一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3．若a和b是兩個(gè)互不相等的正實(shí)數(shù)，則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．已知，是兩個(gè)非零平面向量，，則在方向上的投影向量為( )
A.B.C.D.
5．在平面直角坐標(biāo)系中，將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則( )
A.B.C.D.
6．定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，若函數(shù)的最小值為，則( )
A.1B.3C.D.
7．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則( )
A.B.C.D.
8．函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，滿足，，則的最小值為( )
A.B.eC.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列函數(shù)最小值為4的是( )
A.B.
C.D.
10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.當(dāng)時(shí)，的最小正周期為
B.函數(shù)過(guò)定點(diǎn)
C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為
D.函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.的面積為
B.三棱錐體積的最大值為
C.若平面，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
D.當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，P到直線的距離為
三、填空題
12．函數(shù)，則________.
13．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，，，則________.
14．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)n，函數(shù)均存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且滿足，則________.
四、解答題
15．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。
16．如圖所示，C，D分別為半圓錐的底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，O為中點(diǎn)，E為母線的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若為等邊三角形，求平面與平面的夾角的余弦值.
17．函數(shù)，其中a為整數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的最大值.
18．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，.
（1）求a；
（2）求的面積；
（3）在所在的平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，求的最小值.
19．設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間D上的凹函數(shù)，區(qū)間D稱作函數(shù)的凹區(qū)間；反之，則稱為區(qū)間D上的凸函數(shù)，區(qū)間D稱作函數(shù)的凸區(qū)間.
（1）已知函數(shù)，求的凹、凸區(qū)間；
（2）如圖所示為某個(gè)凹函數(shù)的圖象，在圖象上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，，過(guò)線段的中點(diǎn)C作x軸的垂線，與函數(shù)圖象和x軸分別交于D，E兩點(diǎn)，則有.
①將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的不等式；
②證明：當(dāng)時(shí)，恒成立.
參考答案
1．答案：B
解析：易得，，則，所以，故選B.
2．答案：C
解析：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故選C.
3．答案：A
解析：若，易得，或者，，可推出，反之，若，無(wú)法推出，故選A.
4．答案：C
解析：因?yàn)?，所以，即，可得，則在方向上的投影向量為，故選C.
5．答案：B
解析：根據(jù)三角函數(shù)的定義，，即，解得，即，易得是第四象限角，，，解得，故選B.
6．答案：C
解析：，，解得，，，設(shè)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，解得或者（舍）.當(dāng)時(shí)，，解得（舍）.故選C.
7．答案：B
解析：易得，，
所以，
顯然當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，
因此
.故選B.
8．答案：D
解析：將條件變形為，構(gòu)造函數(shù)，
則，則，即，
所以，，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為.
故選D
9．答案：BCD
解析：A選項(xiàng)錯(cuò)誤，，當(dāng)時(shí)，最小值為2；
B選項(xiàng)正確，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；
C選項(xiàng)正確，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
D選項(xiàng)正確，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選BCD.
10．答案：BC
解析：A選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，最小正周期；
B選項(xiàng)正確，，與的取值無(wú)關(guān)；
C選項(xiàng)正確，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的函數(shù)解析式，
令，，解得，當(dāng)時(shí)，的最小正值為；
D選項(xiàng)錯(cuò)誤，令，即，解得或，，即或者，要使得在區(qū)間上恰好有5個(gè)零點(diǎn)，令，滿足，解得.故選BC.
11．答案：ACD
解析：A選項(xiàng)正確，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，；
B選項(xiàng)錯(cuò)誤，由三垂線定理易得，平面，要使得三棱錐體積達(dá)到最大值，只需點(diǎn)P與點(diǎn)B重合.
設(shè)與平面的交點(diǎn)為O，由等體積法得，，
而，所以，此時(shí)三棱錐的體積為；
C選項(xiàng)正確，點(diǎn)P在正三角形上，其軌跡長(zhǎng)度為；
D選項(xiàng)正確，以A為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，在上的投影長(zhǎng)度為，故P到的距離為.
故選ACD.
12．答案：1
解析：，，.
13．答案：2
解析：，
由正弦定理得，，解得，
由余弦定理得，，，
解得，（舍），所以.
14．答案：（或或）
解析：的定義域?yàn)?令，
即，
如圖所示，不妨設(shè)，
因?yàn)?，，所以?br>解得：，代入條件得：，
化簡(jiǎn)得：，
即，，
所以
.
15．答案：（1），；
（2）
解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由題意得：
，解得：，
通項(xiàng)公式，
前n項(xiàng)和；
（2），
①-②：
所以.
16．答案：（1）詳見(jiàn)解析；
（2）
解析：（1）設(shè)的中點(diǎn)為F，連接，，，，，
在中，為三角形的中位線，所以，，
因?yàn)镃，D分別為半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
為等邊三角形，，
所以，，
易得四邊形為平行四邊形，所以，
平面，平面，
所以平面；
（2）解法一：
過(guò)D作的垂線，則垂足M為的中點(diǎn)，過(guò)M作的垂線，設(shè)垂足為N，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面平面，，所以平面，，
又因?yàn)?，，所以平面，?br>則為平面與平面的夾角，
設(shè)底面半徑為R，則，
，，
在中，，即，
所以，即平面與平面的夾角的余弦值為.
解法二：
作的中點(diǎn)Q，連接，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面半圓的半徑為2，
則，，，，，，
由圖形可知平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，
所以是平面的一個(gè)法向量，
，
即平面與平面的夾角的余弦值為.
17．答案：（1）；
（2）2
解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線斜率，
由點(diǎn)斜式得，切線方程為，即；
（2）當(dāng)時(shí)，，則恒成立，
當(dāng)時(shí)，，，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，則，
問(wèn)題等價(jià)于恒成立，
設(shè)且，
，
當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，令，即，解得，
則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時(shí)，不符合題意，
綜上所述，整數(shù)a的最大值為2.
18．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1），
因?yàn)椋裕?br>由正弦定理得：，即，
所以；
（2）將余弦定理：代入得：
，
兩邊同時(shí)除以，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，
由余弦定理得：，
即，的面積；
（3）由（1）（2）可知，，，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)，，
則，，
，
，所以（為變量），
則，
所以的最小值為.
19．答案：（1）詳見(jiàn)解析；
（2）①；②詳見(jiàn)解析
解析：（1）易得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為；
（2）①對(duì)于凹函數(shù)定義域中的任意兩個(gè)自變量，，，，，，，
，，由，有；
②對(duì)不等式兩邊取對(duì)數(shù)，問(wèn)題等價(jià)于，恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，，
即恒成立，
，令，
，
令，即，解得，
所以是函數(shù)的凹區(qū)間，
，所以當(dāng)時(shí)，是凹函數(shù)，
由①知，即，
當(dāng)時(shí)，，
所以時(shí)，恒成立，即恒成立.

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