一、選擇題
1．若集合,,則集合B中的元素個數(shù)為( )
A.9B.6C.4D.3
2．在如圖所示中,二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象只可為( )
A.B.
C.D.
3．在復平面內,復數(shù),對應的點關于實軸對稱,,則( )
A.-5B.5C.D.
4．已知一個高為6的圓錐被平行于底面的平面截去一個高為3的圓錐,所得圓臺的上、下底面圓周均在球O的球面上,球O的體積為,且球心O在該圓臺內,則該圓臺的表面積為( )
A.B.
C.D.
5．二項式展開式中的系數(shù)為( )
A.120B.135C.D.
6．設,,且,則下列結論正確的個數(shù)為( )
①
②
③
④
A.1B.2C.3D.4
7．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為,滿足：,,且當時,,則不等式的解集為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)滿足,設,若,當則( )
A.B.
C.D.
9．下列結論中正確的是( )
A.若,則
B.若a是第二象限角,則為第一象限或第三象限角
C.若角a的終邊過點,則
D.若扇形的周長為6,半徑為2,則其中心角的大小為1弧度
二、多項選擇題
10．已知圓,直線,則下列說法正確的是( )
A.直線l恒過定點
B.直線l被圓C截得的弦最長時,
C.直線l被圓C截得的弦最短時,
D.直線l被圓C截得的弦最短弦長為
11．已知等差數(shù)列的前n項和為,公差.若,則( )
A.B.C.D.
12．若函數(shù)對定義域D內的每一個,都存在唯一的,使得成立,則稱為“自倒函數(shù)”.則下列結論正確的是( )
A.是“自倒函數(shù)”
B.“自倒函數(shù)”可以是奇函數(shù)
C.“自倒函數(shù)”的值域可以是R
D.若,都是“自倒函數(shù)”且定義域相同,則也是“自倒函數(shù)”
三、填空題
13．已知非零向量,滿足,且,則與的夾角為__________.
14．已知橢圓的左、右焦點為、,點關于直線的對稱點P仍在橢圓上,則的周長為______________.
15．設為實數(shù)a,b,c中最大的數(shù).若,,,,則的最小值為________________.
四、解答題
16．一批產品需要進行質量檢驗,檢驗方案是:先從這批產品中任取4件作檢驗,這4件產品中優(yōu)質品的件數(shù)記為n.如果,再從這批產品中任取4件作檢驗,若都為優(yōu)質品,則這批產品通過檢驗;如果,再從這批產品中任取1件作檢驗,若為優(yōu)質品,則這批產品通過檢驗;其他情況下,這批產品都不能通過檢驗.
假設這批產品的優(yōu)質品率為50%,即取出的產品是優(yōu)質品的概率都為,且各件產品是否為優(yōu)質品相互獨立
(1)求這批產品通過檢驗的概率;
(2)已知每件產品檢驗費用為100元,凡抽取的每件產品都需要檢驗,對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位:元),求X的分布列.
17．在公差不為零的等差數(shù)列中,,且,,成等比數(shù)列,數(shù)列的前n項和滿足.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)設,數(shù)列的前n項和,若不等式對任意恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
18．如圖,在三棱錐中,平面平面,,,,D,E分別為線段,上的點,且,,.
(1)求證：平面;
(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成的二面角的大小.
19．已知數(shù)列的前n項和為,.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;
(2)若 ,求數(shù)列的前n項和.
從①和②這兩個條件中任意選擇一個填入上面橫線上,并完成解答.
20．如圖,在直三棱柱中,平面?zhèn)让?且.
(1)求證：;
(2)若直線與平面所成的角為,請問在線段上是否存在點E,使得二面角的大小為,若存在請求出E的位置,不存在請說明理由.
21．如圖,已知橢圓的左焦點為,點P是橢圓C上位于第一象限的點,M,N是y軸上的兩個動點(點M位于x軸上方),滿足且,線段PN交x軸于點Q.
(1)若,求點P的坐標;
(2)若四邊形為矩形,求點M的坐標;
(3)求證:為定值.
參考答案
1．答案：D
解析：的數(shù)對共9對,其中,,滿足,
所以集合B中的元素個數(shù)共3個.
2．答案：C
解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)可知a,b同號且不相等,
則二次函數(shù)的對稱軸在y軸左側,又過坐標原點,
故選：C.
3．答案：B
解析：復數(shù),對應的點關于實軸對稱,,
所以,
所以.
故選：B.
4．答案：B
解析：設圓錐的底面半徑為,依題意得該圓臺的上底面半徑為R,且圓臺的高為3.
設球心O到圓臺上底面的距離為a,球O的半徑為R,
由球O的體積為,解得,
因為點O在該圓臺內,則, 解得,
可得該圓臺的母線長,
所以圓臺的表面積為.
故選：B.
5．答案：D
解析：展開式通項為：,
令,則展開式中的系數(shù)為;
令,則展開式中的系數(shù)為;
令,則展開式中的系數(shù)為;
展開式中的系數(shù)為.
故選：D.
6．答案：C
解析：因為,故可得,當且僅當取得等號;
①,錯誤;
②,當且僅當時取得等號,正確;
③令,,,
故在單調遞增,,即當,;
,又,即,解得,故;
故,也即,正確;
④令,,
則,
故當時,,單調遞增;當時,,單調遞減;
故的最大值為;由C可知,,
則,正確;
故選：C.
7．答案：A
解析：令,則可得
所以是上的奇函數(shù),
,
當時,,所以,
是上單調遞增,
所以是上單調遞增,
因為,
由可得即,
由是上單調遞增,可得 解得：,
所以不等式的解集為,
故選：A.
8．答案：A
解析：
,
因此,,A正確;
而,B錯誤;
由,得,
則,
由于,D錯誤;
因為,單調遞減,
又,
因此當時,,當時,,C錯誤.
故選：A.
9．答案：ABD
解析：解對于A,由三角函數(shù)的定義可知,,,其中,
因為,所以,,所以,所以,所以A正確;
對于B,由于a是第二象限角,所以,,
所以,,當時,,,
則為第一象限的角;當時,,,
則為第三象限的角,綜上為第一象限或第三象限角,所以B正確;、
對于C,由于角a的終邊過點,所以,所以C錯誤;
對于D,設扇形的圓心角為,則由題意得,得,所以D正確,
故選：ABD.
10．答案：ABC
解析：對于選項A：直線l的方程可化為,
令,解得,
所以直線恒過定點,故A正確;
對于選項B：因為,即點在圓C內,
當直線l過圓心C時,直線被圓截得的弦長最長,
此時,解得,故B正確;
對于選項C：當直線時,直線被圓截得的弦長最短,
直線l的斜率為,,
由,解得,故C正確;
對于選項D：此時直線l的方程是,
圓心到直線的距離為,
可得,
所以最短弦長是,故D錯誤.
故選：ABC.
11．答案：ABD
解析：由題意,又,
結合二次函數(shù)性質知：對稱軸,且,即,
所以,,.
綜上,A、B、D對,C錯.
故選：ABD.
12．答案：AB
解析：對于A,,任取,有,
,且;
由,得,
即, ,
且,即,
顯然存在唯一的滿足題意.
是上的自倒函數(shù),所以A正確;
對于B,當是奇函數(shù)時,不妨設,其中,
則任取,有,
由得,其中,
是定義域上的自倒函數(shù),所以B正確;
對于C,若自倒函數(shù)的值域是R,則當時,不存在,使得成立,
所以自倒函數(shù)的值域不可以是R,命題不成立,所以C錯誤;
對于D,當,都是自倒函數(shù),且定義域相同時,函數(shù)不一定是自倒函數(shù),
例如,其中,則不是自倒函數(shù),
因為由,得, 不唯一,故命題不成立,所以D錯誤.
故選：AB.
13．答案：
解析：由題設,,又,
,且,為非零向量,
,又,
.
故答案為：.
14．答案：
解析：設,,
關于直線的對稱點P坐標為,
點P在橢圓上,則：,
則,,則,
故的周長為：.
15．答案：2
解析：設,
則,,,
因為 ,當時,只需考慮,,
又因為,,
兩式相乘得,可得,當且僅當時取等號,
當時,,只需考慮,,
兩式相乘得,
則,當且僅當時取等號,
因為,故,綜上所述,A的最小值為2.
故答案為：2.
16．答案：(1)
(2)分布列見解析
解析：(1)設第一次取出的4件產品中恰有3件優(yōu)質品為事件,第一次取出的4件產品全是優(yōu)質品為事件,
第二次取出的4件產品全是優(yōu)質品為事件,第二次取出的1件產品是優(yōu)質品為事件,
這批產品通過檢驗為事件A,依題意有,且與互斥,
所以
;
(2)X可能的取值為400,500,800,并且,,
,故X的分布列如下：
17．答案：(1),
(2)
解析：(1)設等差數(shù)列的公差為,,且,,成等比數(shù)列,
,即,解得或（舍去）,
所以.
數(shù)列的前n項和,
當時,,
當時,,,
即數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,
.
(2)由(1)可得,
.
令,,
單調遞增,.
,,.
18．答案：(1)證明見解析;
(2).
解析：(1)因為,,,所以,
所以,可得,
又因為,
所以
,可得,
又因為,所以,所以,
因為平面平面,平面平面,面,
所以平面,因為面,所以,
因為,,所以平面;
(2)由(1)知,,兩兩垂直,如圖分別以,,所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
因為直線與平面所成的角為,即,所以,
則,,,,
所以,,,
因為,,所以,
由(1)知,所以,
又平面,面,所以,
因為,所以平面,
所以為平面的一個法向量,
設平面的法向量為,
由,令,得,,
所以為平面的一個法向量.
所以,
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為,
故平面與平面所成的銳二面角為.
19．答案：(1)證明見解析,
(2)答案見解析
解析：(1)依題意可得,
兩式相減并化簡得,所以,
又,,解得.
所以,故
由于,所以,于是.
故數(shù)列是首項為3,公比為3的等比數(shù)列,
,即
(2)選①: 由(1)得,
則,
兩式相減得：
所以.
選②: 由(1)得,
所以
（i）當n為偶數(shù)時,
（ii）當n為奇數(shù)時,

綜上所述
20．答案：(1)證明見解析
(2)存在,點E為線段中點
解析：(1)證明：連接交于點D,
因,則
由平面?zhèn)让?且平面?zhèn)让?
得平面,又平面,所以.
三棱柱是直三棱柱,則底面ABC,所以.
又,從而側面,
又側面,故.
(2)由(1)平面,則直線與平面所成的角,
所以,又,所以,,
假設在線段上存在一點E,使得二面角的大小為,
由是直三棱柱,所以以點A為原點,以AC?所在直線分別為y,z軸,以過A點和AC垂直的直線為x軸,建立空間直角坐標系,
如圖所示,則,,,,
且設, ,
得
所以,
設平面的一個法向量,
由,得：,取,
由(1)知平面,所以平面的一個法向量,
所以,解得,
點E為線段中點時,二面角的大小為.
21．答案：(1)
(2)
(3)證明見解析
解析：(1)橢圓,,,,,
,,,
設,且P在第一象限,,,,.
則.
(2)設,,,
由于,所以.
①,
由于,
所以
②,
由于四邊形為矩形,,
所以③,
由于四邊形為矩形,,
所以④,
③-④并化簡得,
,
由于,所以,,代入②得：
,,,,,代入③得：
,由于,故解得,所以.
(3)令,,
由①②得,
,
,將代入得
,,
,,
,由于,所以,.
所以為定值.
X
400
500
800
P

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