一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.滿足條件{1,2}?A?{1,2,3,4}的集合A的個(gè)數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.在四面體OABC中，OA+AB+BC?AC=( )
A. OCB. OAC. ABD. AC
3.已知向量a=(csθ,13)，b=( 7,tanθ)，且a//b，則cs2θ=( )
A. ?59B. 59C. ? 73D. 73
4.棣莫佛定理：若復(fù)數(shù)z=r(csθ+isinθ)，則zn=rn(csnθ+isinnθ)，計(jì)算(12+ 32i)3=( )
A. ?1B. ?12+ 32iC. ?12? 32iD. 12? 32i
5.已知a=(12)12，b=(13)13，c=(12)13，d=(13)12，則( )
A. a>b>c>dB. c>a>b>dC. a>c>b>dD. c>a>d>b
6.已知平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1,2)，且法向量為(?2,1,?1)，P(x,y,z)是平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則( )
A. x+y?z=0B. x+y?z=?1C. 2x?y+z=0D. 2x?y+z=1
7.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如不計(jì)容器的厚度，則球的表面積為( )
A. 100π
B. 500π3
C. 50π
D. 200π
8.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積S=a24，則b2+c2bc的取值范圍是( )
A. [2, 5]B. [2, 6]C. [2,2 2]D. [2,3]
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知空間中三點(diǎn)A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(?1,3,1)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. |AC|= 6
B. AB與BC是共線向量
C. AB和AC夾角的余弦值是1
D. 與BC同向的單位向量是(?3 1111, 1111, 1111)
10.若圓x2+y2?2x?6y+a=0(a∈R)上至多存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到直線3x+4y+5=0的距離為2，則實(shí)數(shù)a可能為( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
11.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)f(x)=1,x∈Q,0,x∈?RQ,被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集，以下命題正確的是( )
A. 對(duì)于任意的x∈R，都有f(f(x))=1
B. 函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)的值域是[0,1]
C. 若T≠0且T為有理數(shù)，則f(x+T)=f(x)對(duì)任意的x∈R恒成立
D. 在f(x)圖象上存在不同的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，使得△ABC為等邊三角形
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為16，則數(shù)據(jù)2x1?1，2x2?1，…，2x10?1的標(biāo)準(zhǔn)差為______．
13.若a,b,c為空間兩兩夾角都是120°的三個(gè)單位向量，則|a+2b?3c|= ______．
14.直線(m+2)x+(m?1)y?5m?1=0與圓x2+y2=16交于A，B兩點(diǎn)，則OA?OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA?sinBc?b=sin(A+B)a+b．
(1)求角A；
(2)求sinB+sinC的取值范圍．
16.(本小題15分)
某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，假設(shè)撥過(guò)了的號(hào)碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率：
(1)第1次撥號(hào)接通電話；
(2)第3次撥號(hào)才接通電話；
(3)撥號(hào)不超過(guò)3次而接通電話．
17.(本小題15分)
2015年7月16日，電影《捉妖記》上映，上映至今全國(guó)累計(jì)票房已超過(guò)20億，某影院為了解觀看此部電影的觀眾年齡的情況，在某場(chǎng)次的100名觀眾中隨機(jī)調(diào)查了20名觀眾，已知抽到的觀眾年齡可分成5組：[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)根據(jù)已知條件，補(bǔ)充畫完整頻率分布直方圖，并估計(jì)該電影院觀看此部電影的觀眾年齡的平均數(shù)；
(2)現(xiàn)在從年齡屬于[25,30)和[40,45)的兩組中隨機(jī)抽取2人，求他們屬于同一年齡組的概率．
18.(本小題17分)
已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,?1)和B(2,6)且圓心C在直線x+y?1=0上．
(Ⅰ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M(4,1)作圓的切線，求切線方程；
(Ⅲ)求直線上y=2x?1被圓C所截得的弦長(zhǎng)|MN|．
19.(本小題17分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC，AD⊥平面PAB，PA=PB=AB=AD，E為PB的中點(diǎn)，AE//平面PCD．
(1)求證：平面PCD⊥平面PBC；
(2)求平面PCD與平面PAB所成的角的正弦值．
參考答案
1.C
2.B
3.A
4.A
5.B
6.D
7.A
8.C
9.AD
10.BC
11.ACD
12.8
13. 21
14.[?16,10]
15.解：(1)由題意，sinA?sinBc?b=sin(A+B)a+b=sinCa+b，
由正弦定理得：a?bc?b=ca+b，
即b2+c2?a2=bc，
所以csA=b2+c2?a22bc=12，
又A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)由A=π3，可得C=2π3?B，
所以sinB+sinC=sinB+sin(2π3?B)=32sinB+ 32csB= 3sin(B+π6)，
因?yàn)?

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