，且邊BC的長(zhǎng)為1，求△ABC的面積．
17.(本小題15分)
在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC=π3，點(diǎn)D在邊BC上，AD為∠BAC的平分線．
(1)求AD的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)，且△PCD為等腰三角形，求tan∠ABP的值．
18.(本小題17分)
已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(an+1)2=4Sn，n∈N?．
(1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求出它的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{an+λ}的前n項(xiàng)和為Tn，Tn≤2n?2+(n?1)2恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最大值；
(3)已知數(shù)列{bn}滿足b1=b2=1，bnbn+1bn+2=2an，求{bn}的前n項(xiàng)和Pn．
19.(本小題17分)
設(shè)函數(shù)f(x)=xex，x∈R．
(1)求f(x)的極值；
(2)已知實(shí)數(shù)a>0，若存在正實(shí)數(shù)x使不等式a?3axln3?f(lnx)x≤0成立，求a的取值范圍；
(3)已知不等式f(m)?f(n)>k(m?n)2對(duì)滿足m>n>0的一切實(shí)數(shù)m，n恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
參考答案
1.C
2.B
3.B
4.A
5.D
6.D
7.B
8.B
9.ACD
10.AB
11.ABD
12.(0,2)
13.?12
14.8 tan2n
15.解：(1)由于f(x)為偶函數(shù)，故f(?x)=f(x)恒成立，
故f(?x)=(e?x+kex)sin(?x)=?(e?x+kex)sinx=f(x)，
因此(ex+ke?x+e?x+kex)sinx=0對(duì)任意的x∈R恒成立，
故(k+1)(ex+e?x)=0恒成立，故k=?1；
(2)當(dāng)k=0時(shí)，f(x)=exsinx，
則f(x)+f(?x)=exsinx+e?xsin(?x)=(ex?e?x)sinx>0，
當(dāng)x∈(0,π)時(shí)，sinx>0，則(ex?e?x)sinx>0?ex?e?x>0?x>0，故此時(shí)不等式的解為(0,π)，
當(dāng)x∈(π,2π)時(shí)，sinx0?ex?e?x0，故此時(shí)不等式的解為?，
綜上可知：不等式的解為(?π,0)∪(0,π)．
16.解：(1)由題意得f(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
因?yàn)閒(A)= 2，所以 2sin(A+π4)= 2，
即sin(A+π4)=1，
因?yàn)锳∈(0,π)，所以A+π4∈(π4,5π4)，
所以A+π4=π2，則A=π4；
(2)在△ABC中，設(shè)A、B、C的對(duì)邊為a、b、c，
由AB?BC=?12BC2，則AB?AC?AB2=?12BC2，
得|AB|?|AC|csA?|AB|2=?12|BC|2，
又BC=1，即|BC|=1，由(1)知A=π4，
則c?b? 22?c2=?12，
又由余弦定理得b2+c2?2bc? 22=1，
解得b2=c2=2+ 22，
所以S△ABC=12b2? 22= 2+14．
17.解：(1)因?yàn)锳D為∠BAC的平分線，所以∠BAD=∠CAD=30°，
因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△ACD，
所以12AB?AC?sin∠BAC=12AD?AC?sin∠CAD+12AB?AD?sin∠BAD，
所以12×6×3× 32=12?AD?3×12+12×6?AD?12，
即9 3=92AD，可得：AD=2 3；
(2)由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2?2AB?AC?cs60°，
所以BC2=36+9?2×6×3×12=27，所以BC=3 3，
由角平分線定理可得：ABAC=BDDC=63=2，
又因?yàn)锽C=3 3，所以BD=2 3,DC= 3，
又因?yàn)锳C=3，AD=2 3，
所以DC2+AC2=AD2，所以∠C=π2,∠ADC=π3，
又因?yàn)椤鱌CD為等腰三角形，∠ADC=π3，
所以△PCD為等邊三角形，所以PD= 3，
則P為AD的中點(diǎn)，在△BDP中，
由余弦定理可得BP2=BD2+PD2?2BD?PD?cs120°=15+6=21，
所以BP= 21，故在△ABP中，
由余弦定理可得cs∠ABP=BP2+AB2?AP22AB?BP=21+36?32× 21×6=9 2142，
因?yàn)椤螦BP∈(0,π2)，所以sin∠ABP= 714，
所以tan∠ABP= 39．
18.解：(1)證明：由(an+1)2=4Sn，n∈N?，
可得n=1時(shí)，(a1+1)2=4S1=4a1，所以a1=1，
由(an+1)2=4Sn可得(an+1+1)2=4Sn+1，
相減可得(an+1+1)2?(an+1)2=4Sn+1?4Sn=4an+1，
因此an+12?an2=2(an+1+an)?(an+1+an)(an+1?an?2)=0，
由于{an}為正項(xiàng)數(shù)列，所以an+1+an>0，an+1?an=2，
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的為等差數(shù)列，
故an=2n?1；
(2)an+λ=2n?1+λ，由等差數(shù)列的求和公式，可得Tn=(1+2n?1)n2+λn=n2+λn，
由Tn≤2n?2+(n?1)2可得n2+λn≤2n?2+(n?1)2，化簡(jiǎn)可得λn≤2n?2?2n+1，
因此λ≤2n?2?2n+1n，
記cn=2n?2?2n+1n，則cn+1?cn=2n?1?2(n+1)+1n+1?2n?2?2n+1n=n2n?1?2n(n+1)+n?(n+1)(2n?2?2n+1)n(n+1)
=(n?1)2n?2?1n(n+1)，
當(dāng)n=1時(shí)，c2?c1=?121e，
即x≥3ax>1，
此時(shí)0e．
則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(?∞,e]．

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