1．（3分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝3B．a(chǎn)x2+bx+c＝0
C．D．x2﹣3＝1
2．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（3分）已知⊙O的半徑為3，平面內(nèi)有一點(diǎn)M．若OM＝5，則點(diǎn)M與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．在圓內(nèi)B．在圓上C．在圓外D．不能確定
4．（3分）如圖，在⊙O中，∠BAC＝50°，分別過(guò)B、C兩點(diǎn)作⊙O的切線，兩切線相交于點(diǎn)P，則∠BPC的度數(shù)為（ ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
5．（3分）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADC＝35°，則的度數(shù)為（ ）
A．70°B．100°C．140°D．240°
6．（3分）學(xué)校九月份舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，小明制作了如圖所示的宣傳牌，在正六邊形ABCDEF和正方形ABHG中，AH、BG的延長(zhǎng)線分別交CD、EF于點(diǎn)M，N，則∠HMC的度數(shù)是（ ）
A．60°B．75°C．80°D．85°
7．（3分）如圖，A、O在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，在此網(wǎng)格中找兩個(gè)格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）B、C，使O為△ABC的外心，則BC的長(zhǎng)度是（ ）
A．B．C．4D．
8．（3分）定義：若一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根，且其中一根是另一根的整數(shù)倍，則稱該方程是“一元二次倍根方程”．例如x2﹣3x+2＝0的兩根為x1＝1，x2＝2，因?yàn)閤2是x1的2倍，所以x2﹣3x+2＝0是“一元二次倍根方程”．已知n是正整數(shù)，若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“倍根方程”，且關(guān)于y的一元二次方程y2+5y+n＝0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則n的值為（ ）
A．2B．2或5C．4或6D．2或6
二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共計(jì)24分.）
9．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有一個(gè)根為1，則實(shí)數(shù)k的值為 ．
10．（3分）若圓錐的底面圓半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則該圓錐的側(cè)面積為 ．
11．（3分）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的兩個(gè)根，則x1+x2的值是 ．
12．（3分）《九章算術(shù)》第一章“方田”介紹了扇形面積計(jì)算方法，其中這樣一道題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問(wèn)為田幾何？”意思是：有一塊扇形狀的田，弧長(zhǎng)為30步，其所在圓的直徑是16步，則這塊田的面積為 平方步．
13．（3分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠ACB＝∠BDC＝60°，BC＝5，則△ABC的周長(zhǎng)為 ．
14．（3分）某玩具店銷售某款玩具，單價(jià)為20元，為擴(kuò)大銷售，該玩具店連續(xù)兩次進(jìn)行了降價(jià)促銷，已知兩次降價(jià)后的單價(jià)為12.8元．設(shè)平均兩次降價(jià)的百分率為x，則可列方程為 ．
15．（3分）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，則方程（x﹣2024）2+2（x﹣2024）﹣3＝0的解是 ．
16．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M，N為線段BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BM＝CN，AM交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，連接CE，交DN于點(diǎn)F，連接BF，則線段BF的最小值為 ．
三、解答題（本大題共有8小題，共計(jì)72分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
17．（20分）解下列方程：
（1）（x+2）2＝16；
（2）x2﹣6x﹣6＝0；
（3）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（4）．
18．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為正整數(shù)，求該方程的根．
19．（6分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若∠F＝30°，∠G＝50°，求∠A的度數(shù)．
20．（6分）某商店的一種服裝，每件成本為50元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，售價(jià)為60元時(shí)，可銷售800件；售價(jià)每提高5元，銷售量將減少100件．已知商店銷售這批服裝獲利12000元，問(wèn)這種服裝每件售價(jià)是多少元？
21．（8分）如圖，網(wǎng)格中有四個(gè)格點(diǎn)A、B、C、M，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)．
（1）在圖中畫出圓心O；
（2）⊙O的半徑是 ；
（3）畫出，連接AO、CO得扇形AOC，將其圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，那么該圓錐的底面半徑為 ；
（4）連接MA，則直線MA與⊙O的位置關(guān)系為 ．
22．（8分）如圖，BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度數(shù)；
（2）若AC＝4，CE＝2，求⊙O半徑的長(zhǎng)．
23．（8分）【原題呈現(xiàn)】
【深入思考】
上面是書本中的某一道習(xí)題（原題不需解答），請(qǐng)?jiān)谠}條件不變的基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考：假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜6）
（1）移動(dòng)過(guò)程中，四邊形DFCE的面積能否為40cm2？若能，請(qǐng)求出此時(shí)的t，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）移動(dòng)過(guò)程中，四邊形DFCE的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）移動(dòng)過(guò)程中，連接EF，以EF為直徑作⊙O，當(dāng)⊙O與△ABC的其中一條邊相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．
24．（10分）【問(wèn)題】研學(xué)單上有這樣一個(gè)問(wèn)題：有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，，請(qǐng)?jiān)诩埰险乙稽c(diǎn)P，使得∠APB＝45°．
【探究】小明通過(guò)操作、觀察后得到這樣的結(jié)論：紙上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足這樣的要求，它在以AB為弦的圓弧上……，如圖1，他畫出了所有符合要求的P，即上的任意一點(diǎn)．
體會(huì)小明的思考過(guò)程，回答下列問(wèn)題：
（1）∠AOB＝ °；
（2）所在的圓的半徑長(zhǎng)為 ；
（3）△ABP面積的最大值為 ．
【類比】
請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步解決問(wèn)題：
如圖2，若【問(wèn)題】中紙片ABCD上有一點(diǎn)Q，且∠AQB＝30°．
（4）請(qǐng)?jiān)诩埰珹BCD上畫出所有滿足條件的Q（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；
（5）連接DQ，則線段DQ的最小值為 ；
（6）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB，垂足為H．若△QAB的面積的最小值為，則AH長(zhǎng)的范圍是 ．
2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共計(jì)24分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)符合題目要求.）
1．（3分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝3B．a(chǎn)x2+bx+c＝0
C．D．x2﹣3＝1
【分析】一元二次方程必須滿足三個(gè)條件：（1）含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；由此判斷即可．
【解答】解：A．該方程中含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．當(dāng)a＝0時(shí)，該方程不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．該方程不是整式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．該方程符合一元二次方程的定義，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題利考查了一元二次方程的定義，只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特別要注意a≠0的條件，這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．
2．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根據(jù)一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可知Δ＝0，故可得出關(guān)于k的方程，求出k的值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝0，即Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝1．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）已知⊙O的半徑為3，平面內(nèi)有一點(diǎn)M．若OM＝5，則點(diǎn)M與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．在圓內(nèi)B．在圓上C．在圓外D．不能確定
【分析】設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP為d，當(dāng)d＞r時(shí)，則點(diǎn)P在圓外；當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)P在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)P在圓內(nèi)，根據(jù)點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系的判定方法對(duì)點(diǎn)M與⊙O位置關(guān)系進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵⊙O的半徑為3，OM＝5
∴點(diǎn)M到圓心的距離大于圓的半徑，
∴點(diǎn)M在圓外．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．
4．（3分）如圖，在⊙O中，∠BAC＝50°，分別過(guò)B、C兩點(diǎn)作⊙O的切線，兩切線相交于點(diǎn)P，則∠BPC的度數(shù)為（ ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
【分析】連接OB、OC，由切線的性質(zhì)得∠OBP＝∠OCP＝90°，根據(jù)圓周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝100°，則∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝80°，于是得到問(wèn)題的答案．
【解答】解：連接OB、OC，
∵PB、PC分別與⊙O相切于點(diǎn)B、C，
∴PB⊥OB，PC⊥OC，
∴∠OBP＝∠OCP＝90°，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，
∴∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝80°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、四邊形的內(nèi)角和等于360°等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADC＝35°，則的度數(shù)為（ ）
A．70°B．100°C．140°D．240°
【分析】連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理可得：∠AOC＝70°，再根據(jù)垂徑定理可得：＝，從而可得∠AOC＝∠BOA＝70°，然后利用角的和差關(guān)系可得：∠BOC＝140°，即可解答．
【解答】解：連接OB，OC，
∵∠ADC＝35°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝70°，
∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOA＝70°，
∴∠BOC＝∠AOC+∠BOA＝140°，
∴的度數(shù)為140°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）學(xué)校九月份舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，小明制作了如圖所示的宣傳牌，在正六邊形ABCDEF和正方形ABHG中，AH、BG的延長(zhǎng)線分別交CD、EF于點(diǎn)M，N，則∠HMC的度數(shù)是（ ）
A．60°B．75°C．80°D．85°
【分析】根據(jù)正方形、正六邊形的性質(zhì)求出∠ABC，∠C，∠HAB，由四邊形的內(nèi)角和是360°進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵正六邊形ABCDEF，
∴∠ABC＝∠C＝＝120°，
又∵正方形ABHG，AH是對(duì)角線，
∴∠HAB＝45°，
在四邊形ABCM中，
∠HMC＝360°﹣120°﹣120°﹣45°＝75°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，掌握正方形、正六邊形的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和是360°是正確解答的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，A、O在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，在此網(wǎng)格中找兩個(gè)格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）B、C，使O為△ABC的外心，則BC的長(zhǎng)度是（ ）
A．B．C．4D．
【分析】根據(jù)題意作出圖形，得到點(diǎn)B和點(diǎn)C的位置，根據(jù)勾股定理求解即可．
【解答】解：如圖所示，
∵點(diǎn)O為△ABC的外心，
∴OA＝OB＝OC，點(diǎn)B和點(diǎn)C的位置如圖所示，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查外心的定義：外心是三角形外接圓的圓心，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，也考查了勾股定理，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
8．（3分）定義：若一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根，且其中一根是另一根的整數(shù)倍，則稱該方程是“一元二次倍根方程”．例如x2﹣3x+2＝0的兩根為x1＝1，x2＝2，因?yàn)閤2是x1的2倍，所以x2﹣3x+2＝0是“一元二次倍根方程”．已知n是正整數(shù)，若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“倍根方程”，且關(guān)于y的一元二次方程y2+5y+n＝0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則n的值為（ ）
A．2B．2或5C．4或6D．2或6
【分析】用因式分解法求解方程得出x1＝3，x1＝n+1，再根據(jù)一元二次方程根的判別式，得出m的取值范圍，最后根據(jù)“倍根方程”的定義，即可求解．
【解答】解：x2﹣（n+4）x+3n+3＝0，
（x﹣3）[x﹣（n+1）]＝0，
x﹣3＝0或x﹣（n+1）＝0，
解得：x1＝3，x1＝n+1，
∵y2﹣5y+n＝0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×n＞0，
解得n＜，
∵n是正整數(shù)，
∴n＝1，2，3，4，5，6
∵方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“倍根方程”，
∴3能被n+1整除或n+1能被3整除，
∴n＝2或5．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共計(jì)24分.）
9．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有一個(gè)根為1，則實(shí)數(shù)k的值為 1 ．
【分析】將x＝1代入方程得關(guān)于k的方程，求解即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有一個(gè)根為1，
故將x＝1代入x2﹣2x+k＝0，得：1﹣2+k＝0，
解得：k＝1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的定義，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）若圓錐的底面圓半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則該圓錐的側(cè)面積為 20π ．
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：由圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，
則圓錐的側(cè)面積為S側(cè)＝π×4×5＝20π．
故答案為：20π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的側(cè)面積計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
11．（3分）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的兩個(gè)根，則x1+x2的值是 1 ．
【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得答案．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的兩個(gè)根，
∴x1+x2＝1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．（3分）《九章算術(shù)》第一章“方田”介紹了扇形面積計(jì)算方法，其中這樣一道題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問(wèn)為田幾何？”意思是：有一塊扇形狀的田，弧長(zhǎng)為30步，其所在圓的直徑是16步，則這塊田的面積為 120 平方步．
【分析】利用扇形面積公式即可計(jì)算的解．
【解答】解：∵扇形的田，弧長(zhǎng)30步，其所在圓的直徑是16步，
∴這塊田的面積S＝＝120（平方步），
故答案為：120．
【點(diǎn)評(píng)】本題是扇形面積公式的應(yīng)用，考查了推理能力，是基礎(chǔ)題．
13．（3分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠ACB＝∠BDC＝60°，BC＝5，則△ABC的周長(zhǎng)為 15 ．
【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠A＝∠BDC＝60°，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【解答】解：由圓周角定理得：∠A＝∠BDC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∵BC＝5，
∴△ABC的周長(zhǎng)為15，
故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）某玩具店銷售某款玩具，單價(jià)為20元，為擴(kuò)大銷售，該玩具店連續(xù)兩次進(jìn)行了降價(jià)促銷，已知兩次降價(jià)后的單價(jià)為12.8元．設(shè)平均兩次降價(jià)的百分率為x，則可列方程為 20（1﹣x）2＝12.8 ．
【分析】利用該款玩具經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的售價(jià)＝該款玩具的原價(jià)×（1﹣平均兩次降價(jià)的百分率）2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得：20（1﹣x）2＝12.8．
故答案為：20（1﹣x）2＝12.8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，則方程（x﹣2024）2+2（x﹣2024）﹣3＝0的解是 x1＝2025，x2＝2021 ．
【分析】利用換元法對(duì)所給一元二次方程進(jìn)行求解即可．
【解答】解：令x﹣2024＝m，
則方程（x﹣2024）2+2（x﹣2024）﹣3＝0可轉(zhuǎn)化為m2+2m﹣3＝0，
又因?yàn)榉匠蘹2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
所以x﹣2024＝1或﹣3，
則x1＝2025，x2＝2021．
故答案為：x1＝2025，x2＝2021．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了換元法解一元二次方程及一元二次方程的解，熟知換元法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M，N為線段BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BM＝CN，AM交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，連接CE，交DN于點(diǎn)F，連接BF，則線段BF的最小值為 2﹣2 ．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAE＝∠BCE＝∠CDN，求得∠DFC＝90°，得到點(diǎn)F在以CD為直徑的圓的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，連接OB交⊙O于點(diǎn)F′，此時(shí)BF′最小，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，
在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CDN，
在△CEB和△AEB中，
，
∴△CEB≌△AEB（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE＝∠CDN，
∵∠BCE+∠DCF＝90°，
∴∠CDN+∠DCE＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∴點(diǎn)F在以CD為直徑的圓的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，連接OB交⊙O于點(diǎn)F′，此時(shí)BF′最小，
∴BF′＝OB﹣OF′＝﹣2＝2﹣2．
∴線段BF的最小值為2﹣2，
故答案為：2﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、圓、勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明點(diǎn)F在以CD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，找到點(diǎn)F的位置，題目比較難，屬于中考填空題中的壓軸題．
三、解答題（本大題共有8小題，共計(jì)72分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
17．（20分）解下列方程：
（1）（x+2）2＝16；
（2）x2﹣6x﹣6＝0；
（3）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（4）．
【分析】（1）利用直接開平方法求解可得；
（2）利用配方法求解可得；
（3）利用因式分解法求解可得；
（4）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵（x+2）2＝16，則x+2＝±4，
解得x1＝2，x2＝﹣6；
（2）x2﹣6x﹣6＝0，
x2﹣6x+9＝6+9，
（x﹣3）2＝15，則x﹣3＝±，
解得x1＝3+，x2＝3﹣；
（3）x（x+4）＝﹣3（x+4），
∴x（x+4）+3（x+4）＝0，
則（x+4）（x+3）＝0，
∴x+4＝0或x+3＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣3；
（4）x2﹣x﹣15＝0，
x2﹣4x﹣45＝0，
（x+5）（x﹣9）＝0，
∴x+5＝0或x﹣9＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝9．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
18．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為正整數(shù)，求該方程的根．
【分析】（1）利用根的判別式的意義得到Δ＝42﹣4×2m＞0，然后解不等式即可；
（2）先確定m＝1得到方程為2x2+4x+1＝0，然后利用公式法解方程即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝42﹣4×2m＞0，
解得m＜2，
∴m的取值范圍為m＜2；
（2）∵m為正整數(shù)，
而m＜2，
∴m＝1，
此時(shí)方程為2x2+4x+1＝0，
∵a＝2，b＝4，c＝1，
∴Δ＝42﹣4×2×1＝8＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了公式法解一元二次方程．
19．（6分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若∠F＝30°，∠G＝50°，求∠A的度數(shù)．
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)、三角形的外角性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵∠ABG是△BFC的外角，
∴∠ABG＝∠BCF+∠F，
∵∠ADF是△BFC的外角，
∴∠ADF＝∠DCG+∠G，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ADF+∠ABG＝180°，
∵∠BCF＝∠DCG，
∴∠BCF+∠F+∠DCG+∠G＝180°，
∵∠F＝30°，∠G＝50°，
∴2∠BCF＝100°，
∴∠BCF＝50°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BCD+∠BCF＝180°，
∴∠A＝∠BCF＝50°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
20．（6分）某商店的一種服裝，每件成本為50元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，售價(jià)為60元時(shí)，可銷售800件；售價(jià)每提高5元，銷售量將減少100件．已知商店銷售這批服裝獲利12000元，問(wèn)這種服裝每件售價(jià)是多少元？
【分析】要求服裝的單價(jià)，就要設(shè)服裝的單價(jià)為x元，則每件服裝的利潤(rùn)是（x﹣50）元，銷售服裝的件數(shù)是[800﹣20（x﹣60）]件，以此等量關(guān)系列出方程即可．
【解答】解：設(shè)單價(jià)應(yīng)定為x元，根據(jù)題意得：
（x﹣50）[800﹣（x﹣60）÷5×100]＝12000，
（x﹣50）[800﹣20x+1200]＝12000，
x2﹣150x+5600＝0，
解得x1＝70，x2＝80．
答：這種服裝的單價(jià)應(yīng)定為70元或80元．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
21．（8分）如圖，網(wǎng)格中有四個(gè)格點(diǎn)A、B、C、M，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)．
（1）在圖中畫出圓心O；
（2）⊙O的半徑是 ；
（3）畫出，連接AO、CO得扇形AOC，將其圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，那么該圓錐的底面半徑為 ；
（4）連接MA，則直線MA與⊙O的位置關(guān)系為 相切 ．
【分析】（1）線段BC，AB的垂直平分線的交點(diǎn)O即為所求；
（2）利用勾股定理求解；
（3）設(shè)圓錐的底面半徑為r，根據(jù)圓錐底面圓周長(zhǎng)＝弧長(zhǎng)，構(gòu)建方程求解；
（4）證明∠MAO＝90°，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)O即為所求；
（2）OA＝＝．
故答案為：；
（3）設(shè)圓錐的底面半徑為r，則有2πr＝，
∴r＝，
故答案為：；
（4）結(jié)論：AM是⊙O的切線．
理由：∵AM＝AO＝，OM＝＝，
∴AM2+OA2＝OM2，
∴∠MAO＝90°，
∴MA⊥OA，
∴MA是⊙O的切線．
故答案為：相切．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，直線與圓的位置關(guān)系，圓錐的計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
22．（8分）如圖，BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度數(shù)；
（2）若AC＝4，CE＝2，求⊙O半徑的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠AOC，根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠OAC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（2）設(shè)OA＝OE＝r，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）連接OA，
∵∠ADE＝25°，
∴由圓周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝50°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣50°﹣90°＝40°；
（2）設(shè)OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+42＝（r+2）2，
解得：r＝3，
答：⊙O半徑的長(zhǎng)是3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠OAC和∠AOC的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．
23．（8分）【原題呈現(xiàn)】
【深入思考】
上面是書本中的某一道習(xí)題（原題不需解答），請(qǐng)?jiān)谠}條件不變的基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考：假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜6）
（1）移動(dòng)過(guò)程中，四邊形DFCE的面積能否為40cm2？若能，請(qǐng)求出此時(shí)的t，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）移動(dòng)過(guò)程中，四邊形DFCE的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）移動(dòng)過(guò)程中，連接EF，以EF為直徑作⊙O，當(dāng)⊙O與△ABC的其中一條邊相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．
【分析】【原題呈現(xiàn)】依題意得四邊形DFCE是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)D出發(fā)t秒后四邊形DFCE的面積為20cm2，則AD＝2t cm，BD＝（12﹣2t）cm，根據(jù)四邊形DFCE的面積為20cm2得2t（12﹣2t）＝20，解此方程即可得出答案；
【深入思考】（1）假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜6）時(shí)，四邊形DFCE的面積是40cm2，由【原題呈現(xiàn)】得2t（12﹣2t）＝40，整理得t2﹣6t+10＝0，根據(jù)該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根即可得出結(jié)論；
（2）由（1）得S四邊形DFCE＝AD?BD＝2t（12﹣2t）＝﹣4（t﹣3）2+36，由此可求出移動(dòng)過(guò)程中，四邊形DFCE的面積的最大值；
（3）先求出AD＝DE＝CF＝2t cm，BD＝AB﹣AD＝（12﹣2t）cm，再分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，設(shè)且點(diǎn)為M，連接OM，設(shè)⊙O于BC的另一個(gè)交點(diǎn)為N，連接EN交OM于H，證明四邊形DBNE是矩形得BN＝DE＝2t cm，EN＝BD（12﹣2t）cm，進(jìn)而得FN＝（12﹣4t）cm，再證明OH是△EFN的中位線得OH＝FN＝（6﹣2t）cm，由此得OM＝OH+HM＝6cm，則EF＝2OM＝12cm，然后在Rt△EFN中，由勾股定理即可求出t的值；②當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，則且點(diǎn)是F，證明四邊形DBFE是正方形得BD＝DE＝AD，則12﹣2t＝2t，解此方程可得t的值；綜上所述即可得出答案．
【解答】解：【原題呈現(xiàn)】在Rt△ABC中，AB＝BC＝12cm，
∴∠B＝90°，∠A＝∠C＝45°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四邊形DFCE是平行四邊形，
設(shè)點(diǎn)D出發(fā)t秒后四邊形DFCE的面積為20cm2，
∵點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，
∴AD＝2t cm，
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣2t）cm，
∵S四邊形DFCE＝AD?BD＝20cm2，
∴2t（12﹣2t）＝20，
整理得：t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5，
答：點(diǎn)D出發(fā)1或5秒后四邊形DFCE的面積為20cm2；
【深入思考】（1）四邊形DFCE的面積不能為40cm2，理由如下：
假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜6）時(shí)，四邊形DFCE的面積是40cm2，
由【原題呈現(xiàn)】得：AD＝2t cm，BD＝（12﹣2t）cm，
∵S四邊形DFCE＝AD?BD＝40cm2，
∴2t（12﹣2t）＝40，
整理得：t2﹣6t+10＝0，
∵該方程的判別式為：（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，
∴該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
故移動(dòng)過(guò)程中，四邊形DFCE的面積不能為40cm2；
（2）由（1）得：S四邊形DFCE＝AD?BD＝2t（12﹣2t）＝﹣4（t﹣3）2+36，
∴當(dāng)t＝3時(shí)，S四邊形DFCE為最大，最大值為36cm2，
故移動(dòng)過(guò)程中，四邊形DFCE的面積存在最大值，最大面積是36cm2；
（3）∵∠A＝∠C＝45°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE＝2t cm，
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣2t）cm，
又∵四邊形DFCE是平行四邊形，
∴DE＝CF＝2t cm，
∴在移動(dòng)過(guò)程中，以EF為直徑作⊙O，當(dāng)⊙O與△ABC的其中一條邊相切時(shí)，有以下兩種情況：
①當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，設(shè)且點(diǎn)為M，連接OM，設(shè)⊙O于BC的另一個(gè)交點(diǎn)為N，連接EN交OM于H，如圖1所示：
∵∠AED＝∠C＝45°，
∵EF是⊙O的直徑，
∴∠ENF＝90°，
∵DE∥BC，∠B＝90°，
∴∠EDB＝∠B＝∠ENB＝90°，
∴四邊形DBNE是矩形，
∴BN＝DE＝2t cm，EN＝BD＝AB﹣AD＝（12﹣2t）cm，
∴FN＝BC﹣BN﹣CF＝（12﹣4t）cm，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)M，
∴EF＝2OM，OM⊥AB，
∴∠PMA＝∠B＝90°，
∴OM∥AB，HN＝DE＝2t cm，
∴OH是△EFN的中位線，
∴OH＝FN＝（12﹣4t）＝（6﹣2t）cm，
∴OM＝OH+HM＝6﹣2t+2t＝6（cm），
∴EF＝2OM＝12（cm），
在Rt△EFN中，由勾股定理得：EN2+FN2＝EF2，
∴（12﹣2t）2+（12﹣4t）2＝122，
整理得：5t2﹣36t+36＝0，
解得：t1＝1.2，t2＝6（不合題意，舍去）；
②當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，則且點(diǎn)是F，如圖2所示：
則EF⊥BC，
∴∠EDB＝∠B＝EFD＝90°，
∴四邊形DBFE是矩形，
∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠A＝45°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴BD＝BF，
∴矩形DBFE是正方形，
∴BD＝DE＝AD，
∴12﹣2t＝2t，
解得：t＝3，
綜上所述：在移動(dòng)過(guò)程中，以EF為直徑作⊙O，當(dāng)⊙O與△ABC的其中一條邊相切時(shí)，t的值為1.2或3s．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，熟練掌握理解平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，分類討論是解決問(wèn)題的難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)．
24．（10分）【問(wèn)題】研學(xué)單上有這樣一個(gè)問(wèn)題：有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，，請(qǐng)?jiān)诩埰险乙稽c(diǎn)P，使得∠APB＝45°．
【探究】小明通過(guò)操作、觀察后得到這樣的結(jié)論：紙上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足這樣的要求，它在以AB為弦的圓弧上……，如圖1，他畫出了所有符合要求的P，即上的任意一點(diǎn)．
體會(huì)小明的思考過(guò)程，回答下列問(wèn)題：
（1）∠AOB＝ 90 °；
（2）所在的圓的半徑長(zhǎng)為 2 ；
（3）△ABP面積的最大值為 2+2 ．
【類比】
請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步解決問(wèn)題：
如圖2，若【問(wèn)題】中紙片ABCD上有一點(diǎn)Q，且∠AQB＝30°．
（4）請(qǐng)?jiān)诩埰珹BCD上畫出所有滿足條件的Q（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；
（5）連接DQ，則線段DQ的最小值為 ﹣4 ；
（6）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB，垂足為H．若△QAB的面積的最小值為，則AH長(zhǎng)的范圍是 1≤AH≤3 ．
【分析】（1）由∠AOB、∠APB分別為的圓心角和圓周角，即可求解；
（2）所在的圓的半徑長(zhǎng)＝OA＝AB＝2，即可求解；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB的中垂線上時(shí)，△ABP面積的最大，即可求解；
（4）分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長(zhǎng)度為半徑作弧，交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，AB長(zhǎng)度為半徑作圓O，分別交AD、BC于點(diǎn)M、N，則上的任意點(diǎn)即為點(diǎn)Q；
（5）當(dāng)點(diǎn)D、Q、N共線時(shí)，DQ最小，即可求解；
（6）△QAB的面積＝AB×QH＝QH＝，則QH＝2+，而PH＝2，則PQ＝，得到OP＝＝＝1，則BH＝2﹣1＝1，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠APB＝45°，∠AOB、∠APB分別為的圓心角和圓周角，
則∠AOB＝2∠APB＝90°，
故答案為：90；
（2）所在的圓的半徑長(zhǎng)＝OA＝AB＝2，
故答案為：2；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB的中垂線上時(shí)，△ABP面積的最大，
延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)G，則GO⊥AB，
在等腰Rt△AOB中，AB＝4，則OG＝AG＝BG＝2，OA＝2，
則PG＝2+2，
則△ABP面積的最大值＝AB×PG＝（2）×2＝2+2，
故答案為：2+2；
（4）分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長(zhǎng)度為半徑作弧，交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，AB長(zhǎng)度為半徑作圓O，分別交AD、BC于點(diǎn)M、N，
則上的任意點(diǎn)即為點(diǎn)Q；
（5）當(dāng)點(diǎn)D、Q、N共線時(shí)，DQ最小，
連接OQ，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥QH，作OG⊥AB于點(diǎn)G，作OT⊥AD于點(diǎn)T，
由（4）知，OA＝OB＝AB＝4，則BG＝2，OG＝2＝PH＝AT，AG＝AB＝2＝OT，
則DT＝AD﹣AT＝5﹣2＝3，
則OD＝＝＝，而圓O的半徑（r）為4，
則DQ的最小值OD﹣r＝﹣4，
故答案為：﹣4；
（6）∵△QAB的面積＝AB×QH＝QH＝，
則QH＝2+，而PH＝2，則PQ＝，
則OP＝＝＝1，則BH＝2﹣1＝1，
即若△QAB的面積的最小值為，則AH長(zhǎng)的范圍是1≤AH≤3，
故答案為：1≤AH≤3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切圓的綜合知識(shí)，涉及到面積的計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)、作圖、解直角三角形、最值問(wèn)題，理解題意、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵11．如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝12cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，移動(dòng)過(guò)程中始終保持DE∥BC，DF∥AC（點(diǎn)E、F分別在AC、BC上）．點(diǎn)D出發(fā)幾秒后四邊形DFCE的面積為20cm2？
11．如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝12cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，移動(dòng)過(guò)程中始終保持DE∥BC，DF∥AC（點(diǎn)E、F分別在AC、BC上）．點(diǎn)D出發(fā)幾秒后四邊形DFCE的面積為20cm2？

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