1．（3分）黨的二十大報告指出，我國建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及水平實現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險覆蓋十億四千萬人，基本醫(yī)療保險參保率穩(wěn)定在百分之九十五．將數(shù)據(jù)1040000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．104×107B．10.4×108
C．1.04×109D．0.104×1010
2．（3分）在一個不透明的塑料袋中裝有紅色球、白色球共40個，除顏色外其他都相同．小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則塑料袋中紅色球可能有（ ）
A．6個B．7個C．8個D．9個
3．（3分）用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方正確的是（ ）
A．（x+5）2＝16B．（x+5）2＝34C．（x﹣5）2＝16D．（x+5）2＝25
4．（3分）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，csC的值是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝1，則S△ABC＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB'C'，連接CC'，則CC'的長為（ ）
A．4B．6C．D．
7．（3分）已知反比例函數(shù)y＝﹣，下列結(jié)論：①圖象必經(jīng)過（﹣2，4）；②圖象在二，四象限內(nèi)；③y隨x的增大而增大；④當(dāng)x＞﹣1時，則y＞8．其中錯誤的結(jié)論有（ ）個．
A．3B．2C．1D．0
8．（3分）便民商店經(jīng)營一種商品，在銷售過程中，發(fā)現(xiàn)一周利潤y（元）與每件銷售價x（元）之間的關(guān)系滿足y＝﹣2x2+80x+758，由于某種原因，價格需滿足15≤x≤19，那么一周可獲得最大利潤是（ ）
A．1554元B．1556元C．1558元D．1560元
9．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D是邊AC上一動點（不與A，C兩點重合），沿A→C的路徑移動，過點D作ED⊥AC，交AB于點E，將△ADE沿直線DE折疊得到△A'DE．若設(shè)AD＝x，△A'DE與△ABC重疊部分的面積為y，則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分.）
10．（3分）計算：的結(jié)果為 ．
11．（3分）若二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+k的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一個解x1＝3，另一個解x2＝ ．
12．（3分）按一定規(guī)律排列的單項式：a，，，2a4，，…，則第n個單項式為 ．
13．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，點D為AC中點，點E在AB上，當(dāng)AE為 時，△ABC與以點A、D、E為頂點的三角形相似．
14．（3分）如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 ．
三、解答題（本大題共7個小題，共55分，解答時應(yīng)寫出證明過程或演算步驟.）
15．（5分）計算：22﹣tan60°+|﹣1|﹣（3﹣π）0．
16．（6分）2023年5月30日上午，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，舉國振奮．為使同學(xué)們進(jìn)一步了解中國航天科技的快速發(fā)展，我縣某中學(xué)九（1）班團(tuán)支部組織了一場手抄報比賽，要求該班每位同學(xué)從A：“北斗”，B：“5G時代”，C：“東風(fēng)快遞”，D：“智軌快運(yùn)”四個主題中任選一個自己喜愛的主題，比賽結(jié)束后，該班團(tuán)支部統(tǒng)計了同學(xué)們所選主題的頻數(shù)，繪制成如圖兩種不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題．
（1）九（1）班共有 名學(xué)生；
（2）補(bǔ)全圖1中的折線統(tǒng)計圖；
（3）若賈林和王峰兩位同學(xué)分別從A，B，C，D四個主題中任選一個主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．
17．（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m取滿足條件的最小奇數(shù)時，求方程的根．
18．（7分）為了防洪需要，汶上溢流壩決定新建一座攔水壩．如圖，攔水壩的橫截面為四邊形ABCD，其中，AD∥BC，斜面AB的坡度i＝3：4（指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比），已知斜坡CD的長度為20米，∠C＝18°，求斜坡AB的長度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32）
19．（9分）某同學(xué)借助反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象設(shè)計了“魚形”圖案．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以反比例函數(shù)圖象上的點和點B為頂點，分別作菱形AOCD和菱形OBEF，點D，E在x軸上，以點O為圓心，OA長為半徑作，連接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半徑及圓心角的度數(shù)；
（3）求圖中陰影部分面積之和．
20．（10分）【初步感知】
（1）如圖1，點A，B，P均在⊙O上，若∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為 度；
【深入探究】
（2）如圖2，小明遇到這樣一個問題：⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P在上（點P不與點A，C重合），連接PA，PB，PC．求證：PB＝PA+PC；小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，通過證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊三角形，進(jìn)而得證．請根據(jù)小明的分析思路完成證明過程．
【啟發(fā)應(yīng)用】
（3）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P在⊙O上，且點P與點B在AC的兩側(cè)，連接PA，PB，PC，若PB＝2PA，則的值為 ．
21．（11分）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），連接BC，點P（m，n）（m＞0）為拋物線上一動點，過點P作PN⊥x軸交直線BC于點M，交x軸于點N．
（1）直接寫出拋物線和直線BC的解析式；
（2）如圖2，連接OM，當(dāng)△OCM為等腰三角形時，求m的值；
（3）當(dāng)P點在運(yùn)動過程中，在y軸上是否存在點Q，使得以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與以B，C，N為頂點的三角形相似（其中點P與點C相對應(yīng)），若存在，直接寫出點P和點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2024年山東省濟(jì)寧市汶上縣中考數(shù)學(xué)二模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.）
1．（3分）黨的二十大報告指出，我國建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及水平實現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險覆蓋十億四千萬人，基本醫(yī)療保險參保率穩(wěn)定在百分之九十五．將數(shù)據(jù)1040000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．104×107B．10.4×108
C．1.04×109D．0.104×1010
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．
【解答】解：1040000000＝1.04×109．
故選：C．
【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
2．（3分）在一個不透明的塑料袋中裝有紅色球、白色球共40個，除顏色外其他都相同．小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則塑料袋中紅色球可能有（ ）
A．6個B．7個C．8個D．9個
【分析】利用頻率估計概率求解即可．
【解答】解：由題意知，塑料袋中紅色球可能有40×20%＝8（個），
故選：C．
【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
3．（3分）用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方正確的是（ ）
A．（x+5）2＝16B．（x+5）2＝34C．（x﹣5）2＝16D．（x+5）2＝25
【分析】移項，配方（方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方），即可得出答案．
【解答】解：x2+10x+9＝0，
x2+10x＝﹣9，
x2+10x+52＝﹣9+52，
（x+5）2＝16．
故選：A．
【點評】本題考查了用配方法解一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確配方．
4．（3分）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，csC的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠C，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．
【解答】解：由三角形的內(nèi)角和，得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°，
csC＝cs30°＝，
故選：C．
【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝1，則S△ABC＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)三角形中位線定理求得DE∥BC，，從而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解．
【解答】解：∵點D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ADE＝1，
∴S△ABC＝4，
故選：D．
【點評】本題考查三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，本題難度較低，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB'C'，連接CC'，則CC'的長為（ ）
A．4B．6C．D．
【分析】先根據(jù)勾股定理計算AC的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△CAC'是等腰直角三角形，并由勾股定理可得結(jié)論．
【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，
∴AC＝＝，
由旋轉(zhuǎn)得：AC＝AC'，∠CAC'＝90°，
∴CC'＝＝．
故選：C．
【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)知識，證明△ACC'是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）已知反比例函數(shù)y＝﹣，下列結(jié)論：①圖象必經(jīng)過（﹣2，4）；②圖象在二，四象限內(nèi)；③y隨x的增大而增大；④當(dāng)x＞﹣1時，則y＞8．其中錯誤的結(jié)論有（ ）個．
A．3B．2C．1D．0
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：①當(dāng)x＝﹣2時，y＝4，即圖象必經(jīng)過點（﹣2，4），正確；
②k＝﹣8＜0，圖象在第二、四象限內(nèi)，正確；
③k＝﹣8＜0，每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，錯誤；
④k＝﹣8＜0，每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，y＞8，x＞0時，y＜8，故④錯誤，
故選：B．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟記反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8．（3分）便民商店經(jīng)營一種商品，在銷售過程中，發(fā)現(xiàn)一周利潤y（元）與每件銷售價x（元）之間的關(guān)系滿足y＝﹣2x2+80x+758，由于某種原因，價格需滿足15≤x≤19，那么一周可獲得最大利潤是（ ）
A．1554元B．1556元C．1558元D．1560元
【分析】將二次函數(shù)關(guān)系式化為頂點式，找出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)圖象的增減性即可求解．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+80x+758＝﹣2（x﹣20）2+1558，
∴二次函數(shù)的對稱軸為x＝20，開口向下，
∴當(dāng)x＜20時，y隨x的增大而增大，
∵15≤x≤19，
∴x＝19時，y取最大值，
此時y＝﹣2×（19﹣20）2+1558＝1556，
即一周可獲得最大利潤是1556元，
故選B．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，注意自變量的范圍是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D是邊AC上一動點（不與A，C兩點重合），沿A→C的路徑移動，過點D作ED⊥AC，交AB于點E，將△ADE沿直線DE折疊得到△A'DE．若設(shè)AD＝x，△A'DE與△ABC重疊部分的面積為y，則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分0≤x≤2和2＜x≤4兩種情況，利用三角形相似分別求出DE和CF，然后由三角形和梯形的面積公式分別求出y與x的函數(shù)解析式即可．
【解答】解：①當(dāng)0≤x≤2時，△A'DE與△ABC重疊部分的面積為△A'DE的面積，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∵∠EDA＝∠BCA，∠A＝∠A，
∴△BCA∽△EDA，
∴＝，
即＝，
∴DE＝x，
∵△ADE沿直線DE折疊得到△A'DE，
∴A′D＝AD＝x，
∴y＝S△A′DE＝A′D?DE＝x?x＝x2，
∵＞0，
∴拋物線開口向上，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝2時，y有最大值，最大值為，
故排除A，C；
②當(dāng)2＜x≤4時，A′位置如圖所示：
此時AE與BC相交于F，
∵A′D＝AD＝x，CD＝AC﹣AD＝4﹣x，
∴A′C＝A′D﹣CD＝2x﹣4，
∵∠A′＝∠A，∠A′CF＝∠ACB＝90°，
∴△A′CF∽△ACB，
∴＝，
即＝，
∴CF＝，
∴y＝S梯形FCDE＝（CF+DE）?CD＝×（+x）×（4﹣x）＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣）2+2，
∵﹣＜0，2＜x≤4，
∴當(dāng)x＝時，y有最大值，最大值為2，
綜上所述，圖象過（2，）和（，2）兩點，且兩端圖象先開口向上，再開口向下，
故選：D．
【點評】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)以及對折變換，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是確定出y與x的函數(shù)解析式．
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分.）
10．（3分）計算：的結(jié)果為 1 ．
【分析】根據(jù)分式的加減法法則計算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝1．
故答案為：1．
【點評】此題考查了分式的加減法，解題關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減法法則．
11．（3分）若二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+k的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的一個解x1＝3，另一個解x2＝ ﹣1 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點關(guān)于對稱軸對稱，直接求出x2的值．
【解答】解：由圖可知，對稱軸為x＝1，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對稱性，
＝1，
解得，x2＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點，要注意數(shù)形結(jié)合，熟悉二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
12．（3分）按一定規(guī)律排列的單項式：a，，，2a4，，…，則第n個單項式為 an．
【分析】通過觀察，先將第n個單項式的數(shù)字系數(shù)和指數(shù)分別表示出來，即可得出結(jié)果．
【解答】解：觀察可知，數(shù)字系數(shù)為：1，，，2，，?，
∴第n個單項式的數(shù)字系數(shù)為：，
∵指數(shù)是1，2，3，4，5，?，
∴第n個單項式的指數(shù)為：n，
因此，第n個單項式為：an，
故答案為：an．
【點評】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律和算術(shù)平方根，從題目中找出單項式間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，點D為AC中點，點E在AB上，當(dāng)AE為 3或時，△ABC與以點A、D、E為頂點的三角形相似．
【分析】先得到，再分與兩種情況討論即可解答．
【解答】解：當(dāng)時，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，
當(dāng)時，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
綜上，AE＝3或，
故答案為：3或．
【點評】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運(yùn)用及熟練掌握相似三角形的判定定理．
14．（3分）如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為．
【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF＝2EH＝20E?sin∠EOH＝20E?sin60°，因此當(dāng)半徑OE最短時，EF最短，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF＝2EH．
【解答】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，
如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，
∴AD＝BD＝2，即此時圓的直徑為2，
由圓周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE?sin∠EOH＝1×＝，
由垂徑定理可知EF＝2EH＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形．
三、解答題（本大題共7個小題，共55分，解答時應(yīng)寫出證明過程或演算步驟.）
15．（5分）計算：22﹣tan60°+|﹣1|﹣（3﹣π）0．
【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算，特殊角的函數(shù)值，零指數(shù)冪的運(yùn)算，絕對值的化簡計算即可．
【解答】解：
＝﹣1﹣1
＝2．
【點評】本題考查了冪的運(yùn)算，特殊角的函數(shù)值，零指數(shù)冪的運(yùn)算，絕對值的化簡，熟練掌握運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．
16．（6分）2023年5月30日上午，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，舉國振奮．為使同學(xué)們進(jìn)一步了解中國航天科技的快速發(fā)展，我縣某中學(xué)九（1）班團(tuán)支部組織了一場手抄報比賽，要求該班每位同學(xué)從A：“北斗”，B：“5G時代”，C：“東風(fēng)快遞”，D：“智軌快運(yùn)”四個主題中任選一個自己喜愛的主題，比賽結(jié)束后，該班團(tuán)支部統(tǒng)計了同學(xué)們所選主題的頻數(shù)，繪制成如圖兩種不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題．
（1）九（1）班共有 50 名學(xué)生；
（2）補(bǔ)全圖1中的折線統(tǒng)計圖；
（3）若賈林和王峰兩位同學(xué)分別從A，B，C，D四個主題中任選一個主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．
【分析】（1）由B的人數(shù)除以所占百分比即可；
（2）求出D的人數(shù)，即可解決問題；
（3）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，小林和小峰選擇相同主題的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）九（1）班共有學(xué)生人數(shù)為：20÷40%＝50（名），
故答案為：50；
（2）D的人數(shù)為：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
補(bǔ)全折線統(tǒng)計圖如下：
（3）畫樹狀圖如圖：
共有16種等可能的結(jié)果，小林和小峰選擇相同主題的結(jié)果有4種，
∴小林和小峰選擇相同主題的概率為＝．
【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率以及折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．掌握概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵．
17．（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m取滿足條件的最小奇數(shù)時，求方程的根．
【分析】（1）一元二次方程有兩不等實數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．還要注意二次項系數(shù)不為0；
（2）在m的范圍內(nèi)，找到最小奇數(shù)，然后把m的值代入一元二次方程 （m+1）x2+2mx+m﹣3＝0中，再解出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0 有兩個不相等的實數(shù)根，
∴m+1≠0且Δ＞0．
∵Δ＝（2m）2﹣4（m+1）（m﹣3）＝4（2m+3），
∴2m+3＞0．
解得 m＞．
∴m的取值范圍是 m＞且m≠﹣1．
（2）在m＞且m≠﹣1的范圍內(nèi)，最小奇數(shù)m為1．
此時，方程化為x2+x﹣1＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴．
∴方程的根為 ，．
【點評】此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，以及一元二次方程的解法，關(guān)鍵是掌握（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．
18．（7分）為了防洪需要，汶上溢流壩決定新建一座攔水壩．如圖，攔水壩的橫截面為四邊形ABCD，其中，AD∥BC，斜面AB的坡度i＝3：4（指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比），已知斜坡CD的長度為20米，∠C＝18°，求斜坡AB的長度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【分析】過點D作DE⊥BC于點E，根據(jù)正弦的定義求出DE，根據(jù)坡度的概念求出BF，再根據(jù)勾股定理計算，得到答案．
【解答】解：如圖，過點D作DE⊥BC于點E，
則四邊形AFED為矩形，
∴DE＝AF，
在Rt△DEC中，CD＝20米，∠C＝18°，
∵sinC＝，
∴DE＝DC?sinC≈20×0.31＝6.20（米），
∵斜面AB的坡度i＝3：4，AF＝6.20米，
∴BF≈8.27（米），
∴AB＝≈10.3（米），
答：斜坡AB的長度約為10.3米．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．
19．（9分）某同學(xué)借助反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象設(shè)計了“魚形”圖案．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以反比例函數(shù)圖象上的點和點B為頂點，分別作菱形AOCD和菱形OBEF，點D，E在x軸上，以點O為圓心，OA長為半徑作，連接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半徑及圓心角的度數(shù)；
（3）求圖中陰影部分面積之和．
【分析】（1）將A（，1）代入y＝中即可求解；
（2）利用勾股定理求邊長，再根據(jù)直角三角形中30度角所對的直角邊是斜邊的一半求解出角度，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)求解；
（3）先計算出S菱形AOCD＝2，再計算出扇形的面積，根據(jù)菱形的性質(zhì)及結(jié)合k的幾何意義可求出S△FBO＝，從而問題即可解答．
【解答】解：（1）將A（，1）代入到y(tǒng)＝中，
得：1＝，
解得：k＝；
（2）過點A作OD 的垂線，交x軸于G，
∵A（，1），
∴AG＝1，OG＝，
OA＝＝2，
∴半徑為2；
∵AG＝OA，
∴∠AOG＝30°，
由菱形的性質(zhì)可知，∠AOG＝∠COG＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴圓心角的度數(shù)為60°；
（3）∵OD＝2OG＝2，
∴S菱形AOCD＝AC×OD＝2，
∴S扇形AOC＝×π×r2＝，
在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，
∵S△FHO＝＝，
∴S△FBO＝2×＝，
∴S陰影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC＝+2﹣π＝3﹣．
【點評】本題考查反比例函數(shù)及k的幾何意義，菱形的性質(zhì)，圓心角與弧的關(guān)系等，正確k的幾何意義是解題關(guān)鍵．
20．（10分）【初步感知】
（1）如圖1，點A，B，P均在⊙O上，若∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為 45 度；
【深入探究】
（2）如圖2，小明遇到這樣一個問題：⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P在上（點P不與點A，C重合），連接PA，PB，PC．求證：PB＝PA+PC；小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，通過證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊三角形，進(jìn)而得證．請根據(jù)小明的分析思路完成證明過程．
【啟發(fā)應(yīng)用】
（3）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P在⊙O上，且點P與點B在AC的兩側(cè)，連接PA，PB，PC，若PB＝2PA，則的值為 ．
【分析】【初步感知】根據(jù)圓周角定理即可得出答案；
【深入探究】先構(gòu)造出△PBC≌△EBA（SAS），得出PB＝EB，進(jìn)而得出△PBE是等邊三角形，即可得出結(jié)論；
【啟發(fā)應(yīng)用】先構(gòu)造出△PBC≌△GBA（SAS），進(jìn)而判斷出∠PBG＝90°，進(jìn)而得出△PBG是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．
【解答】【初步感知】解：∵∠AOB＝90°，
∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圓中，同弧所對的圓周角是圓心角的一半），
故答案為：45；
【深入探究】證明：如圖②，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，
∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAE＝180°，
∴∠BCP＝∠BAE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BA＝BC，∠ACB＝60°，
又∵AE＝PC，
∴△PBC≌△EBA（SAS），
∴PB＝EB，
∴∠APB＝∠ACB＝60°，
∴△PBE為等邊三角形，
∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+AP；
【啟發(fā)應(yīng)用】解：如圖③，延長PA至點G，使AG＝PC，連接BG．
∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAG＝180°，
∴∠BCP＝∠BAG，
∵BA＝BC，AG＝PC，
∴△PBC≌△GBA（SAS），
∴PB＝GB，∠PBC＝∠GBA，
∵∠ABC＝90°，
∴∠PBG＝∠GBA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝90°，
∴PG＝BP，
∵PG＝PA+AG＝PA+PC，
∴PC＝PG﹣PA＝×2PA﹣PA＝3PA，
∴＝＝，
故答案為：．
【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
21．（11分）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），連接BC，點P（m，n）（m＞0）為拋物線上一動點，過點P作PN⊥x軸交直線BC于點M，交x軸于點N．
（1）直接寫出拋物線和直線BC的解析式；
（2）如圖2，連接OM，當(dāng)△OCM為等腰三角形時，求m的值；
（3）當(dāng)P點在運(yùn)動過程中，在y軸上是否存在點Q，使得以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與以B，C，N為頂點的三角形相似（其中點P與點C相對應(yīng)），若存在，直接寫出點P和點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由題得拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣2），將點C坐標(biāo)代入求a，進(jìn)而得到拋物線的解析式；設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+t，將B、C兩點坐標(biāo)代入求解即可得到直線BC的解析式．
（2）由題可得M坐標(biāo)，分別求出OC，OM，CM，對等腰三角形OCM中相等的邊界線分類討論，進(jìn)而列方程求解．
（3）對P點在B點左右兩側(cè)進(jìn)行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解m，進(jìn)而得到點P，點Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（2，0），
∴拋物線的表達(dá)式為y＝a（x+1）（x﹣2），
將點C（0，2）代入得，2＝﹣2a，
∴a＝﹣1，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+t，
將B（2，0），C（0，2）代入得，
，
解得，
∴直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+2．
（2）∵點M在直線BC上，且P（m，n），
∴點M的坐標(biāo)為（m，﹣m+2），
∴OC＝2
∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，
當(dāng)△OCM為等腰三角形時，
①若CM＝OM，則CM2＝OM2，
即2m2＝2m2﹣4m+4，
解得m＝1；
②若CM＝OC，則CM2＝OC2，
即2m2＝4，
解得或m＝﹣（舍去）；
③若OM＝OC，則OM2＝OC2，
即2m2﹣4m+4＝4，
解得m＝2或m＝0（舍去）．
綜上，m＝1或m＝或m＝2．
（3）∵點P與點C相對應(yīng)，
∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，
①若點P在點B的左側(cè)，
則，
當(dāng)△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°時，
直線OP的表達(dá)式為y＝x，
∴﹣m2+m+2＝m，
解得或m＝﹣（舍去），
∴，即OP＝2，
∴，即，
解得OQ＝，
∴，
當(dāng)△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°時，
，
∴，即，
解得m＝1±（舍去）．
當(dāng)△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°時，
PQ＝，OQ＝m﹣（﹣m2+m+2）＝m2﹣2，
∴，即，
解得m＝，（負(fù)值舍去），
∴P（），Q（0.）．
②若點P在點B的右側(cè)，
則∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，
當(dāng)△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°時，
直線OP的表達(dá)式為y＝﹣x，
∴﹣m2+m+2＝﹣m，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
∴，即，
解得OQ＝1，
∴，
當(dāng)△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°時，
PQ＝，OQ＝|﹣m2+m+2+m|＝m2﹣2m﹣2，
∴，即，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
綜上，P（），Q（0， ）或P（），Q（0，）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定等相關(guān)知識．

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