數(shù)學(xué)
命題：華中師范大學(xué)考試研究院
本試題卷共4頁，共19題。滿分150分，考試用時(shí)120分鐘
★?？荚図樌?br>注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卷指定位置，認(rèn)真核對(duì)與準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的信息是否一致，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卷上的指定位置。
2.選擇題的作答：選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答在試題卷上無效。
3.非選擇題的作答：用黑色墨水的簽字筆直接答在答題卷上的每題所對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答在試題卷上或答題卷指定區(qū)域外無效。
4.考試結(jié)束，監(jiān)考人員將答題卷收回，考生自己保管好試題卷，評(píng)講時(shí)帶來。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A.1B.3C.7D.15
2.已知（其中為虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則在復(fù)平面內(nèi)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3.已知向量，，若，則（ ）
A.2B.3C.D.
4.小明新買的儲(chǔ)蓄罐有5位密碼，他決定在“斐波那契數(shù)列”的前6項(xiàng)中隨機(jī)抽取5個(gè)數(shù)字設(shè)置為儲(chǔ)蓄罐的密碼，且密碼的第3位是偶數(shù)，已知“斐波那契數(shù)列”的前6項(xiàng)依次為“1、1、2、3、5、8”，則可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為（ ）
A.144B.120C.84D.116
5.已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，第一象限的點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，若，且點(diǎn)在直線上，則直線的傾斜角為（ ）
A.B.C.D.
6.已知在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值可能為（ ）
A.B.1C.3D.5
7.若函數(shù)，則的解集為（ ）
A.B.C.D.
8.已知正方體的表面積與體積之比為6，若，，則四面體的體積的最大值為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分.部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9.下列四棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，，，，，是四棱錐的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則直線不與平面垂直的是（ ）
A.B.
C.D.
10.已知函數(shù)的圖象與直線連續(xù)的三個(gè)公共點(diǎn)從左到右依次記為，，，若，則（ ）
A.的最小正周期為
B.
C.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，則在上的值域?yàn)?br>D.若函數(shù)，則在上有6個(gè)零點(diǎn)
11.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，則（ ）
A.若，則
B.若過右焦點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為
C.若過右焦點(diǎn).且，，則橢圓的離心率為
D.若，，且橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分、共15分。
12.定義：已知平面向量，表示夾角為的兩個(gè)單位向量，為平面上的一個(gè)定點(diǎn)，為平面上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，定義為點(diǎn)的斜坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)的斜坐標(biāo)為，則______.
13.將一組嵌套模型一一拆分之后所得的圖形如下所示，若圖中每個(gè)小正方體的外接球的表面積為，則以此類推，第10個(gè)圖形的體積為______.
14.某站臺(tái)經(jīng)過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，二號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站或者二號(hào)列車不準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，記“一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站且二號(hào)列車不準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，“一號(hào)列車不準(zhǔn)點(diǎn)到站且二號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，則______.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）
已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，在雙曲線上.
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知不與軸垂直且過的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，，且，求證：.
16.（15分）
某公司有意在小明、小紅、小強(qiáng)、小真這4人中隨機(jī)選取2人參加面試.面試分為初試和復(fù)試且采用積分制，其中小明和小紅通過初試的概率均為，小強(qiáng)和小真通過初試的概率均為，小明和小紅通過復(fù)試的概率均為，小強(qiáng)和小真通過復(fù)試的概率均為，通過初試考核記6分，通過復(fù)試考核記4分，本次面試滿分為10分，且初試未通過者不能參加復(fù)試.
（1）若從這4人中隨機(jī)選取2人參加面試，求這兩人本次面試的得分之和不低于16分的概率；
（2）若小明和小紅兩人一起參加本次公司的面試，記他們本次面試的得分之和為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
17.（15分）
已知圓柱如圖所示，其中正方形為軸截面，點(diǎn)，為圓上異于，且同側(cè)的點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）若平面與平面夾角的正切值為，求的值.
18.（17分）
已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，且.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若為的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若為銳角，比較和的大小關(guān)系，并說明理由.
19.（17分）已知有序數(shù)組，，分別為：，：，：，若它們之間滿足：①；②；則稱為的雙覆蓋數(shù)組.為的單覆蓋數(shù)組.
（1）有序數(shù)組，分別為：8，5，4，，：，，，2，若為的雙覆蓋數(shù)組，求，，，的值.
（2）已知為的單覆蓋數(shù)組，其中又可記為.
（i）判斷滿足條件的的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)還是偶數(shù)個(gè)，并給出說明過程.
（ii）判斷是否能成為的單覆蓋數(shù)組.若是，寫出所有滿足條件的雙覆蓋數(shù)組；若不是，說明理由.
機(jī)密★啟用前（新高考卷）
華大新高考聯(lián)盟2025屆高三11月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)
數(shù)學(xué)參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題
1.【答案】B
【命題立意】本題考查集合的運(yùn)算、集合間的關(guān)系、不等式的解法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).
【解析】依題意，，故，則有3個(gè)真子集，故選B.
2.【答案】A
【命題立意】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
【解析】方法一 依題意，，
故解得
則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故選A.
方法二 易知方程的解為，則，即解得則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故選A.
3.【答案】D
【命題立意】本題考查平面向量的基本概念、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).
【解析】依題意，，故，解得，故，故選D.
4.【答案】B
【命題立意】本題考查排列組合，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
【解析】若選的數(shù)字只有一個(gè)1，此時(shí)有兩個(gè)偶數(shù)，則不同的排列方法有種；
若選的數(shù)字有兩個(gè)1，則不同的排列方法有種.
故共有種不同的設(shè)置方法，故選B.
5.【答案】C
【命題立意】本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的綜合性問題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
【解析】依題意，得，設(shè)，則，而，且，故，則，解得，故直線的傾斜角為，故選C.
6.【答案】B
【命題立意】本題考查余弦定理、三角形的面積公式、三角恒等變換，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
【解析】依題意，得，故，則，
因?yàn)闉殇J角，所以.
依題意，，而
故，故，
則，故選B.
7.【答案】A
【命題立意】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
【解析】依題意，，易知在上單調(diào)遞減，且，故的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，
則為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，
故
，故選A.
8.【答案】C
【命題立意】本題考查空間線面的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
【解析】依題意，，解得.如圖所示，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，且與交于點(diǎn)，設(shè)，，
則，，，
，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，故選C.
二、選擇題
9.【答案】BCD
【命題立意】本題考查空間線面的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
【解析】B中直線平面；C、D中與不垂直，故直線平面不成立.故選BCD.
10.【答案】ACD
【命題立意】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
【解析】依題意，，故A正確；
，故，，記，則，
故，則①.
而②，聯(lián)立①②可得，故B錯(cuò)誤；
，故當(dāng)時(shí)，，，
故，C正確；
，在直角坐標(biāo)系中分別作出，的圖象如圖所示，觀察可知，它們?cè)谏嫌?個(gè)交點(diǎn)，即在上有6個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選ACD.
11.【答案】ACD
【命題立意】本題考查橢圓的方程、橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓的綜合性問題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
【解析】若，則，故A正確；
設(shè)，則，，，
在中，，解得，
在中，，則，故B錯(cuò)誤；
設(shè)，則，又因?yàn)?，所以?br>由橢圓的定義知，得.
又，即點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，
故在中，，
在中，，
解得，故C正確；
設(shè)，，則，則，
因?yàn)辄c(diǎn)，，均在橢圓上，故，，，
因?yàn)?，故，故?br>聯(lián)立故，
顯然，，，
故，解得，故正確.
故選ACD.
三、填空題
12.【答案】.
【命題立意】本題考查向量的數(shù)量積及其應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
【解析】依題意，，則.
13.【答案】2648.
【命題立意】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
【解析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，則，解得.故第10個(gè)圖形的體積為2648.
14.【答案】.
【命題立意】本題考查概率的基本公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
【解析】記“一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，“二號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，則，，
，故，
則，則，
故，
而，即，故，
則.
四、解答題
15.【命題立意】本題考查雙曲線的方程、直線與雙曲線的綜合性問題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
【解析】（1）依題意，
解得，故雙曲線的方程為.
（2）依題意，得，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立整理得，
因此當(dāng)時(shí)，，，，
則，即
故直線：，
令，得，則，
故，
故.
16.【命題立意】本題考查相互獨(dú)立事件的概率、全概率公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
【解析】（1）記選出小明、小紅參加面試為事件，選出小明、小紅或小強(qiáng)、小真各一人參加面試為事件，選出小強(qiáng)、小真參加面試為事件，這兩人本次面試的得分之和不低于16分為事件，
則，，，
（2）的可能取值為0，6，10，12，16，20，
故，，
，，
，.
故的分布列為：
則.
17.【命題立意】本題考查空間線面的位置關(guān)系、向量法求空間角，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
【解析】（1）因?yàn)椋剩?br>而平面，平面，故平面.
取線段的中點(diǎn)，連接，，
則，，故，
故四邊形為平行四邊形，則.
而平面，平面，故平面.
而，平面，平面，
故平面平面.
（2）如圖，連接，因?yàn)槭菆A的直徑，所以，過點(diǎn)作圓柱的母線，則平面，所以，，互相垂直，以為原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，，，則，則，，，
所以，.
設(shè)為平面的法向量，
令，解得所以為平面的一個(gè)法向量.
易知為平面的一個(gè)法向量.
因?yàn)槠矫媾c平面夾角的正切值為，故夾角的余弦值為，
所以，化簡(jiǎn)得，
而，解得（舍去），則.
18.【命題立意】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
【解析】（1）依題意，有，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）依題意，，
當(dāng)時(shí)，易知，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，且，
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增，故無極值點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，且；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以，是的極大值點(diǎn)，符合題意.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（3）結(jié)論：.
要證，
即證，
即證，
即證，，
因?yàn)?，?br>即證當(dāng)時(shí)，.
即證當(dāng)時(shí)，.
令，由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，
故，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，故，即，
兩式相加可得，，
即.
19.【解析】（1）由，可得
則
（2）（i）依題意，設(shè)為的雙覆蓋數(shù)組，
構(gòu)造數(shù)組：；
記，
所以當(dāng)時(shí)，，，
且.
因?yàn)椋?br>所以也是的雙覆蓋數(shù)組，
一方面，因?yàn)?，?br>所以.
另一方面，假設(shè)，因?yàn)?，所以?br>所以，與矛盾，所以，
故滿足條件的的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè).
（ii）假設(shè)是的雙覆蓋數(shù)組.
由題意得，，
相加得，即，
當(dāng)時(shí)，，與矛盾，
故不能成為的單覆蓋數(shù)組.
當(dāng)時(shí)，能成為的單覆蓋數(shù)組.
當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，?br>所以有兩種可能：.
故有四種情況：，，，.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
D
B
C
B
A
C
BCD
ACD
ACD
0
6
10
12
16
20

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