一、選擇題
1．下列雙曲線中,焦點(diǎn)在y軸上的是( )
A.B.
C.D.
2．已知集合,,則中元素的個(gè)數(shù)為( )
A.5B.4C.3D.2
3．若復(fù)數(shù)z滿足,則z的虛部與實(shí)部之差為( )
A.2B.-2C.-4D.
4．將7張不同的郵票分給甲、乙、丙三位同學(xué),每人至少2張,且郵票都要分完,則甲、乙分得的郵票數(shù)相等的分法共有( )
A.210種B.420種C.240種D.480種
5．下列函數(shù)中,在上為減函數(shù)的是( )
A.B.
C.D.
6．若是等差數(shù)列,且,,則數(shù)列的前10項(xiàng)和為( )
A.B.C.D.
7．已知過拋物線的焦點(diǎn)F作斜率為的直線l,l與C的一個(gè)交點(diǎn)A位于第四象限,且l與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)B,若,則( )
A.B.2C.D.3
8．已知,,則使成立的一個(gè)充分條件是( )
A.B.
C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知的終邊經(jīng)過點(diǎn),則( )
A.B.可能等于
C.D.可能等于
10．已知表示不超過x的最大整數(shù).設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為,,則( )
A.B.C.D.
11．在體積為的正四棱錐中,異面直線PC與AB所成角的余弦值為,則( )
A.
B.二面角的余弦值為
C.正四棱錐的外接球的表面積為
D.直線BC與平面PCD所成角的正切值為2
三、填空題
12．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為
則___________.
13．已知,,且是奇函數(shù),則___________.
14．已知向量,,滿足,,,.若恒成立,則的最大值為______________.
四、解答題
15．某紅茶批發(fā)地只經(jīng)營甲?乙?丙三種品牌的紅茶,且甲?乙?丙三種品牌的紅茶優(yōu)質(zhì)率分別為,,.
(1)若該紅茶批發(fā)地甲?乙?丙三種品牌的紅茶市場占有量的比例為,小張到該批發(fā)地任意購買一盒紅茶,求他買到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品的概率;
(2)若小張到該批發(fā)地甲?乙?丙三種品牌店各任意買一盒紅茶,求他恰好買到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶的概率.
16．在中,A、B、C的對邊分別為a、b、c,且.
(1)若的面積,,求a;
(2)若,求C.
17．如圖,四邊形ABCD是正方形,AE,DF,BG都垂直于平面ABCD,且,,,M,N分別是EG,BC的中點(diǎn).
(1)證明：平面ABCD.
(2)若,求點(diǎn)N到平面AMF的距離.
18．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),,求m的取值范圍;
(3)若有3個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
19．橢圓有一個(gè)光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光照射到橢圓上,其反射光線會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,光線從發(fā)出,經(jīng)過C上一點(diǎn)（不在x軸上）反射后,到達(dá)橢圓上的點(diǎn),再反射到達(dá)C上的點(diǎn),不斷反射,得到反射點(diǎn)列,設(shè).
(1)若C的焦距為2,,,求C的離心率;
(2)證明：;
(3)證明：是等比數(shù)列.
參考答案
1．答案：C
解析：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上.
故選：C.
2．答案：A
解析：由可知集合B中的元素是非負(fù)偶數(shù),
所以可得,則中元素的個(gè)數(shù)為5.
故選：A.
3．答案：B
解析：因?yàn)?
所以,復(fù)數(shù)z的虛部為-3,實(shí)部為-1,
所以,z的虛部與實(shí)部之差為.
故選：B.
4．答案：A
解析：依題意可得,甲、乙分得的郵票數(shù)相等且丙至少2張,意味著甲、乙兩人都分得2張郵票,
所以甲、乙分得的郵票數(shù)相等的分法共有種.
故選：A.
5．答案：D
解析：,,在上均不是單調(diào)函數(shù),
時(shí),,
所以在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).
故選：D.
6．答案：C
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則,
所以,則,
故數(shù)列的前10項(xiàng)和為.
故選：C.
7．答案：B
解析：如圖,過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線,垂足為D,則,,
由,得,則,
因此,所以.
故選：B.
8．答案：B
解析：對于A,取,,顯然有成立,但不成立,不符合題意.
對于B,由,得,所以,可推出,符合題意.
對于C,,可得,不符合題意.
對于D,由,得,因?yàn)?,所以,
所以,不能推出,不符合題意.
故選：B.
9．答案：ACD
解析：因?yàn)榈慕K邊經(jīng)過點(diǎn),且,
所以,,故A,C正確.
因?yàn)辄c(diǎn)在第四象限,所以不可能等于,可能等于,B錯(cuò)誤,D正確.
故選：ACD.
10．答案：AC
解析：.當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
因?yàn)?,,,
所以,,所以,.
故選：AC.
11．答案：BCD
解析：取的中點(diǎn)E,設(shè)O為正方形的中心,連接,,則.
因?yàn)?所以異面直線與所成的角即,則.
設(shè),則,,,則,
所以正四棱錐的體積為,
解得,所以,故A錯(cuò)誤.
在正方形中,由于,E為的中點(diǎn),
所以,則為二面角的平面角,
所以,故B正確.
設(shè)正四棱錐的外接球的球心為M,且,又,
由,得,解得,
所以正四棱錐的外接球的表面積為,故C正確.
因?yàn)?所以直線與平面所成的角即直線與平面所成的角.
過點(diǎn)O作,垂足為H,
因?yàn)槠矫?且平面,
所以,又,且,平面,
所以平面,又平面,
所以,又,且,平面,
所以平面,
則為直線與平面所成的角,
則,故D正確.
故選：BCD.
12．答案：
解析：由分布列,有.
故答案為：.
13．答案：-5
解析：由是奇函數(shù),得,
令,得,則.
故答案為：-5.
14．答案：
解析：因?yàn)?結(jié)合,所以.
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
使得,.
令,則,,
代入,整理得,
所以點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上.
因?yàn)?點(diǎn)A在圓M內(nèi),所以,
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在的延長線上時(shí),等號成立.
若恒成立,則,所以的最大值為.
故答案為：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)設(shè)事件A,B,C分別表示小張買到的紅茶品牌為甲品牌、乙品牌、丙品牌,事件D表示他買到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品,
則依據(jù)已知可得,,,,
由全概率公式得,
所以他買到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品的概率為.
(2)設(shè)事件E表示他恰好買到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶,組成事件E的情況有：
甲乙優(yōu)質(zhì)紅茶丙非優(yōu)質(zhì)紅茶、甲丙優(yōu)質(zhì)紅茶乙非優(yōu)質(zhì)紅茶,乙丙優(yōu)質(zhì)紅茶甲非優(yōu)質(zhì)紅茶,且優(yōu)質(zhì)與否互相獨(dú)立,
則,
所以他恰好買到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶的概率為.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,得.
因?yàn)?所以,得,.
由余弦定理可得,所以.
(2)解：由及正弦定理得.
因?yàn)?,
所以,即,
即.
因?yàn)?所以,所以,即.
17．答案：(1)證明見詳解
(2)
解析：(1)因?yàn)?,都垂直于平面,則.
取的中點(diǎn)H,連接,,
則,且,
所以且,所以四邊形為平行四邊形,
可得,
且平面,平面,所以平面.
(2)連接.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
可得,,.
設(shè)平面的法向量為,則,
取,得,,可得.
故點(diǎn)N到平面的距離.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)當(dāng)時(shí),,則,
所以,,
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,
即.
(2)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,
因?yàn)?
所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
所以,解得,
故m的取值范圍為.
(3)因?yàn)?則0為的1個(gè)零點(diǎn),
因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn),所以在上有2個(gè)零點(diǎn),
即方程有2個(gè)不同的實(shí)根,
即直線與函數(shù)的圖象在上有2個(gè)不同的交點(diǎn),
設(shè),則,
令,得,在上單調(diào)遞增;
令,得,在上單調(diào)遞減,
,,
因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象在上有2個(gè)不同的交點(diǎn),
所以,即a的取值范圍是.
19．答案：(1);
(2)證明見解析;
(3)證明見解析.
解析：(1)由題意,得,則,.
因?yàn)?,三點(diǎn)共線,所以,解得.
又,所以C的離心率為.
(2)由題意,得,,三點(diǎn)共線,其中.
當(dāng)時(shí),直線的方程為,
代入,得.
由韋達(dá)定理得,,
所以①.
假設(shè),則.
由①,得,即,解得,
此時(shí),則,這與不在x軸上矛盾,
所以假設(shè)不成立,即.
(3),,三點(diǎn)共線,其中,
當(dāng)時(shí),直線的方程為,
與(2)同理,得②.
由①②,得.
當(dāng)時(shí),同理得.
所以對任意,都有,即,
可化為,即,
所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
X
1
2
3
4
P

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