1．本試卷共6頁，測試時間100分鐘，測試分數(shù)120分．
2．本試卷為閉卷考試，學生在考試時不準使用計算器．本試卷分試題卷和答題卡兩部分．
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．中國傳統(tǒng)紋樣產(chǎn)生于人民，寄寓著花好月圓的愿景，寄托著平安康樂的期盼．如圖四幅傳統(tǒng)紋樣中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．把一元二次方程化為一般形式，正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．若將拋物線平移后得到拋物線，下列平移方法正確的是（ ）
A．向左平移1個單位，再向上平移2個單位B．向左平移1個單位，再向下平移2個單位
C．向右平移1個單位，再向上平移2個單位D．向右平移1個單位，再向下平移2個單位
4．如圖所示，是的直徑，為弦，于點，則下列結(jié)論中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知關(guān)于的一元二次方程一個根為3，則另一個根為（ ）
A．1B．C．2D．
6．如圖，為鈍角三角形，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A．15°B．C．D．
7．唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行欖式之先導，如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長12m，輪子的吃水深度CD為2m，則該漿輪船的輪子半徑為（ ）
A．6mB．8mC．10mD．12m
8．有一種“微信點名”活動，需要回答一系列問題，并將問題和自己的答案在朋友圈中發(fā)布，同時還規(guī)定“@”一定數(shù)量的其他人，邀請他們也參與活動，小智被邀請參加一次“微信點名”活動，他決定參與并按規(guī)定“@”其他人，如果收到小智邀請的人也同樣參與了活動并按規(guī)定“@”其他人，且從小智開始算起，轉(zhuǎn)發(fā)兩輪后共有111人被邀請參與該活動．設(shè)參與該活動后規(guī)定“@”x人，則可列出的方程為（ ）
A．B．C．D．
9．若拋物線與軸交點為，則下列說法不正確的是（ ）
A．拋物線開口向上B．當時，隨的增大而減小
C．對稱軸為D．的值為
10．如圖，正方形的邊長為2cm，動點同時從點出發(fā)，在正方形的邊上，分別按的方向，都以的速度運動，到達點運動終止，連接，設(shè)運動時間為的面積為，則下列圖象中能大致表示與的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值為______．
12．如圖，是上兩點，是弧的中點，判斷四邊形的形狀是______．
13．如圖，平面直角坐標系中，點在第一象限，點在軸的正半軸上，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點的坐標是______．
14．為了在校運會中取得更好的成績，小陽積極訓練，在某次試投中鉛球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處A距離地面的高度是1.68米，當鉛球運行的水平距離為2米時，達到最大高度2米的B處，則小陽此次投擲的成績是______米．
15．如圖，直線與軸、軸分別交于兩點，的長分別是一元二次方程的兩個實數(shù)根，為直線上的動點，連接，若點的坐標為，則的值為______，的最小值為______。
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．（8分）解方程：
（1）；（2）．
17．（9分）如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點的坐標分別為．
（1）若經(jīng)過平移后得到，已知點的坐標為，寫出頂點的坐標，并畫出；
（2）若和關(guān)于原點成中心對稱圖形，寫出的各頂點的坐標；
（3）將繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，寫出的各頂點的坐標，并畫出．
18．（9分）已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：無論為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若該方程的兩個根為和，且滿足，求的值．
19．（9分）下面是小海同學設(shè)計的"過圓外一點作圓的一條切線"的尺規(guī)作圖過程．
已知：如圖，已知及外一點．
求作：過點的的一條切線．
作法：①連接交于點，并延長交于點；
②以點為圓心，的長為半徑畫弧，以點為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點；
③連接交于點，作直線；則直線是的一條切線．
請你根據(jù)小海同學設(shè)計的尺規(guī)作圖過程完成下列問題。
（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成證明：
，
點為的中點．
，
（______）（填推理的依據(jù)）。
又是的半徑．
是的切線（______）（填推理的依據(jù)）。
20．（10分）山西成為今年國慶期間眾多游客的打卡圣地．某款旅游紀念品很受游客喜愛，每個紀念品進價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元．
（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；
（2）將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w最大？最大利潤是多少元？
（3）該商戶從每天的利潤中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，求銷售單價x的范圍．
21．（10分）與都是等邊三角形，連接．
圖① 圖② 備用圖
（1）如圖①，當點在同一條直線上時，則______度；
（2）將圖①中的繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置．求證：；
（3）在將繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，當點在一條直線上時，若，請直接寫出的長．
22．（10分）16世紀中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．
某科技小組運用信息技術(shù)模擬火箭運行過程．如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為9km時，自動引發(fā)火箭的第二級．
（1）若火箭第二級的引發(fā)點的高度為3.6km，
①直接寫出的值；
②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低1.35km，求這兩個位置之間的距離．
（2）直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發(fā)射點的水平距離超過15km．
23．（10分）如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，已知．
（1）求拋物線的表達式，并求出點的坐標．
（2）點是拋物線（第一象限內(nèi)）上的一個動點，連接，，當面積最大時，求點的坐標．
（3）若點坐標固定為是拋物線上除點之外的一個動點，當與的面積相等求出點的坐標．
2024-2025學年度九年級上劃期中學業(yè)所量評估
一、1．A 2．A 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．C 9．B 10．A
二、11． 12．茭形 13． 14．7 15．48
三、16．解：（1）因式分解得：．
于是得或，；
（2）因式分解，得．
于是得或，
．
17．解：（1）如圖，為所作．
．
（2）；
（3）如圖，為所作，
．
18．（1）證明：無論為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得，
解得的值為：1或．
19．解：（1）補全圖形如圖所示；
（2）等腰三角形的三線合一
經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
20．解：（1）根據(jù)題意得：；
（2）根據(jù)題意得：當時，隨的增大而增大，
當時，w最大，最大值為將紀念品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w最大，最大利潤是2640元；
（3）由題意，得，即，由得或，
捐款后每天剩余利潤不低于2200元時，，答：捐款后每天剩余利潤不低于2200元，銷售單價的范圍是．
21．（1）解：120
（2）證明：與都是等邊三角形，，．
在和中，，；
（3）解：或．
【解析】是等邊三角形，是等邊三角形，，當點在的延長線上時，如圖1，過點作于，則，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，在中，根據(jù)勾股定理得，；當點在的延長線上時，如圖2，過點作于，則，在中，，根據(jù)勾股定理得，，在中，根據(jù)勾股定理得，，即滿足條件的的長為或．
圖1 圖2
22．①；
②由①得：．火箭運行的最詔點是．，．整理得：．解得：（不合還意，舍去），．
由①得：時，解得：．
．答：這兩個位置之間的距離為8.4km；
（2）．
【解析】當時，火箭第二級的引發(fā)點的坐標為．設(shè)火箭落地點與發(fā)射點的水平距離為．經(jīng)過點，．解得：，時，火箭落地，點與發(fā)射點的水平距離超過15km．
23．解：（1）由題意得：，解得，則拋物線的表達式為：，令，則（全去）或，即；
（2）過點作軸交于點，設(shè)直線的表達式為，把點的坐標代入得，，解得直線的表達式為：，設(shè)點，則點，則，
，故當時，面積最大，此時點；
（3）由（2）知，直線的表達式為：，過點作直線交軸于點，則直線的表達式為：，則點，則，解得：（舍去）或3，即點，
則點下方取點，使，則點，過點作直線，則直線的表達式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：，解得：，則點或，綜上，點的坐標為：或，）或。

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