1．（3分）下列二次根式中，不能與合并的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．x（x+1）＝x2﹣1
C．D．
3．（3分）下列代數(shù)式中，二次根式的有理化因式可以是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列各點(diǎn)中，在正比例函數(shù)的圖象上的是（ ）
A．B．（﹣3，﹣1）C．（0，﹣1）D．（6，3）
5．（3分）對(duì)所有實(shí)數(shù)a，b，下列等式從左到右一定成立的是（ ）
A．
B．
C．＝﹣|a|
D．
6．（3分）如圖是某函數(shù)的圖象，當(dāng)a≤x≤b時(shí)，若在該函數(shù)圖象上可以找到n個(gè)不同的點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn），使得恒成立，則n的值不可能是（ ）
A．2B．5C．6D．7
二、填空題（本大題共12題，每題2分，滿分24分）
7．（2分）化簡(jiǎn)：＝ ．
8．（2分）計(jì)算：×．
9．（2分）函數(shù)的定義域是 ．
10．（2分）方程x2＝3x的根是 ．
11．（2分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x2﹣4x﹣1＝ ．
12．（2分）已知正比例函數(shù)y＝（2﹣5m）x，y的值隨x的增大而增大，那么m的取值范圍是 ．
13．（2分）已知函數(shù)f（x）＝2x+1，如果f（a）＝3，那么a＝ ．
14．（2分）已知關(guān)于y的一元二次方程y2+2y﹣k＝1有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ．
15．（2分）某文具店為迎接“購(gòu)物節(jié)”，提高水筆銷量，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后（每次降價(jià)的百分率相同），由每盒25元降至每盒16元．則降價(jià)的百分率為 ．
16．（2分）若正比例函數(shù)y＝2x（x＜0）圖象上一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是，則這點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
17．（2分）如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程稱為“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．已知關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“差1方程”，則m的值為 ．
18．（2分）已知p、q是實(shí)數(shù)，有且只有三個(gè)不同的x滿足方程|x2+px+q|＝3，則q的最小值是 ．
三、簡(jiǎn)答題（本大題共4題，每題5分，滿分20分）
19．（5分）計(jì)算：．
20．（5分）計(jì)算：．
21．（5分）解方程：（2x+1）2＝2x2+x．
22．（5分）用配方法解方程：3x2﹣6x+2＝0．
四、解答題（本大題共6題，第23、24題每題5分，第25、26、27題每題6分，第28題10分，滿分38分）
23．（5分）已知，求代數(shù)式的值．
24．（5分）已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根和m的值．
25．（6分）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，且經(jīng)過(guò)P（k+2，4k+3）．
（1）求k的值．
（2）當(dāng)時(shí)，求x的值．
26．（6分）已知關(guān)于x的方程（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為整數(shù)，且m＜3，a是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．
27．（6分）同學(xué)們開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中取得了系列豐碩的成果，需要推廣宣傳．原計(jì)劃使用一塊正方形ABCD場(chǎng)地布展，后經(jīng)過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)與寬之比為3：2的長(zhǎng)方形AGFE場(chǎng)地展覽效果更好，因此需要把長(zhǎng)增加6米，寬增加2米（如圖1）．
（1）直接寫出長(zhǎng)方形區(qū)域AEFG的寬AG是 m，長(zhǎng)AE是 m．
（2）現(xiàn)計(jì)劃將長(zhǎng)方形區(qū)域AEFG按圖2的方式進(jìn)行劃分，展示四個(gè)小組的項(xiàng)目成果，在各展區(qū)之間留寬度相等的過(guò)道．如果各展區(qū)的總面積為60m2，求過(guò)道的寬度.
28．（10分）如圖，點(diǎn)P（1，a）在直線y＝3x上，直線y＝kx（0＜k＜1）上有一點(diǎn)Q（b，1）．
（1）求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)（其中點(diǎn)Q坐標(biāo)用含k的代數(shù)式表示）；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸，過(guò)點(diǎn)Q作QB⊥x軸，垂足分別是A、B．如果△APQ的面積是△OPQ面積的，請(qǐng)求出k的值；
（3）在（2）的條件下，線段PA與直線y＝kx相交于點(diǎn)G，直線y＝3x上是否存在點(diǎn)D，使？如果存在，請(qǐng)直接寫出D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2024-2025學(xué)年上海市黃浦區(qū)格致初級(jí)中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共6題，每題3分，滿分18分）
1．（3分）下列二次根式中，不能與合并的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次根式的乘除法，可化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)相同，可得答案．
【解答】解：A、，故A能與合并；
B、，故B能與合并；
C、，故C不能與合并；
D、，故D能與合并；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式，被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．x（x+1）＝x2﹣1
C．D．
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【解答】解：A、選項(xiàng)中的式子中含有分式，該方程不是一元二次方程，不符合題意；
B、選項(xiàng)中的式子化簡(jiǎn)可得x+1＝0，未知數(shù)的次數(shù)是1，不是一元二次方程，不符合題意；
C、選項(xiàng)中的式子不是整式方程，所以該方程不是一元二次方程，不符合題意；
D、選項(xiàng)中的式子是一元二次方程，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是關(guān)鍵．
3．（3分）下列代數(shù)式中，二次根式的有理化因式可以是（ ）
A．B．C．D．
【分析】二次根式的有理化因式就是與原式相乘可以將原式中的根號(hào)化去的式子，即可得出答案．
【解答】解：∵×＝a﹣b，
∴二次根式的有理化因式是：．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分母有理化，掌握分母有理化的方法是關(guān)鍵．
4．（3分）下列各點(diǎn)中，在正比例函數(shù)的圖象上的是（ ）
A．B．（﹣3，﹣1）C．（0，﹣1）D．（6，3）
【分析】將點(diǎn)橫坐標(biāo)代入，求函數(shù)值，然后判斷作答即可．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，y＝，不在正比例函數(shù)的圖象上，故A不符合要求；
當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝﹣1，（﹣3，﹣1）在正比例函數(shù)的圖象上，故B符合要求；
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，（0，﹣1）不在正比例函數(shù)的圖象上，故C不符合要求；
當(dāng)x＝6時(shí)，y＝2，（6，3）不在正比例函數(shù)的圖象上，故D不符合要求；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正比例函數(shù)的圖象．熟練掌握正比例函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）對(duì)所有實(shí)數(shù)a，b，下列等式從左到右一定成立的是（ ）
A．
B．
C．＝﹣|a|
D．
【分析】A．根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)判斷即可；
B．根據(jù)二次根式有意義的條件判斷即可；
C．根據(jù)偶次方的非負(fù)性質(zhì)判斷即可；
D．根據(jù)二次根式乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解答】解：當(dāng)a≥b時(shí)，＝a﹣b，
當(dāng)a＜b時(shí)，＝b﹣a，
∴A不一定成立，不符合題意；
當(dāng)a＞0且b＞0時(shí)，＝，
當(dāng)a＜0且b＜0時(shí)，和均無(wú)意義，
∴B不一定成立，不符合題意；
（﹣）2＝|a|，
∴C不成立，不符合題意；
?＝＝，
∴D一定成立，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分母有理化、二根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、二次根式乘除法，掌握算術(shù)平方根和偶次方的非負(fù)性質(zhì)、二次根式有意義的條件、二次根式乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖是某函數(shù)的圖象，當(dāng)a≤x≤b時(shí)，若在該函數(shù)圖象上可以找到n個(gè)不同的點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn），使得恒成立，則n的值不可能是（ ）
A．2B．5C．6D．7
【分析】設(shè)，則在該函數(shù)圖象上n個(gè)不同的點(diǎn)，（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn），也都在正比例的圖象上，畫出函數(shù)圖象，觀察正比例函數(shù)y＝kx與其交點(diǎn)情況即可求解．
【解答】解：設(shè)，則在該函數(shù)圖象上n個(gè)不同的點(diǎn)，（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn），也都在y＝kx的圖象上，畫出函數(shù)圖象觀察交點(diǎn)即可求解．
如圖1
正比例函數(shù)與該函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故A不符合；
如圖2
正比例函數(shù)與該函數(shù)圖象有5個(gè)交點(diǎn)，故B不符合；
如圖3
正比例函數(shù)與該函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn)，故C不符合；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)圖象，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共12題，每題2分，滿分24分）
7．（2分）化簡(jiǎn)：＝ 4 ．
【分析】根據(jù)二次根式的乘法，可化簡(jiǎn)二次根式．
【解答】解：，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，二次根式的乘法法則是解題關(guān)鍵．
8．（2分）計(jì)算：×．
【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算，然后化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘除法：熟練掌握二次根式的乘法法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
9．（2分）函數(shù)的定義域是 x＞1 ．
【分析】本題考查了函數(shù)式有意義的x的取值范圍．一般地從兩個(gè)角度考慮：分式的分母不為0；偶次根式被開方數(shù)大于或等于0；當(dāng)一個(gè)式子中同時(shí)出現(xiàn)這兩點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該是取讓兩個(gè)條件都滿足的公共部分．
【解答】解：根據(jù)題意得到：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故答案為：x＞1．
【點(diǎn)評(píng)】判斷一個(gè)式子是否有意義，應(yīng)考慮分母上若有字母，字母的取值不能使分母為零，二次根號(hào)下字母的取值應(yīng)使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．易錯(cuò)易混點(diǎn)：學(xué)生易對(duì)二次根式的非負(fù)性和分母不等于0混淆．
10．（2分）方程x2＝3x的根是 0或3 ．
【分析】本題應(yīng)對(duì)方程進(jìn)行變形，提取公因式x，將原式化為兩式相乘的形式，再根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”來(lái)解題．
【解答】解：x2＝3x
x2﹣3x＝0
即x（x﹣3）＝0
∴x＝0或3
故本題的答案是0或3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．本題運(yùn)用的是因式分解法．
11．（2分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x2﹣4x﹣1＝ ．
【分析】先拆項(xiàng)，將﹣1拆成4﹣5，再根據(jù)完全平方公式變形，最后根據(jù)平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4x+4﹣5
＝（x﹣2）2﹣5
＝（x﹣2）2﹣（）2
＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，能選擇正確的方法分解因式是解此題的關(guān)鍵．注意分解因式要徹底．
12．（2分）已知正比例函數(shù)y＝（2﹣5m）x，y的值隨x的增大而增大，那么m的取值范圍是 m＜ ．
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的增減性解答即可．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝（2﹣5m）x，y的值隨x的增大而增大，
∴2﹣5m＞0，
解得：m＜．
故答案為：m＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握正比例函數(shù)增減性是關(guān)鍵．
13．（2分）已知函數(shù)f（x）＝2x+1，如果f（a）＝3，那么a＝ 1 ．
【分析】把x＝a代入f（x）＝2x+1求解即可．
【解答】解：把x＝a代入函數(shù)得：f（a）＝2a+1＝3，
解得：a＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查求一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握代入求值是關(guān)鍵．
14．（2分）已知關(guān)于y的一元二次方程y2+2y﹣k＝1有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 k≥﹣2 ．
【分析】先把方程化為一般式，再利用根的判別式的意義得到Δ＝22﹣4[﹣（k+1）]≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：原方程化為一般式為y2+2y﹣（k+1）＝0
根據(jù)題意得Δ＝22﹣4[﹣（k+1）]≥0，
解得k≥﹣2．
故答案為：k≥﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
15．（2分）某文具店為迎接“購(gòu)物節(jié)”，提高水筆銷量，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后（每次降價(jià)的百分率相同），由每盒25元降至每盒16元．則降價(jià)的百分率為 20% ．
【分析】設(shè)降價(jià)的百分率為x，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后（每次降價(jià)的百分率相同），由每盒25元降至每盒16元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【解答】解：設(shè)降價(jià)的百分率為x，
由題意得：25（1﹣x）2＝16，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合題意，舍去），
即降價(jià)的百分率為20%，
故答案為：20%．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）若正比例函數(shù)y＝2x（x＜0）圖象上一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是，則這點(diǎn)的坐標(biāo)為 （2，4）或（﹣2，﹣4） ．
【分析】根據(jù)題意可知該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或﹣2，代入解析式分別求出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)即可．
【解答】解：∵圖象上一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是，
∴該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或﹣2，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣4，
∴該點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）或（﹣2，﹣4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．
17．（2分）如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程稱為“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．已知關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“差1方程”，則m的值為 ﹣2或0 ．
【分析】設(shè)方程的兩個(gè)根為x1，x2（x1＜x2），由題意，得：x1+x2＝m﹣1，x1x2＝﹣m，x2﹣x1＝1，利用完全平方公式的變形式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)方程的兩個(gè)根為x1，x2（x1＜x2），由題意，得：x1+x2＝m﹣1，x1x2＝﹣m，x2﹣x1＝1，
∴，
解得：m＝﹣2或m＝0，
故答案為：﹣2或0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
18．（2分）已知p、q是實(shí)數(shù)，有且只有三個(gè)不同的x滿足方程|x2+px+q|＝3，則q的最小值是 ﹣3 ．
【分析】由方程|x2+px+q|＝3得到x2+px+q﹣3＝0，x2+px+q+3＝0，根據(jù)判別式得到Δ1＝p2﹣4q+12，Δ2＝p2﹣4q﹣12，依此可Δ2＝0，Δ1＝24，可得p2﹣4q﹣12＝0，依此可求q的最小值．
【解答】解：∵|x2+px+q|＝3，
∴x2+px+q﹣3＝0①，
x2+px+q+3＝0②，
∴Δ1＝p2﹣4q+12，
Δ2＝p2﹣4q﹣12，
∴Δ1＞Δ2，
∵有且只有三個(gè)不同的x值滿足方程|x2+px+q|＝3，
∴Δ2＝0，Δ1＝24，
∴p2﹣4q﹣12＝0，
∴q＝p2﹣3，
當(dāng)p＝0時(shí)，q的最小值﹣3．
故答案為：﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，根的判別式，根據(jù)題意由根的判別式得到p2﹣4q﹣8＝0是解題的關(guān)鍵．
三、簡(jiǎn)答題（本大題共4題，每題5分，滿分20分）
19．（5分）計(jì)算：．
【分析】根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）計(jì)算：．
【分析】先根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)，再結(jié)合二次根式乘除運(yùn)算法則求解即可得到答案．
【解答】解：解法一：
原式＝
＝
＝；
解法二：
原式＝
＝
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式乘除混合運(yùn)算，涉及二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式被開方式非負(fù)、二次根式乘法運(yùn)算法則及二次根式除法運(yùn)算法則等，熟練掌握二次根式性質(zhì)及乘除運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
21．（5分）解方程：（2x+1）2＝2x2+x．
【分析】整理成一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：整理得2x2+3x+1＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝1，
∴Δ＝9﹣4×2×1＝1＞0，
則x＝，即x1＝﹣，x2＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）用配方法解方程：3x2﹣6x+2＝0．
【分析】根據(jù)配方法，可得答案．
【解答】解：移項(xiàng)，得
3x2﹣6x＝﹣2，
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得
x2﹣2x＝﹣，
配方，得
（x﹣1）2＝，
開方，得
x1＝，x2＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，配方是解題關(guān)鍵，配方法的步驟是移項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，配方，開方．
四、解答題（本大題共6題，第23、24題每題5分，第25、26、27題每題6分，第28題10分，滿分38分）
23．（5分）已知，求代數(shù)式的值．
【分析】先分母有理化得到x+2＝，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得到原式＝，約分得原式＝，然后把x的值代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵x＝＝﹣2，
∴x+2＝，
∴原式＝＝＝＝＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．也考查了分母有理化．
24．（5分）已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根和m的值．
【分析】設(shè)另一根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2+t＝6，2t＝m2﹣2m+5，先求出t，然后解關(guān)于m的一元二次方程．
【解答】解：設(shè)另一根為t，
根據(jù)題意得2+t＝6，2t＝m2﹣2m+5，
所以t＝4，m2﹣2m+5＝8，即m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝3，m2＝﹣1，
所以另一個(gè)根為4，m的值為3或﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝，x1x2＝．
25．（6分）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，且經(jīng)過(guò)P（k+2，4k+3）．
（1）求k的值．
（2）當(dāng)時(shí)，求x的值．
【分析】（1）將P（k+2，4k+3）坐標(biāo)代入解析式，解一元二次方程即可得到k值；
（2）由（1）可得正比例函數(shù)解析式，將y＝代入解析式求出x值即可．
【解答】解：（1）∵正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，且經(jīng)過(guò)P（k+2，4k+3），
∴4k+3＝k（k+2）（k＞0），
整理得：k2﹣2k﹣3＝0，
解得：k＝3或k＝﹣1（舍去）．
∴k＝3．
（2）由（1）可知，正比例函數(shù)解析式為y＝3x，
當(dāng)y＝時(shí)，＝3x，
解得：x＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．
26．（6分）已知關(guān)于x的方程（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為整數(shù)，且m＜3，a是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義，根的判別式來(lái)求解；
（2）根據(jù)題意先求出m，進(jìn)而得到a2﹣4a＝﹣2，再代入代數(shù)式中進(jìn)行計(jì)算求解．
【解答】（1）解：∵關(guān)于x的方程（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴m2﹣m≠0，
解得m1≠0，m2≠1，
Δ＝（﹣4m）2﹣4（m2﹣m）×4＝16m＞0．
∴m＞0，
∴m＞0且m≠1．
（2）解：由題意得：0＜m＜3，
∵m為m≠1的整數(shù)，
∴m＝2．
將x＝a，m＝2代入（m2﹣m）x2﹣4mx+4＝0，
得：a2﹣4a＝﹣2，
∴
＝
＝
＝，
將a2﹣4a＝﹣2代入中，得原式＝×（﹣2）+＝﹣1+＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義，代數(shù)式求值，理解根的判別式是解答關(guān)鍵．
27．（6分）同學(xué)們開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中取得了系列豐碩的成果，需要推廣宣傳．原計(jì)劃使用一塊正方形ABCD場(chǎng)地布展，后經(jīng)過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)與寬之比為3：2的長(zhǎng)方形AGFE場(chǎng)地展覽效果更好，因此需要把長(zhǎng)增加6米，寬增加2米（如圖1）．
（1）直接寫出長(zhǎng)方形區(qū)域AEFG的寬AG是 8 m，長(zhǎng)AE是 12 m．
（2）現(xiàn)計(jì)劃將長(zhǎng)方形區(qū)域AEFG按圖2的方式進(jìn)行劃分，展示四個(gè)小組的項(xiàng)目成果，在各展區(qū)之間留寬度相等的過(guò)道．如果各展區(qū)的總面積為60m2，求過(guò)道的寬度.
【分析】（1）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x m，則AB＝AD＝x m，AG＝（x+2）m，AE＝（x+6）m，根據(jù)長(zhǎng)與寬之比為3：2的長(zhǎng)方形AGFE場(chǎng)地展覽效果更好，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）設(shè)過(guò)道的寬度為y m，則各展區(qū)可合成長(zhǎng)為（12﹣y）m，寬為（8﹣y）m的矩形，根據(jù)各展區(qū)的總面積為60m2，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【解答】解：（1）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x m，則AB＝AD＝x m，AG＝（x+2）m，AE＝（x+6）m，
由題意得：（x+6）：（x+2）＝3：2，
解得：x＝6，
∴x+2＝8，x+6＝12，
即AG＝8m，AE＝12m，
故答案為：8，12；
（2）設(shè)過(guò)道的寬度為y m，則各展區(qū)可合成長(zhǎng)為（12﹣y）m，寬為（8﹣y）m的矩形，
由題意得：（12﹣y）（8﹣y）＝60，
整理得：y2﹣20y+36＝0，
解得：y1＝2，y1＝18（不合題意，舍去），
答：過(guò)道的寬度為2m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
28．（10分）如圖，點(diǎn)P（1，a）在直線y＝3x上，直線y＝kx（0＜k＜1）上有一點(diǎn)Q（b，1）．
（1）求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)（其中點(diǎn)Q坐標(biāo)用含k的代數(shù)式表示）；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸，過(guò)點(diǎn)Q作QB⊥x軸，垂足分別是A、B．如果△APQ的面積是△OPQ面積的，請(qǐng)求出k的值；
（3）在（2）的條件下，線段PA與直線y＝kx相交于點(diǎn)G，直線y＝3x上是否存在點(diǎn)D，使？如果存在，請(qǐng)直接寫出D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由點(diǎn)P（1，a）在直線y＝3x上，可得a＝3，即P（1，3）；由直線y＝kx（0＜k＜1）上有一點(diǎn)Q（b，1），可得bk＝1，可求，進(jìn)而可得；
（2）由題意知，A（1，0），，則，，由△APQ的面積是△OPQ面積的，可得，計(jì)算求出滿足要求的解即可；
（3）由題意知，設(shè)D（m，3m），當(dāng)D在第一象限時(shí)，如圖，由，可得，可求D；當(dāng)D在第三象限時(shí)，如圖，D′，由題意知，OD＝OD′，則．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)P（1，a）在直線y＝3x上，
∴a＝3，即P（1，3）；
∵點(diǎn)Q（b，1）在直線y＝kx（0＜k＜1）上，
∴bk＝1，
解得，
∴；
（2）∵PA⊥x軸，QB⊥x軸，點(diǎn)P（1，3），；
∴A（1，0），，
∴，
∴，
∵△APQ的面積是△OPQ面積的，
∴，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解且符合要求；
（3）如圖，設(shè)D（m，3m），
當(dāng)D在第一象限時(shí)，
∵，
∴，
∴D；
當(dāng)D在第三象限時(shí)，
由題意知，OD＝OD′，
∴，
綜上所述，存在，D的坐標(biāo)，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形，解分式方程等知識(shí)．熟練掌握一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形，解分式方程是解題的關(guān)鍵．

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