一、單選題
1．已知直線過點，，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．已知圓和，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）
A．外離B．外切C．內(nèi)含D．內(nèi)切
3．拋物線的準線方程是，則的值是
A．B．C．4D．
4．若直線與直線平行，則實數(shù)的取值為（ ）
A．或B．C．D．
5．設(shè)，向量，，且，，則（ ）
A．B．C．D．
6．若雙曲線的實軸長是虛軸長的兩倍，則
A．B．C．4D．2
7．已知線段的端點B的坐標是，端點A在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
8．如圖，空間四邊形OABC中，，點M在線段OA上，且，點N為BC中點，則（ ）
A．B．
C．D．
9．已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）.
A．B．
C．D．
10．下列四個命題，其中真命題是（ ）
A．點關(guān)于平面對稱的點的坐標是
B．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則
C．若，，則點到直線的距離為
D．向量，則向量在向量上的投影向量的坐標是
11．雙曲線的左焦點為，，點為雙曲線右支上的動點且周長的最小值為14，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．3
12．法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則下列說法中，正確的個數(shù)為（ ）
①橢圓的離心率為
②到的左焦點的距離的最小值為
③面積的最大值為
④若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則
A．1B．2C．3D．4
二、填空題
13．已知圓C過點，且圓心在x軸負半軸上，則圓C的標準方程為
14．焦點在軸上，右焦點到短軸端點距離為2，到左頂點的距離為3的橢圓的標準方程是 ．
15．已知拋物線上的點到焦點的距離為3，則點到軸的距離為 ．
16．在四面體中，空間的一點滿足，若、、、四點共面，則 ．
17．平行六面體的底面是邊長為的正方形，且，，為，的交點，則線段的長為 ．
18．已知圓與圓相交于點、．
①若，則公共弦所在直線方程為 ．
②若弦長，則 ．
19．已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線交拋物線于兩點，交于點，其中在第一象限，且，則直線的斜率為 .，若的面積為，則 .
20．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，過作漸近線的垂線，垂足為P，若，則雙曲線C的離心率為 ，過雙曲線C上任一點Q作兩漸近線的平行線QM，QN，它們和兩條漸近線圍成的平行四邊形OMQN的面積為，則雙曲線C的方程為 .
三、解答題
21．已知圓，直線過點.
(1)求圓的圓心坐標及半徑長；
(2)若直線與圓相切，求直線的方程；
(3)當(dāng)直線的斜率存在且與圓相切于點時，求.
22．設(shè)橢圓的離心率，過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求橢圓被直線截得的弦長.
(3)直線與橢圓交于兩點，當(dāng)時，求值.（O為坐標原點）
23．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，為的中點．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面的夾角的正弦值；
(3)記的中點為，若在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長．
24．設(shè)橢圓的左焦點為，下頂點為，上頂點為，是等邊三角形.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線，過點且斜率為的直線與橢圓交于點（異于點），線段的垂直平分線與直線交于點，與直線交于點，若.
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)已知點，點在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，求橢圓的方程.
參考答案：
1．B
【分析】先求得直線的斜率，進而求得直線的傾斜角.
【詳解】直線的斜率為，對應(yīng)傾斜角為.
故選：B
2．B
【分析】先分別求出兩個圓的圓心和半徑，然后判斷圓心間的距離和半徑之間的關(guān)系，最后判斷兩個圓的位置關(guān)系即可.
【詳解】圓以為圓心，半徑的圓，
圓，所以圓心，半徑，
所以，所以兩個圓外切，
故選：B
3．D
【分析】先將拋物線方程化成標準方程，再由準線方程，得到的方程，解得即可．
【詳解】拋物線的標準方程為，其準線方程為，
又拋物線準線方程為，得，解得.
故選D．
【點睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，注意化成拋物線的標準方程，屬于基礎(chǔ)題．
4．B
【分析】由直線方程一般式兩直線平行的系數(shù)關(guān)系即可求解，同時注意舍去直線重合的情況
【詳解】由已知，若直線與直線平行，則需滿足，解得,由于當(dāng)時，兩直線重合，因此
故選：B
5．A
【分析】由，求出，再求出，再用坐標求模即可.
【詳解】解：因為，，，
所以，則，
所以.
又因為，且，
所以，則，
所以，
所以，
所以.
故選：A.
6．C
【分析】首先由雙曲線方程確定的值，然后結(jié)合題意確定的值即可.
【詳解】雙曲線方程即：，則，
由于實軸長是虛軸長的兩倍，故，
即.
故選C.
【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中等題.
7．B
【分析】設(shè)出動點和動點的坐標，找到動點和動點坐標的關(guān)系，再利用相關(guān)點法求解軌跡方程即可.
【詳解】設(shè)，，由中點坐標公式得，
所以，故，
因為A在圓上運動，
所以，
化簡得，故B正確.
故選：B
8．D
【分析】結(jié)合圖形，利用空間向量的線性運算即可求解.
【詳解】點M在線段OA上，且，
又，
∵N為BC的中點，
.
故選：D.
9．C
【解析】根據(jù)拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合可求得的值，可得出雙曲線的標準方程，進而可求得該雙曲線的漸近線方程.
【詳解】拋物線的焦點，則雙曲線的一個焦點為，
則，且該雙曲線的焦點在軸上，，解得，
所以，雙曲線的標準方程為，
該雙曲線的漸近線方程為.
故選：C.
10．C
【分析】對于A，根據(jù)面對稱點性質(zhì)可判斷，對于B，利用空間向量判斷線面關(guān)系即可；對于C，根據(jù)向量投影坐標公式，勾股定理求解判斷即可；對于D，根據(jù)向量投影坐標公式即可判斷.
【詳解】對于A，點關(guān)于平面對稱的點的坐標是，故A錯誤；
對于B，，所以，則或，故B錯誤；
對于C，，所以，
則點到直線的距離為，故C正確；
對于D，根據(jù)向量投影坐標公式，故D錯誤.
故選：C
11．A
【分析】利用雙曲線的定義將轉(zhuǎn)化為，然后利用三點共線時取最小值求解即可.
【詳解】∵，，
∵周長的最小值為14，
∴的最小值為14，即的最小值為，
設(shè)右焦點為，則，即，
則，即三點共線且依次排列時等號成立，
此時，即最小值為，得，
∵，∴離心率.
故選：A.
12．D
【分析】根據(jù)定義，確定蒙日圓的點結(jié)合橢圓離心率計算判斷①；根據(jù)定義求得，再求出最大面積判斷③；設(shè)出點M的坐標并求出其橫坐標范圍計算判斷②；根據(jù)定義確定點A，B的關(guān)系，再利用“點差法”計算判斷④.
【詳解】對于①，直線，與橢圓都相切，且這兩條直線垂直，因此其交點在圓上，
即有，則，橢圓的離心率，①正確；
對于③，依題意，點均在圓上，且，因此線段是圓的直徑，
即有，顯然圓上的點到直線距離最大值為圓的半徑，即點到直線距離最大值為，
因此面積的最大值為，③正確；
對于②，令，有，令橢圓的左焦點，有，
則，而，
因此，即，
所以到的左焦點的距離的最小值為，②正確；
對于④，依題意，直線過原點O，即點A，B關(guān)于原點O對稱，設(shè)，有，
于是得，
又由①知，，得，
所以，④正確，
所以說法正確的有①②③④.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是對橢圓的蒙日圓及橢圓性質(zhì)應(yīng)用，及點差法得出斜率積等的應(yīng)用.
13．
【解析】由圓的性質(zhì)列方程求得圓心和半徑后即可得解.
【詳解】設(shè)圓C的圓心，半徑為，
則，解得，
所以圓C的標準方程為.
故答案為：.
14．
【分析】由題意列出關(guān)于的等式，求解即可.
【詳解】由右焦點到短軸端點距離為2，可得：，
即
由右焦點到到左頂點的距離為3，可得，所以，即，
所以橢圓方程為.
故答案為：
15．
【分析】利用焦半徑公式，求點的坐標，即可求解.
【詳解】設(shè)，
所以，得，代入，得，
所以點到軸的距離為.
故答案為：
16．
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的共面向量定理的推論列式計算即得.
【詳解】在四面體中，不共面，
因為，所以，
若、、、四點共面，則,
所以.
故答案為：.
17．
【分析】由平方即可求解.
【詳解】由題意可知：，
則，
所以.
故答案為：
18． 或0
【分析】對于①直接由兩圓方程相減得，對于②兩圓的方程相減得直線方程，再結(jié)合弦長的幾何法求解即可解決問題.
【詳解】①若，則圓：，圓：，
兩個方程相減得，
化簡并整理得公共弦所在直線方程為，
②若弦長，
而兩圓方程相減得，化簡并整理得公共弦所在直線方程為，
則到直線的距離為：，
則，解得：，或，
故答案為：；或0.
19．
【分析】過、作、，垂足為、，設(shè)，則，根據(jù)拋物線的定義得到，從而求出，即可求出直線的斜率，設(shè)與軸交于點，即可得到，再根據(jù)面積公式求出，即可得解.
【詳解】如圖分別過、作、，垂足為、，設(shè)，則，
由拋物線定義得，，
所以，則，
所以，所以，
設(shè)與軸交于點，在中，由得，則，
所以，，
所以，所以，
由，解得（負值舍去），
所以.

故答案為：；
20．
【分析】根據(jù)已知條件求得，進而求得雙曲線的離心率.根據(jù)平行四邊形OMQN的面積列方程，求得，從而求得雙曲線的方程.
【詳解】因為，所以，
作于H，如下圖所示，則，.

又∵，
∴，
∴.
∴.
因為，所以雙曲線C的漸近線方程為，如下圖所示，

設(shè)，因為，所以，
所以.
設(shè)，點Q到兩條漸近線的距離分別為，，
則四邊形OMQN的面積為，
而，
所以，解得：，
∴，故雙曲線C的方程為.
故答案為：；
【點睛】求解雙曲線的標準方程，關(guān)鍵是求得，是兩個未知參數(shù)，需要兩個條件來求解，如本題中，平行四邊形OMQN的面積以及兩個條件，通過解方程來求得，從而求得雙曲線的標準方程.
21．(1)圓的圓心坐標為，半徑長為；
(2)或；
(3).
【分析】（1）把圓的一般方程化為標準方程，求圓心坐標和半徑；
（2）對切線分斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線點斜式方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑建立等量關(guān)系，當(dāng)斜率不存在時，根據(jù)切線過點可求切線方程；
（3）根據(jù)圓心與切點的連線垂直于切線，結(jié)合勾股定理求解.
【詳解】（1）圓方程可化為:，圓心坐標為，半徑長為.
（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為，圓心到直線距離為，滿足題意．
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程是，即.
由圓心到直線的距離等于半徑得，，解得，
此時直線的方程為.
綜上，直線的方程為或.
（3）
∵圓的圓心坐標為，，
∴.
如圖，由相切得，，，
∴.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，從而得到橢圓的方程．
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，得韋達定理，進而根據(jù)弦長公式即可求解.
（3）根據(jù)向量的坐標運算即可代入韋達定理求解.
【詳解】（1）由題意可知，解得，
橢圓的方程為．
（2）設(shè)橢圓與直線的交點為，，，，
聯(lián)立方程，消去得，
，，
因此
（3）設(shè)，，
聯(lián)立方程，消去得，
所以，，，得
由，即
，
，均符合，
故
23．(1)證明見解析
(2)
(3)或
【分析】（1）連接，證出和，即可利用線面垂直判定定理得證；
（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法直接求解面面角的余弦值，即可得到結(jié)果；
（3）設(shè)，利用向量法直接表示出線面角的正弦值，即可得到參數(shù)，進而得到結(jié)果.
【詳解】（1）連接，則，
因為，所以四邊形為平行四邊形；
所以，
因為，，且為的中點，
所以，所以，
所以，即，
又因為，所以平面.
（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A2,0,0，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，
所以，
所以二面角的正弦值為.
（3）設(shè)，則，
而，所以，
由（II）知平面的法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，則
，
化簡得，解得：或，
故線段的長度為或．
24．（1）；（2）(ⅰ) ；（ii）
【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)，即可得到橢圓的離心率.
（2）(ⅰ)首先根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為，直線為，聯(lián)立解出的坐標，從而得到的坐標，利用直線交點解出的坐標，根據(jù)弦長公式求出，，再根據(jù)即可得到的值.(ⅱ)先用表示的坐標，根據(jù)四邊形為平行四邊形得到的坐標，再代入橢圓的方程即可得到答案.
【詳解】（1）由題意可知，，即.
又因為 ，， ，所以.
（2）(ⅰ)
設(shè)橢圓方程為，直線為，
聯(lián)立得，
解得：，則.
因為為中點，，
因為所在的直線方程為
令 解得
.
因為，所以，解得或 (舍)
所以.
(ⅱ)因為，所以，
設(shè)四邊形為平行四邊形，
所以，.
即 ，
又因為點在橢圓上，所以.
解得，，該橢圓方程為：.
【點睛】本題第一問考查橢圓的離心率，第二問考查直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查學(xué)生的計算能力，屬于難題.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
B
A
C
B
D
C
C
題號
11
12








答案
A
D








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