1．（3分）下列圖形屬于中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）已知⊙O的半徑為5．若OP＝6，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點P在⊙O內(nèi)B．點P在⊙O上C．點P在⊙O外D．無法判斷
3．（3分）將二次函數(shù)y＝5x2的圖象向下平移2個單位，得到的函數(shù)圖象的解析式為（ ）
A．y＝5x2+2B．y＝5x2﹣2C．y＝5（x+2）2D．y＝5（x﹣2）2
4．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一個根是0，則a的值為（ ）
A．﹣2B．1C．2D．0
5．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，若AB＝12，點O到AB的距離是8，則⊙O的半徑是（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．（3分）已知點A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在二次函數(shù)y＝﹣2x2+4的圖象上，則（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y1＞y3＞y2
7．（3分）青山村種的水稻2023年平均每公頃產(chǎn)720kg，2025年平均每公頃產(chǎn)845kg，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．若設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，則根據(jù)題意列出方程為（ ）
A．720（1+x）2＝845B．720（1+2x）＝845
C．720x+720x2＝845D．720（1+x2）＝845
8．（3分）如圖，將Rt△ABC繞其直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DEC，連接AD，若∠B＝55°，則∠ADE等于（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
9．（3分）設(shè)a、b是兩個整數(shù)，若定義一種運算“△”，a△b＝a2+b2+ab，則方程（x+2）△x＝1的實數(shù)根是（ ）
A．x1＝x2＝1B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝﹣2
10．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線交于原點O，，．將菱形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為（ ）
A．（2，）B．C．D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）
11．（3分）拋物線y＝3（x﹣1）2+8的頂點坐標為 ．
12．（3分）已知點A（m，2）與點B（﹣3，n）關(guān)于原點對稱，則m+n的值為 ．
13．（3分）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，則代數(shù)式﹣3a2+6a+2024的值為 ．
14．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC延長線上一點．若∠BCE＝110°，則∠BOD的度數(shù)為 ．
15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，連接DC交AB于點F，則△ACF與△BDF的周長之和為 cm．
16．（3分）如圖①，點A、B是⊙O上兩定點，圓上一動點P從定點B出發(fā)，沿逆時針方向勻速運動到點A，運動時間是x（s），線段AP的長度是y（cm）．圖②是y隨x變化的關(guān)系圖象，則圖中m的值是 ．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
18．（4分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，△ABC的頂點都在格點上．將△ABC繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1，并寫出點A1，B1，C1的坐標．
19．（6分）如圖：＝，D、E分別是半徑OA和OB的中點，求證：CD＝CE．
20．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，求的值．
21．（8分）如圖所示，某學(xué)校有一道長為12米的墻，計劃用26米長的圍欄靠墻圍成一個面積為80平方米的矩形草坪ABCD，求AB的長．
22．（10分）由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“剎車距離”．某公司設(shè)計了一款新型汽車，現(xiàn)在對它的剎車性能（車速不超過150km/h）進行測試，測得數(shù)據(jù)如表：
（1）以車速x為橫坐標，剎車距離y為縱坐標，在坐標系中描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并用平滑曲線連接這些點；
（2）若車速和剎車距離的函數(shù)關(guān)系近似看作二次函數(shù)，請求出這個函數(shù)的解析式（不要求寫出x的取值范圍）；
（3）若該型汽車某次測試的剎車距離為40m，請根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計該車的速度．
23．（10分）如圖所示，AB為⊙O的直徑，在△ABC中，AB＝BC，AC交⊙O于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為點E．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）已知AD＝8，點P為⊙O上一個動點，若點P到弦AD的距離最大值為8．
①尺規(guī)作圖：作出點P到弦AD的距離最大時的位置，保留作圖痕跡；
②求DE的長．
24．（12分）已知拋物線y＝﹣x2+mx+m+與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，﹣），點
P為拋物線在直線AC上方圖象上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線y＝﹣x2+mx+m+在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．現(xiàn)將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個交點，求圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，點D是△ABC外一動點（點B，點D位于AC兩側(cè)），連接CD，AD．
（1）如圖1，點O是AB的中點，連接OC，OD，當△AOD為等邊三角形時，∠ADC的度數(shù)是 ；
（2）如圖2，連接BD，當∠ADC＝135°時，探究線段BD，CD，DA之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，點D在上，點E為AB上一點，連接CE，DE，當AE＝1，BE＝7時，直接寫出△CDE面積的最大值及此時線段BD的長．
2024-2025學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)廣雅集團、祈福新村學(xué)校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）
1．（3分）下列圖形屬于中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
【解答】解：選項B、C、D都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．
選項A能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：A．
2．（3分）已知⊙O的半徑為5．若OP＝6，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點P在⊙O內(nèi)B．點P在⊙O上C．點P在⊙O外D．無法判斷
【答案】C
【分析】點在圓上，則d＝r；點在圓外，d＞r；點在圓內(nèi)，d＜r（d即點到圓心的距離，r即圓的半徑）．
【解答】解：∵OP＝6＞5，
∴點P與⊙O的位置關(guān)系是點在圓外．
故選：C．
3．（3分）將二次函數(shù)y＝5x2的圖象向下平移2個單位，得到的函數(shù)圖象的解析式為（ ）
A．y＝5x2+2B．y＝5x2﹣2C．y＝5（x+2）2D．y＝5（x﹣2）2
【答案】B
【分析】直接根據(jù)“上加下減”的原則進行解答即可．
【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將二次函數(shù)y＝5x2的圖象向下平移2個單位，得到的函數(shù)圖象的解析式為：y＝5x2﹣2．
故選：B．
4．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一個根是0，則a的值為（ ）
A．﹣2B．1C．2D．0
【答案】C
【分析】根據(jù)方程根的定義，把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一個根是0，
∴a﹣2＝0，
∴a＝2，
故選：C．
5．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，若AB＝12，點O到AB的距離是8，則⊙O的半徑是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】連接OA，由垂徑定理得AC＝BC＝AB＝6，再由勾股定理求出OA＝10即可．
【解答】解：連接OA，
由題意得：OC⊥AB，OC＝8，
∴∠OCA＝90°，AC＝BC＝AB＝6，
∴OA＝＝＝10，
即⊙O的半徑是10，
故選：D．
6．（3分）已知點A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在二次函數(shù)y＝﹣2x2+4的圖象上，則（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y1＞y3＞y2
【答案】B
【分析】先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性判斷即可．
【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣2x2+4，
∴拋物線開口向下，對稱軸是y軸，當x＞0時，y隨x的增大而減小，
∵點A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在二次函數(shù)y＝﹣2x2+4的圖象上，
∴點C（﹣3，y3）關(guān)于對稱軸的對稱點是（3，y3），
∵1＜2＜3，
∴y1＞y2＞y3，
故選：B．
7．（3分）青山村種的水稻2023年平均每公頃產(chǎn)720kg，2025年平均每公頃產(chǎn)845kg，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．若設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，則根據(jù)題意列出方程為（ ）
A．720（1+x）2＝845B．720（1+2x）＝845
C．720x+720x2＝845D．720（1+x2）＝845
【答案】A
【分析】利用青山村種的水稻2025年平均每公頃的產(chǎn)量＝青山村種的水稻2023年平均每公頃的產(chǎn)量×（1+水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率）2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得：720（1+x）2＝845．
故選：A．
8．（3分）如圖，將Rt△ABC繞其直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DEC，連接AD，若∠B＝55°，則∠ADE等于（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
【答案】B
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝CD，∠CED＝∠B，再判斷出△ACD是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠CAD＝45°，由外角的性質(zhì)可求解．
【解答】解：∵Rt△ABC繞其直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DEC，
∴AC＝CD，∠CED＝∠B＝55°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∴∠ADE＝∠CED﹣∠CAD＝55°﹣45°＝10°，
故選：B．
9．（3分）設(shè)a、b是兩個整數(shù)，若定義一種運算“△”，a△b＝a2+b2+ab，則方程（x+2）△x＝1的實數(shù)根是（ ）
A．x1＝x2＝1B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝﹣2
【答案】C
【分析】根據(jù)題中的新定義將所求方程化為普通方程，左邊化為完全平方式，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：∵a△b＝a2+b2+ab，
∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1．
故選：C．
10．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線交于原點O，，．將菱形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為（ ）
A．（2，）B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，可得第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C在第三象限，過點A作AE⊥x軸于點E，延長OB到C'點，使OC'＝OA，過點C'作C'F⊥x軸于點F，再根據(jù)菱形的性質(zhì)及全等三角形的判定，即可求得C'點的坐標，據(jù)此即可求解．
【解答】解：∵將菱形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，360°÷90°＝4，
∴旋轉(zhuǎn)4次后回到原來的位置，
∵2023÷4＝505……3，
∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C在第三象限，
如圖：過點A作AE⊥x軸于點E，延長OB到C'點，使OC'＝OA，過點C'作C'F⊥x軸于點F，
∴∠AEO＝∠OFC'＝90°，
∴∠OAE+∠AOE＝90°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝OC'，AC⊥BD，
∴∠C'OF+∠AOE＝90°，
∴∠OAE＝∠C'OF，
∴△OAE≌△C'OF（AAS），
∴AE＝OF，OE＝C'F，
∵，
∴，AE＝2，
∴OF＝2，，
∴，
故第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為，
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）
11．（3分）拋物線y＝3（x﹣1）2+8的頂點坐標為 （1，8） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】已知拋物線頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k）．
【解答】解：∵拋物線y＝3（x﹣1）2+8是頂點式，
∴頂點坐標是（1，8）．
故答案為：（1，8）．
12．（3分）已知點A（m，2）與點B（﹣3，n）關(guān)于原點對稱，則m+n的值為 1 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)點（x，y）關(guān)于原點對稱的點的坐標為（﹣x，﹣y）進行解答即可．
【解答】解：∵點A（m，2）與點B（﹣3，n）關(guān)于原點對稱，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴m+n＝3+（﹣2）＝1．
故答案為：1．
13．（3分）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，則代數(shù)式﹣3a2+6a+2024的值為 2021 ．
【答案】2021．
【分析】利用整體代入的思想解決問題即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴﹣3a2+6a＝﹣3，
∴﹣3a2+6a+2024＝2021．
故答案為：2021．
14．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC延長線上一點．若∠BCE＝110°，則∠BOD的度數(shù)為 140° ．
【答案】140°．
【分析】根據(jù)鄰補角的定義求出∠BCD，再根據(jù)圓周角定理計算即可．
【解答】解：∵∠BCE＝110°，
∴∠BCD＝180°﹣110°＝70°，
由圓周角定理得：∠BOD＝2∠BCD＝140°，
故答案為：140°．
15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，連接DC交AB于點F，則△ACF與△BDF的周長之和為 42 cm．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，可得△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，BD＝BC＝12cm，從而得到△BCD為等邊三角形，得到CD＝BC＝CD＝12cm，在Rt△ACB中，利用勾股定理得到AB＝13，所以△ACF與△BDF的周長之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD，即可解答．
【解答】解：∵將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，
∴BD＝BC＝12cm，
∴△BCD為等邊三角形，
∴CD＝BC＝CD＝12cm，
在Rt△ACB中，AB＝＝13，
△ACF與△BDF的周長之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm），
故答案為：42．
16．（3分）如圖①，點A、B是⊙O上兩定點，圓上一動點P從定點B出發(fā)，沿逆時針方向勻速運動到點A，運動時間是x（s），線段AP的長度是y（cm）．圖②是y隨x變化的關(guān)系圖象，則圖中m的值是 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】從圖2看，當x＝2時，y＝AP＝6，即此時A、O、P三點共線，則圓的半徑為，當x＝0時，由勾股定理逆定理可知，OA⊥OB，則點P從點B走到A、O、P三點共線的位置時，此時t＝2，走過的角度為90°，可求出點P運動的速度，當t＝m時，AP＝OA＝OB，即△OAP是等邊三角形，進而求解．
【解答】解：從圖②看，當x＝2時，y＝AP＝6，即此時A、O、P三點共線，
則圓的半徑為，
當x＝0時，OB2+OA2＝AP2，
∴△OAB是直角三角形，且OA⊥OB，
則點P從點B走到A、O、P三點共線的位置時，如圖所示，
此時x＝2，走過的角度為90°，則走過的弧長為，
∴點P的運動速度是 ，
當t＝m時，AP＝OA＝OB，即△OAP是等邊三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴∠BOP＝360°﹣90°﹣60°＝210°，
此時點P走過的弧長為：，
∴，
故答案為：．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可．
【解答】解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0
∴
∴，；
解法二：∵x2﹣2x﹣1＝0，
則x2﹣2x+1＝2
∴（x﹣1）2＝2，
開方得：，
∴，．
18．（4分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，△ABC的頂點都在格點上．將△ABC繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1，并寫出點A1，B1，C1的坐標．
【答案】見解析，A1（﹣5，2），B1（﹣1，1），C1（﹣2，4）．
【分析】利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可．
【解答】解：如圖，△A1B1C1即為所求．A1（﹣5，2），B1（﹣1，1），C1（﹣2，4）．
19．（6分）如圖：＝，D、E分別是半徑OA和OB的中點，求證：CD＝CE．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】連接OC，構(gòu)建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的對應(yīng)邊相等證得CD＝CE．
【解答】證明：連接OC．
在⊙O中，∵＝
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，D、E分別是半徑OA和OB的中點，
∴OD＝OE，
∵OC＝OC（公共邊），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
20．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，求的值．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由于這個方程有兩個相等的實數(shù)根，因此Δ＝b2﹣4ac＝0，可得出a、b之間的關(guān)系，然后將化簡后，用含a的代數(shù)式表示b，即可求出這個分式的值．
【解答】解：∵ax2+bx+1＝0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
即b2﹣4a＝0，
b2＝4a，
∵＝＝＝
∵a≠0，
∴＝＝＝4．
21．（8分）如圖所示，某學(xué)校有一道長為12米的墻，計劃用26米長的圍欄靠墻圍成一個面積為80平方米的矩形草坪ABCD，求AB的長．
【答案】AB的長為8米．
【分析】設(shè)矩形草坪AB邊的長為x米，則BC邊的長為（26﹣2x）米，根據(jù)圍成一個面積為80平方米的矩形草坪ABCD，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【解答】解：設(shè)矩形草坪AB邊的長為x米，則BC邊的長為（26﹣2x）米，
根據(jù)題意得：x（26﹣2x）＝80，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
∵26﹣2x≤12，
∴x≥7，
∴x＝8，
答：AB的長為8米．
22．（10分）由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“剎車距離”．某公司設(shè)計了一款新型汽車，現(xiàn)在對它的剎車性能（車速不超過150km/h）進行測試，測得數(shù)據(jù)如表：
（1）以車速x為橫坐標，剎車距離y為縱坐標，在坐標系中描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并用平滑曲線連接這些點；
（2）若車速和剎車距離的函數(shù)關(guān)系近似看作二次函數(shù)，請求出這個函數(shù)的解析式（不要求寫出x的取值范圍）；
（3）若該型汽車某次測試的剎車距離為40m，請根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計該車的速度．
【答案】（1）作圖見解析；（2）y＝x2+x；（3）估計該車的速度約為100km/h．
【分析】（1）根據(jù)坐標畫圖即可；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式；
（3）由（2）解析式，再把y＝40代入可得車速．
【解答】解：（1）如圖，
（2）由題意，設(shè)y與x的關(guān)系式為y＝ax2+bx，
把（30，7.8）和（60，19.2）代入得，
∴，
∴y與x的關(guān)系式為y＝x2+x．
（3）由題意，由（2）y＝x2+x．
令y＝40，則40＝x2+x．
解得x＝100或﹣200（負值舍去），
∴該型汽車某次測試的剎車距離為40m，估計該車的速度約為100km/h．
23．（10分）如圖所示，AB為⊙O的直徑，在△ABC中，AB＝BC，AC交⊙O于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為點E．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）已知AD＝8，點P為⊙O上一個動點，若點P到弦AD的距離最大值為8．
①尺規(guī)作圖：作出點P到弦AD的距離最大時的位置，保留作圖痕跡；
②求DE的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）①作圖見解析；②4.8．
【分析】（1）連接OD，利用等腰三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等，平行線的判定與性質(zhì)得到DE⊥BC，再利用圓的切線的判定定理解答即可；
（2）①作出弦AD的垂直平分線，利用垂徑定理可得結(jié)論；
②連接DB，由作圖可知：PF為AD的垂直平分線，設(shè)圓的半徑為r，則OA＝OP＝r，利用勾股定理列出方程，解方程求得r值，利用勾股定理求得DB，利用圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接OD，如圖，
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD為⊙O的半徑，
∴直線DE是⊙O的切線；
（2）①作弦AD的垂直平分線，交于點P，則點P為所求．如圖，
②連接DB，
由作圖可知：PF為AD的垂直平分線，
∴PF⊥AD，PF經(jīng)過圓心，AF＝FD＝AD＝4，PF＝8，
設(shè)圓的半徑為r，則OA＝OP＝r，
∴OF＝8﹣r，
∵OF2+AF2＝OA2，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
∴r＝5．
∴AB＝10，
∴BD＝＝6，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴DB⊥AC，
∵BA＝BC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠DEB＝90°，
∴△ADB∽△DEB，
∴，
∴，
∴DE＝4.8．
24．（12分）已知拋物線y＝﹣x2+mx+m+與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，﹣），點
P為拋物線在直線AC上方圖象上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線y＝﹣x2+mx+m+在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．現(xiàn)將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個交點，求圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再運用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y＝x，如圖1，設(shè)P（t，﹣t2﹣3t﹣），過點P作PH∥y軸交直線AC于點H，則PH＝﹣t2﹣t，利用S△PAC＝S△PAH+S△PCH＝（t+）2+，即可運用二次函數(shù)求最值的方法求得答案；
（3）運用翻折變換的性質(zhì)可得圖象G的函數(shù)解析式為：y＝（x+3）2﹣2，頂點坐標為（﹣3，﹣2），進而根據(jù)平移規(guī)律可得：圖象M的函數(shù)解析式為：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，頂點坐標為（n，﹣n﹣），當圖象M經(jīng)過點C（0，﹣）時，可求得：n＝﹣1或n＝2，當圖象M的端點B在PC上時，可求得：n＝﹣或n＝（舍去），就看得出：圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍為：﹣≤n≤﹣1（n≠﹣3）或n＝2．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+mx+m+與y軸交于點C（0，﹣），
∴m+＝﹣，
解得：m＝﹣3，
∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣3x﹣；
（2）在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，
得：﹣x2﹣3x﹣＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣），
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝x，
如圖1，設(shè)P（t，﹣t2﹣3t﹣），過點P作PH∥y軸交直線AC于點H，
則H（t，t），
∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣（t）＝﹣t2﹣t，
∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH
＝?PH?（xP﹣xA）+?PH?（xC﹣xP）
＝?PH?（xC﹣xA）
＝×（﹣t2﹣t）×[0﹣（﹣5）]
＝t2﹣t
＝（t+）2+，
∴當t＝﹣時，S△PAC取得最大值，
此時，點P的坐標為（﹣，）；
（3）如圖2，拋物線y＝﹣x2﹣3x﹣在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G，
∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝（x+3）2+2，頂點為（﹣3，2），
∴圖象G的函數(shù)解析式為：y＝（x+3）2﹣2，頂點坐標為（﹣3，﹣2），
∵圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M，頂點運動的路徑為直線y＝﹣x﹣，
∴圖象M的頂點坐標為（n，﹣n﹣），
∴圖象M的函數(shù)解析式為：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，
當圖象M經(jīng)過點C（0，﹣）時，
則：﹣＝（0﹣n）2﹣n﹣，
解得：n＝﹣1或n＝2，
當圖象M的端點B在PC上時，
∵線段PC的解析式為：y＝﹣x﹣（﹣≤x≤0），點B（﹣1，0）運動的路徑為直線y＝﹣x﹣，
∴聯(lián)立可得：，
解得：，
將代入y＝（x﹣n）2﹣n﹣，可得：（﹣﹣n）2﹣n﹣＝，
解得：n＝﹣或n＝（舍去），
∴圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍為：﹣≤n≤﹣1（n≠﹣3）或n＝2．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，點D是△ABC外一動點（點B，點D位于AC兩側(cè)），連接CD，AD．
（1）如圖1，點O是AB的中點，連接OC，OD，當△AOD為等邊三角形時，∠ADC的度數(shù)是 135° ；
（2）如圖2，連接BD，當∠ADC＝135°時，探究線段BD，CD，DA之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，點D在上，點E為AB上一點，連接CE，DE，當AE＝1，BE＝7時，直接寫出△CDE面積的最大值及此時線段BD的長．
【答案】（1）135°；
（2）BD＝CD+DA；
（3）△CDE面積的面積最大值為4，此時，BD＝．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠COA＝90°，CO＝OA，再由等邊三角形的性質(zhì)得OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，然后求出∠ODC＝75°，即可求解；
（2）過點C作CH⊥CD交AD的延長線于點H，證△ACH≌△BCD（SAS），得BD＝AH＝HD+DA＝CD+AD；
（3）連接OC，由勾股定理得CE＝5，過點O作ON⊥CE于N，延長ON交圓O于點D，此時點D到CE的距離最大，△CDE面積的面積最大，然后由三角形面積求出ON＝，則DN＝OD﹣ON＝，即可求解三角形CDE的面積最大值，最后用勾股定理借助（2）的結(jié)論求出AD，即可求出BD．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝90°，BC＝AC，點O是AB的中點，
∴∠COA＝90°，CO＝AB＝OA，
∵△AOD是等邊三角形，
∴OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，
∴OC＝OD，∠COD＝∠COA﹣∠DOA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADC＝∠ODC+∠ODA＝75°+60°＝135°，
故答案為：135°；
（2）線段BD，CD，DA之間的數(shù)量關(guān)系為：BD＝CD+DA，理由如下：
過點C作CH⊥CD交AD的延長線于點H，如圖2所示：
則∠CDH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣135°＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CH＝CD，HD＝CD，
∵∠BCA＝90°，
∴∠ACH＝∠BCD，
∴△ACH≌△BCD（SAS），
∴BD＝AH＝HD+DA＝CD+AD；
（3）連接OC，如圖3所示：
∵∠BCA＝90°，BC＝AC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵⊙O是△ABC的外接圓，
∴O是AB的中點，
∴OC⊥AB，OC＝OA＝AB＝（AE+BE）＝×（1+7）＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
在Rt△COE中，由勾股定理得：CE＝＝＝5，
∵CE是定值，
∴點D到CE的距離最大時，△CDE面積的面積最大，
∵AB是⊙O的直徑，
過點O作ON⊥CE于N，延長ON與⊙O的交點恰好是點D時，點D到CE的距離最大，△CDE面積的面積最大，
∵S△OCE＝OC?OE＝CE?ON，
∴ON＝＝＝，
∵OD＝OC＝4，
∴DN＝OD﹣ON＝4﹣＝，
此時，在Rt△CNO中，CN＝＝＝，
在Rt△CND中，CD＝＝＝，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝82﹣AD2，
由（2）知，BD＝CD+AD＝×+AD＝+AD，
∴82﹣AD2＝（+AD）2，
∴AD＝（舍去不符合題意），
∴BD＝+AD＝+＝，
即△CDE面積的面積最大值為4，此時，BD＝．
車速x（km/h）
0
30
60
90
120
150
剎車距離y（m）
0
7.8
19.2
34.2
52.8
75
車速x（km/h）
0
30
60
90
120
150
剎車距離y（m）
0
7.8
19.2
34.2
52.8
75

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