廣東省廣州市天河中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

這是一份廣東省廣州市天河中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷，共28頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（3分）下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標(biāo)志，在這四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．3，3，6C．2，5，8D．3，5，7
3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（﹣2，5）關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣5，2）B．（2，5）C．（5，﹣2）D．（﹣2，﹣5）
4．（3分）如圖，已知圖中的兩個三角形全等，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．38°B．62°C．60°D．82°
5．（3分）若一個多邊形的每個外角都為36°，則這個多邊形是（ ）
A．六邊形B．八邊形C．十邊形D．十二邊形
6．（3分）已知等腰三角形的一個角為80°，則其頂角為（ ）
A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°
7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直線DE是斜邊AB的垂直平分線交AC于D．若AC＝8，BC＝6，則△DBC的周長為（ ）
A．12B．14C．16D．無法計算
8．（3分）如圖，已知△ABC的周長是24，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，則△ABC的面積是（ ）
A．24B．48C．36D．30
二、多選題（有多個正確答案，本題有2個小題，每小題6分，滿分12分）
（多選）9．（6分）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O．過點O作EF∥BC交AB于E．交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．EF＝BE+CF
B．點O到∠ABC的兩邊的距離相等
C．∠BOC＝90°+∠A
D．設(shè)OD＝m，AE+AF＝n，則S△AEF＝mn
（多選）10．（6分）如圖，△ABC中AB＞AC，D，E分別為邊BC，AB上的點，AD平分∠BAC，CE⊥AD于點F，G為AD的中點，延長BG交AC于點H，則下列判斷中正確的結(jié)論有（ ）
A．△ABG與△BDG面積相等B．
C．∠CAD+∠CBE+∠BCE＝90°D．AB﹣AC＝BE
三、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C＝20°，則∠B'＝ °．
12．（3分）如圖，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠A＝70°，則∠B＝ ．
13．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是1080°，這個多邊形的邊數(shù)是 ．
14．（3分）等腰三角形一邊長為4，另一邊長為9，則它的周長是 ．
15．（3分）如圖，在△ABC和△DEF中，已知CB＝DF，∠C＝∠D，要使△ABC≌△EFD，還需添加一個條件，那么這個條件可以是 ．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，直角邊AC＝7cm，BC＝3cm，CD為斜邊AB上的高，點E從點B出發(fā)，沿直線BC以2cm/s的速度移動，過點E作BC的垂線交直線CD于點F，則點E的運動時間t＝ s時，CF＝AB．
四、解答題（共8小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（6分）如圖，AC＝AE，AD＝AB，∠DAB＝∠EAC．求證：BC＝DE．
18．（6分）如圖，∠A＝∠D＝90°，點B，E，F(xiàn)，C在同一直線上，AB＝CD，BE＝CF，求證：∠B＝∠C．
19．（6分）如圖，每個小正方形的邊長為1，點A、B、C都是格點．
（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A1B1C1．
（2）寫出AA1的長度．
（3）求△ABC的面積．
20．（8分）△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點D，DE垂直平分AC，垂足為點E．
（1）求證：∠BAD＝∠C；
（2）∠BAD＝30°，求∠B的度數(shù)．
21．（8分）如圖，兩棵大樹AB、CD之間相距13m，小華從點B沿BC方向往點C行走，8秒后到達(dá)點E，此時他仰望兩棵大樹的頂點A和D，兩條視線的夾角∠AED＝90°，且EA＝ED．已知大樹AB的高為5m，求小華行走的平均速度．
22．（10分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝45°，∠ACB＝90°，∠ACD為△ABC的一個外角．
（1）請按以下要求畫出圖形，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母．
①尺規(guī)作圖：作∠ACD的平分線CM（保留作圖痕跡，不寫作法）；
②取線段AC的中點N，過N畫AC的垂線，與CM交于點F，與AB交于點E．
（2）求證：FN＝EN．
23．（10分）等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上．
（1）如圖1，求證：∠BCO＝∠CAO
（2）如圖2，若OA＝5，OC＝2，求B點的坐標(biāo)
（3）如圖3，點C（0，3），Q、A兩點均在x軸上，且S△CQA＝18．分別以AC、CQ為腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，連接MN交y軸于P點，OP的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出OP的值；若變化，求OP的取值范圍．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（7a，0），B（0，﹣7a），點C為x軸負(fù)半軸上一點，AD⊥AB，∠1＝∠2．
（1）求∠ABC+∠D的度數(shù)；
（2）如圖①，若點C的坐標(biāo)為（﹣3a，0），求點D的坐標(biāo)（結(jié)果用含a的式子表示）；
（3）如圖②，在（2）的條件下，若a＝1，過點D作DE⊥y軸于點E，DF⊥x軸于點F，點M為線段DF上一點，若第一象限內(nèi)存在點N（n，2n﹣3），使△EMN為等腰直角三角形，請直接寫出符合條件的N點坐標(biāo)，并選取一種情況計算說明．
2024-2025學(xué)年廣東省廣州市天河中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．）
1．（3分）下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標(biāo)志，在這四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：選項A、C、D的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．
選項B的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故選：B．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．3，3，6C．2，5，8D．3，5，7
【分析】利用三角形三邊關(guān)系判斷即可，兩邊之和＞第三邊＞兩邊之差．
【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知
A、2+3＝5，不能組成三角形；
B、3+3＝6，不能組成三角形；
C、2+5＜8，不能組成三角形；
D、3+5＞7，能組成三角形．
故選：D．
【點評】此題考查了三角形的三邊關(guān)系．判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．
3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（﹣2，5）關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣5，2）B．（2，5）C．（5，﹣2）D．（﹣2，﹣5）
【分析】利用關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，即點P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點P′的坐標(biāo)是（﹣x，y），進而得出答案．
【解答】解：點P（﹣2，5）關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)是：（2，5）．
故選：B．
【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，正確把握對稱點的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，已知圖中的兩個三角形全等，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．38°B．62°C．60°D．82°
【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可知∠1是a、b邊的夾角，然后寫出即可．
【解答】解：∵兩個三角形全等，∠1是a、b之間的夾角，
∴∠1＝38°，
故選：A．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）若一個多邊形的每個外角都為36°，則這個多邊形是（ ）
A．六邊形B．八邊形C．十邊形D．十二邊形
【分析】據(jù)多邊形的邊數(shù)等于360°除以每一個外角的度數(shù)列式計算即可得解．
【解答】解：360°÷36°＝10．
故這個多邊形是十邊形．
故選：C．
【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握多邊形的外角和、多邊形的每一個外角的度數(shù)、多邊形的邊數(shù)三者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）已知等腰三角形的一個角為80°，則其頂角為（ ）
A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°
【分析】等腰三角形一內(nèi)角為80°，沒說明是頂角還是底角，所以有兩種情況．
【解答】解：（1）當(dāng)80°角為頂角時，其頂角為80°
（2）當(dāng)80°為底角時，得頂角＝180°﹣2×80°＝20°；
故選：D．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；涉及到等腰三角形的角的計算，若沒有明確哪個是底角哪個是頂角時，要分情況進行討論．
7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直線DE是斜邊AB的垂直平分線交AC于D．若AC＝8，BC＝6，則△DBC的周長為（ ）
A．12B．14C．16D．無法計算
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等得到DA＝DB，根據(jù)三角形周長公式求出周長．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴DA＝DB，
△DBC的周長為CB+CD+DB
＝CB+CD+DA
＝BC+CA
＝6+8
＝14，
故選：B．
【點評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，已知△ABC的周長是24，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，則△ABC的面積是（ ）
A．24B．48C．36D．30
【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可得點O到AB、AC、BC的距離都相等，從而可得到△ABC的面積等于周長的一半乘以O(shè)D，然后列式進行計算即可求解．
【解答】解：如圖，連接OA，
依題意，
∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，
∴點O到AB、AC、BC的距離都相等，
∵△ABC的周長是24，OD⊥BC于D，且OD＝3，
∴△ABC的面積為：S＝×AB×3+×AC×3+×BC×3＝×24×3＝36，
故選：C．
【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，判斷出三角形的面積與周長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
二、多選題（有多個正確答案，本題有2個小題，每小題6分，滿分12分）
（多選）9．（6分）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O．過點O作EF∥BC交AB于E．交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．EF＝BE+CF
B．點O到∠ABC的兩邊的距離相等
C．∠BOC＝90°+∠A
D．設(shè)OD＝m，AE+AF＝n，則S△AEF＝mn
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，根據(jù)角平分線的定義與三角形內(nèi)角和定理，即可求得C∠BOC＝90°+∠A正確；由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故A正確；由角平分線的性質(zhì)得出點O到△ABC各邊的距離相等，故B正確；由角平分線定理與三角形面積的求解方法，即可求得D設(shè)OD＝m，AE+AF＝n，則S△AEF＝mn，故D錯誤．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故C正確；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故A正確；
過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE?OM+AF?OD＝OD?（AE+AF）＝mn；故D錯誤；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴點O到△ABC各邊的距離相等，故B正確，
故選：ABC．
【點評】此題考查了角平分線的定義與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
（多選）10．（6分）如圖，△ABC中AB＞AC，D，E分別為邊BC，AB上的點，AD平分∠BAC，CE⊥AD于點F，G為AD的中點，延長BG交AC于點H，則下列判斷中正確的結(jié)論有（ ）
A．△ABG與△BDG面積相等B．
C．∠CAD+∠CBE+∠BCE＝90°D．AB﹣AC＝BE
【分析】根據(jù)三角形的高線、中線的性質(zhì)及全等三角形與三角形內(nèi)角和定理依次進行判斷即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵G為AD中點，
∴BG是△ABD的中線，
∴△ABG與△BDG面積相等，
∴選項A正確，符合題意；
∵AD平分∠BAC，CE⊥AD，
∴∠EAF＝∠CAF，∠AFE＝∠AFC＝90°，
在△AFE與△AFC中，
，
∴△AFE≌△AFC，
∴AE＝AC，∠AEC＝∠ACE，
∵AB﹣AE＝BE，
∴AB﹣AC＝BE，
∴選項D正確，符合題意；
∵∠AEC＝∠CBE+∠BCE，
∴∠ACE＝∠CBE+∠BCE，
∵∠CAD+∠ACE＝90°，
∴∠CAD+∠CBE+∠BCE＝90°，
∴選項C正確，符合題意，
假設(shè)，
∵，
∴∠EAF＝∠CAF＝∠BCE，
∵∠EAF+∠ACF＝90°，
∴∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB不一定為90°，
∴假設(shè)不成立，
∴，
∴選項B錯誤，不符合題意，
故選：ACD．
【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形的基本性質(zhì)，熟練掌握全等三角形與三角形的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
三、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C＝20°，則∠B'＝ 110 °．
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出∠B，再利用軸對稱的性質(zhì)解決問題即可．
【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，
∴∠B′＝∠B，
∵∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴∠B′＝110°，
故答案為：110．
【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
12．（3分）如圖，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠A＝70°，則∠B＝ 40° ．
【分析】三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，由此即可計算．
【解答】解：∵∠ACD＝110°，∠A＝70°，
∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝40°．
故答案為：40°．
【點評】本題考查三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
13．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是1080°，這個多邊形的邊數(shù)是 8 ．
【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方程即可．
【解答】解：設(shè)多邊形邊數(shù)有x條，由題意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案為：8．
【點評】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是熟練掌握計算公式：（n﹣2）?180 （n≥3）．
14．（3分）等腰三角形一邊長為4，另一邊長為9，則它的周長是 22 ．
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和9，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．
【解答】解：當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼椋?、4、9時，不符合三角形三邊關(guān)系，因此這種情況不成立；
當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼椋?、9、9時，符合三角形三邊關(guān)系，則三角形的周長為：4+9+9＝22．
因此等腰三角形的周長為22．
故填22．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣．
15．（3分）如圖，在△ABC和△DEF中，已知CB＝DF，∠C＝∠D，要使△ABC≌△EFD，還需添加一個條件，那么這個條件可以是 AC＝ED或∠A＝∠FED或∠ABC＝∠F ．
【分析】要使△ABC≌△EFD，已知CB＝DF，∠C＝∠D，具備了一組邊和一組角對應(yīng)相等，還缺少邊或角對應(yīng)相等的條件，結(jié)合判定方法及圖形進行選擇即可．
【解答】解：要使△ABC≌△EFD，已知CB＝DF，∠C＝∠D，
則可以添加AC＝ED，運用SAS來判定其全等；
也可添加一組角∠A＝∠FED或∠ABC＝∠F運用AAS來判定其全等．
故答案為：AC＝ED或∠A＝∠FED或∠ABC＝∠F．
【點評】本題主要考查了三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，直角邊AC＝7cm，BC＝3cm，CD為斜邊AB上的高，點E從點B出發(fā)，沿直線BC以2cm/s的速度移動，過點E作BC的垂線交直線CD于點F，則點E的運動時間t＝ 2或5 s時，CF＝AB．
【分析】先證明△CEF≌△ACB（AAS），得出CE＝AC＝7cm，①當(dāng)點E在射線BC上移動時，BE＝CE+BC＝＝10cm，即可求出E移動了5s；②當(dāng)點E在射線CB上移動時，CE′＝AC﹣BC＝4cm，即可求出E移動了2s．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠CBD＝90°，
∵CD為AB邊上的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠A，
∵過點E作BC的垂線交直線CD于點F，
∴∠CEF＝90°＝∠ACB，
在△CEF和△ACB中，
，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7cm，
①如圖，當(dāng)點E在射線BC上移動時，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm），
∵點E從點B出發(fā)，在直線BC上以2cm的速度移動，
∴E移動了：＝5（s）；
②當(dāng)點E在射線CB上移動時，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm），
∵點E從點B出發(fā)，在直線BC上以2cm的速度移動，
∴E移動了：＝2（s）；
綜上所述，當(dāng)點E在射線CB上移動5s或2s時，CF＝AB；
故答案為：2或5．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練正確全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
四、解答題（共8小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（6分）如圖，AC＝AE，AD＝AB，∠DAB＝∠EAC．求證：BC＝DE．
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠DAE＝∠BAC，進而利用SAS證明△ADE與△ABC全等，進而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】證明：∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB﹣∠EAB＝∠EAC﹣∠EAB，
即∠DAE＝∠BAC，
在△ADE與△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴BC＝DE．
【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)SAS可證明三角形全等，從而可得出結(jié)論．
18．（6分）如圖，∠A＝∠D＝90°，點B，E，F(xiàn)，C在同一直線上，AB＝CD，BE＝CF，求證：∠B＝∠C．
【分析】根據(jù)在線段BC上BE＝CF，判斷出BF＝EC，利用“HL”證出Rt△ABF≌Rt△DCE，進而判斷出∠B＝∠C．
【解答】證明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝EC，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴∠B＝∠C，
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，找到全等三角形的判定的適用條件是解題的關(guān)鍵．
19．（6分）如圖，每個小正方形的邊長為1，點A、B、C都是格點．
（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A1B1C1．
（2）寫出AA1的長度．
（3）求△ABC的面積．
【分析】（1）根據(jù)成軸對稱的性質(zhì)即可畫出△A1B1C1；
（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)即可求解；
（3）利用割補法求三角形的面積即可．
【解答】（1）如圖，△A1B1C1即為所求作；
（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)得AA1＝10；
（3）S△ABC＝5×3﹣×3×3﹣×2×2﹣×5×1＝6．
【點評】本題主要考查了作圖﹣軸對稱變換，三角形的面積，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點D，DE垂直平分AC，垂足為點E．
（1）求證：∠BAD＝∠C；
（2）∠BAD＝30°，求∠B的度數(shù)．
【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義可求出∠BAD＝∠DAE，再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝DC，即有∠C＝∠DAE，問題得解；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可得∠BAD＝∠C＝∠DAE＝30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠C；
（2）解：∵AD平分∠BAC，∠BAD＝30°，∠BAD＝∠C，
∴∠BAD＝∠C＝∠DAE＝30°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
【點評】本題考查了角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）如圖，兩棵大樹AB、CD之間相距13m，小華從點B沿BC方向往點C行走，8秒后到達(dá)點E，此時他仰望兩棵大樹的頂點A和D，兩條視線的夾角∠AED＝90°，且EA＝ED．已知大樹AB的高為5m，求小華行走的平均速度．
【分析】先根據(jù)三角形全等的判定定理證出△ABE≌△ECD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB＝CE＝5m，從而可得BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8（m），問題隨之得解．
【解答】解：由題意得：AB⊥BC，CD⊥BC，∠AED＝90°，BC＝13m，AB＝5m，
∴∠B＝∠C＝90°＝∠AED，
∴∠A+∠AEB＝∠CED+∠AEB＝90°，
∴∠A＝∠CED，
在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴AB＝CE＝5，
∴BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8（m），
∴小華行走的平均速度：8m÷8s＝1m/s，
答小華行走的平均速度為1m/s．
【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用．
22．（10分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝45°，∠ACB＝90°，∠ACD為△ABC的一個外角．
（1）請按以下要求畫出圖形，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母．
①尺規(guī)作圖：作∠ACD的平分線CM（保留作圖痕跡，不寫作法）；
②取線段AC的中點N，過N畫AC的垂線，與CM交于點F，與AB交于點E．
（2）求證：FN＝EN．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；
（2）根據(jù)ASA證明△ANE≌△CNF可得結(jié)論．
【解答】（1）解：圖形如圖所示；
（2）證明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠A＝45°，
∵CM平分∠ACD，∠ACD＝90°，
∴∠MCA＝45°，
∴∠ECN＝∠EAN，
∵EF垂直平分線段AC，
∴AN＝CN，
在∠ANE和△CNF中，
，
∴△ANE≌△CNF（ASA），
∴FN＝EN．
【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
23．（10分）等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上．
（1）如圖1，求證：∠BCO＝∠CAO
（2）如圖2，若OA＝5，OC＝2，求B點的坐標(biāo)
（3）如圖3，點C（0，3），Q、A兩點均在x軸上，且S△CQA＝18．分別以AC、CQ為腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，連接MN交y軸于P點，OP的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出OP的值；若變化，求OP的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得出結(jié)論即可；
（2）先過點B作BD⊥y軸于D，再判定△CDB≌△AOC（AAS），求得BD＝CO＝2，CD＝AO＝5，進而得出OD＝5﹣2＝3，即可得到B點的坐標(biāo)；
（3）先過N作NH∥CM，交y軸于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根據(jù)點C（0，3），S△CQA＝18，求得AQ＝12，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝6，即可求得OP＝3+6＝9（定值）．
【解答】解：（1）如圖1，∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠BCO+∠ACO＝90°＝∠CAO+∠ACO，
∴∠BCO＝∠CAO；
（2）如圖2，過點B作BD⊥y軸于D，則∠CDB＝∠AOC＝90°，
在△CDB和△AOC中，
，
∴△CDB≌△AOC（AAS），
∴BD＝CO＝2，CD＝AO＝5，
∴OD＝5﹣2＝3，
又∵點B在第三象限，
∴B（﹣2，﹣3）；
（3）OP的長度不會發(fā)生改變．
理由：如圖3，過N作NH∥CM，交y軸于H，則
∠CNH+∠MCN＝180°，
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，
∴∠MCQ+∠ACN＝180°，
∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，
∴∠CNH＝∠ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO＝90°＝∠QAC+∠ACO，
∴∠HCN＝∠QAC，
在△HCN和△QAC中，
，
∴△HCN≌△QAC（ASA），
∴CH＝AQ，HN＝QC，
∵QC＝MC，
∴HN＝CM，
∵點C（0，3），S△CQA＝18，
∴×AQ×CO＝18，即×AQ×3＝18，
∴AQ＝12，
∴CH＝12，
∵NH∥CM，
∴∠PNH＝∠PMC，
∴在△PNH和△PMC中，
，
∴△PNH≌△PMC（AAS），
∴CP＝PH＝CH＝6，
又∵CO＝3，
∴OP＝3+6＝9（定值），
即OP的長度始終是9．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積計算以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進行推導(dǎo)計算．解題時注意：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（7a，0），B（0，﹣7a），點C為x軸負(fù)半軸上一點，AD⊥AB，∠1＝∠2．
（1）求∠ABC+∠D的度數(shù)；
（2）如圖①，若點C的坐標(biāo)為（﹣3a，0），求點D的坐標(biāo)（結(jié)果用含a的式子表示）；
（3）如圖②，在（2）的條件下，若a＝1，過點D作DE⊥y軸于點E，DF⊥x軸于點F，點M為線段DF上一點，若第一象限內(nèi)存在點N（n，2n﹣3），使△EMN為等腰直角三角形，請直接寫出符合條件的N點坐標(biāo)，并選取一種情況計算說明．
【分析】（1）如圖1中，設(shè)CD與y軸交于點E．根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理，只要證明∠BCD+∠BAD＝180°即可解決問題．
（2）如圖1中，求出直線AB、BC的解析式，再求出直線AD、CD的解析式，利用方程組求交點D坐標(biāo)．
（3）分四種情形，利用全等三角形的性質(zhì)，列出方程分別求解即可．
【解答】解：（1）如圖1中，設(shè)CD與y軸交于點E．
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∵∠1+∠BCO＝90°，∠1＝∠2，
∴∠BCO+∠2＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠ABC+∠D＝360°﹣（∠BCD+∠BAD）＝180°．
（2）如圖1中，
∵A（7a，﹣7a），B（0，﹣7a），
∴直線AB的解析式為y＝x﹣7a，
∵AD⊥AB，
∴直線AD的解析式為y＝﹣x+7a，
∵C（﹣3a，0），B（0，﹣7a），
∴直線BC的解析式為y＝﹣x﹣7a，
∵CD⊥BC，
∴直線CD的解析式為y＝x+a，
由解得，
∴點D的坐標(biāo)為（4a，3a）．
解法二：作CM⊥AD于M，CN⊥AB于N，DH⊥AC于H．
首先證明：△CMD≌△CNB，再證明△BOC≌△CHD即可．
（3）①如圖2中，作NG⊥OE于G，GN的延長線交DF于H．
∵△NEM是等腰直角三角形，
∴EN＝MN，∠ENM＝90°，
由△ENG≌△NMH，得EG＝NH，
∵N（n，2n﹣3），D（4，3），
∴HN＝EG＝3﹣（2n﹣3）＝6﹣2n
∵GH＝4，
∴n+6﹣2n＝4，
∴n＝2，
∴N（2，1）．
②如圖3中，作NG⊥OE于G，MH⊥OE于H．
由△ENG≌△MEH，得GE＝HM＝4，
∴OG＝7＝2n﹣3，
∴n＝5，
∴N（5，7），此時點M不在線段DF上，不符合題意舍去．
③如圖4中，作NG⊥OE于G，GN的延長線交DF于H．
由△ENG≌△NMH得EG＝NH＝4﹣n，
∴3+4﹣n＝2n﹣3，
∴n＝，
∴N（，）．
④如圖5中，作MG⊥OE于G，NH⊥GM于H．
由△EMG≌△MNH得EG＝MH＝n﹣4，MG＝NH＝4
∴GH＝n，
∴3﹣（n﹣4）+4＝2n﹣3，
∴n＝，
∴N（，）．
綜上所述，滿足條件的點N的坐標(biāo)為（2，1）或（，）或（，）．
【點評】本題考查三角形綜合題、四邊形內(nèi)角和定理、一次函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組解決交點問題，學(xué)會解題常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．