一、選擇題
1．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為( )
A.B.C.D.
2．關(guān)于空間向量，下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是( )
A.B.
C.D.
3．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，則C的方程為( )
A.B.
C.D.
4．已知，，，若，，共面，則( )
A.0B.1C.2D.-1
5．圖中展示的是一座拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面，水面寬，水面下降后，水面寬度為( )
A.B.C.D.
6．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交C于A、B兩點(diǎn)，且M是的中點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率為( )
A.B.C.D.
7．若動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，且和定圓C：外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為( )
A.B.
C.D.
8．已知，，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得，則t的取值范圍為( )
A.B.
C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)與C在第一象限的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作C的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，下列結(jié)論正確的是( )
A.直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)FB.直線(xiàn)l的傾斜角為
C.D.是等邊三角形
10．圓和圓的交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在圓上，則( )
A.直線(xiàn)的方程為
B.線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為
C.
D.點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離的最大值為8
11．若平面，平面，平面，則稱(chēng)點(diǎn)F為點(diǎn)E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，，記平面為，平面ABCD為，，( )
A.若，則
B.存在點(diǎn)H，使得平面
C.線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值是
D.存在點(diǎn)H，使得
三、填空題
12．若直線(xiàn)與互相垂直，則__________.
13．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，F(xiàn)是的中點(diǎn)，則______________.
14．已知橢圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)與在第一象限的交點(diǎn)為P，且，記的離心率分別為，則______________.
四、解答題
15．已知在中，，，，記的外接圓為圓M.
(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)A且與圓M相切的直線(xiàn)的方程.
16．如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，分別為的中點(diǎn)，.
(1)證明：平面.
(2)求二面角的余弦值.
17．已知橢圓的右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，M是與的一個(gè)公共點(diǎn)，，.
(1)求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A且與相切的直線(xiàn)l與交于點(diǎn)，求.
18．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面.
(1)證明：.
(2)點(diǎn)D在線(xiàn)段上，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值.
19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)左?右頂點(diǎn)分別為，圓過(guò)點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為D，且.
(1)求C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的左?右兩支的交點(diǎn)分別為Q，P，連接并延長(zhǎng)，交雙曲線(xiàn)C于點(diǎn)R，記直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為B，證明：點(diǎn)B在曲線(xiàn)上.
參考答案
1．答案：C
解析：雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為，
其漸近線(xiàn)方程是，
整理得．
故選：C
2．答案：D
解析：根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知：，，
均成立，
即A、B、C正確；
為與共線(xiàn)的向量，
為與共線(xiàn)的向量，
所以與不一定相等，故D錯(cuò)誤．
故選：D
3．答案：A
解析：由題意可得
解得，
所以橢圓C的方程為.
故選：A
4．答案：D
解析：因?yàn)楣裁妫?br>所以，
即，
則
解得.
故選：D
5．答案：C
解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn).設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，
由點(diǎn)可得，
解得，所以.
當(dāng)時(shí)，，所以水面寬度為.
故選：C.
6．答案：A
解析：若線(xiàn)段軸，
則線(xiàn)段的中點(diǎn)在x軸上，不合乎題意，
所以，直線(xiàn)的斜率存在，
設(shè)、，
由題意可得，，
則，
兩式相減可得，
所以，，
解得，
因此，直線(xiàn)的斜率為.
故選：A
7．答案：D
解析：定圓的圓心為，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
設(shè)，由兩圓外切可得，
所以,
所以P的軌跡為雙曲線(xiàn)的右支.
設(shè)P的軌跡方程為，
則，
所以軌跡方程為.
故選：D
8．答案：B
解析：設(shè)，
則，，
因，
所以，
即，
所以點(diǎn)P在以為圓心，4為半徑的圓上.
點(diǎn)P在直線(xiàn)上，
所以直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，
則，解得
故選:B
9．答案：ABD
解析：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，
而，
所以直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F，故A正確；
設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角，
因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，，
所以，即直線(xiàn)l的傾斜角為，故B正確；
因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，由拋物線(xiàn)定義可知，，
又，
所以是等邊三角形，故D正確.
故選：ABD
10．答案：ABD
解析：對(duì)于A，將兩圓的方程作差，可得，
即直線(xiàn)的方程為，A正確.
對(duì)于B，圓，圓，
圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)經(jīng)過(guò)和的圓心，
故線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為，故B正確.
對(duì)于C，圓的圓心到直線(xiàn)的距離為，
故，C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離的最大值為，D正確.
故選：ABD
11．答案：ABC
解析：對(duì)于A：因?yàn)闉橹彼睦庵?，?br>所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，連接PQ，
則，，，，，
故，，
所以，
即Q，B，N，P四點(diǎn)共面，
若，
則，解得，A正確；
對(duì)于B：過(guò)點(diǎn)H作，
交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作AB的垂線(xiàn)，垂足即，
過(guò)點(diǎn)A作的垂線(xiàn)，垂足即，連接，，
由題意可得，
則，，，，
故，，，，
易得是平面的一個(gè)法向量，若平面，
則，
即，
解得，符合題意，
所以存在點(diǎn)H，使得平面，B正確，
對(duì)于C：，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，C正確.
對(duì)于D：若，
則，
得，無(wú)解，
所以不存在點(diǎn)H，使得，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
12．答案：1
解析：直線(xiàn)的斜率，
則直線(xiàn)的斜率，
解得.
故答案為：1
13．答案：6
解析：棱長(zhǎng)為2的正方體中，
連接，則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
.
故選：
14．答案：2
解析：由題意可知，，
所以.
因?yàn)椋?br>所以
即，
所以，
故答案為：2
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)直線(xiàn)的方程為，A、B的中點(diǎn)為，
所以線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為，
直線(xiàn)的方程為，A、C的中點(diǎn)為，
線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為.
直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，
即圓M的圓心為.
點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，
即圓M的半徑為，
所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)圓M的圓心為，，直線(xiàn)的斜率為，
所以切線(xiàn)斜率為，
所求切線(xiàn)方程為，
整理得.
16．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：(1)設(shè)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則
即
令，則.
證明：.
因?yàn)椋?br>所以，
平面，所以平面.
(2)易知為平面的一個(gè)法向量，且.
.
易得二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
17．答案：(1)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)
解析：(1)記，則拋物線(xiàn)的方程為，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為.
因?yàn)椋?br>解得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，
記，
因?yàn)椋?br>所以，解得.
因?yàn)椋裕?br>即.
由
解得
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則.
設(shè)直線(xiàn).
聯(lián)立
得.
由，
解得，則.
設(shè).
聯(lián)立
得，
則，
故.
18．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：(1)證明：取的中點(diǎn)O，連接.
因?yàn)闉榈冗吶切?，所?
因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，所?
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面，
所以.
(2)因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面?br>所以平面.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，
則
.
設(shè)平面的法向量為，
則
即
令，則，
所以.
設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值為.
19．答案：(1)
(2)證明見(jiàn)解析
解析：(1)因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，
得，所以，.
在中，，
所以，
所以是等邊三角形，.
雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)的斜率為，
即，所以.
故C的方程為.
(2)證明點(diǎn)B在曲線(xiàn)上，
即證明點(diǎn)B在曲線(xiàn)上.
設(shè)直線(xiàn)，
則.
聯(lián)立
得，
則.
直線(xiàn)的方程為，
直線(xiàn)的方程為
將直線(xiàn)與直線(xiàn)的方程變形可得,
即,
①+②得，
即，
即，
化簡(jiǎn)可得.
①-②得，
，
，
，
化簡(jiǎn)得.
將代入可得，
即點(diǎn)B在曲線(xiàn)上.

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