1．（3分）以下列各組線段長為邊，能組成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．8，6，4C．12，5，6D．2，3，6
2．（3分）下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）點M（1，2）關于x軸對稱點的坐標為（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
4．（3分）經常開窗通風，可以有效地利用陽光和空氣中的紫外線殺死病菌，清除室內空氣中的有害氣體，凈化空氣，如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運用的幾何原理是（ ）
A．三角形的穩(wěn)定性B．兩點之間線段最短
C．兩點確定一條直線D．垂線段最短
5．（3分）在聯歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放的最適當的位置是在△ABC的（ ）
A．三邊中線的交點
B．三邊垂直平分線的交點
C．三條角平分線的交點
D．三邊上高的交點
6．（3分）一個多邊形的內角和是外角和的2倍，這個多邊形是（ ）
A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形
7．（3分）如圖用直尺和圓規(guī)作一個角的角平分線，能得出∠AOP＝∠BOP的依據是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
8．（3分）如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠2+∠3的度數是（ ）
A．75°B．90°C．105°D．135°
9．（3分）下列各組所述幾何圖形中，一定全等的是（ ）
A．兩個底邊相等等腰三角形
B．斜邊相等的兩個直角三角形
C．兩個等邊三角形
D．有一個角是100°，腰長相等的兩個等腰三角形
10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，三角形A1A2A3，三角形A3A4A5，三角形A5A6A7，…，是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2，4，6…的等腰直角三角形．若三角形A1A2A3的頂點坐標分別為A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），則依圖中所示規(guī)律，A2025的坐標為（ ）
A．（﹣1012，0）B．（2，1012）C．（1，﹣1013）D．（1014，0）
二、填空題（每題3分；共15分）
11．（3分）如圖，△ABD≌△ECB，若AD＝5，DE＝6，則BC的長為 ．
12．（3分）將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，若AB＝6cm，則陰影部分的面積是 cm2．
13．（3分）小強站在鏡前，從鏡子中看到鏡子對面墻上掛著的電子表，其讀數如圖所示，則電子表的實際時刻是 ．
14．（3分）如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上一動點，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，則△APC周長的最小值是 ．
15．（3分）如圖，在長方形ABCD中，AB＝10cm，點E在線段AD上，且AE＝6cm，動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q在線段BC上，以vcm/s的速度由點B向點C運動，當△EAP與△PBQ全等時，v的值為 ．
三、解答題一（16題6分，17，18每的題7分，共20）
16．（6分）已知：如圖，BC∥EF，BC＝EF，AF＝DC，求證：∠A＝∠D．
17．（7分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，DE⊥AB，DF⊥AC，求證：BE＝CF．
18．（7分）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC．
（1）試用直尺和圓規(guī)在AC上找一點D，使AD＝BD（不寫作法，但需保留作圖痕跡）；
（2）在（1）中，連接BD，若BD＝BC，求∠A的度數．
四、解答題二（每題9分，共27）
19．（9分）如圖，在△ABC中，BE是角平分線，點D在邊AB上（不與點A，B重合），CD與BE交于點O．
（1）若CD是中線，BC＝3，AC＝2，則△BCD與△ACD的周長差為 ；
（2）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度數；
（3）若∠A＝78°，CD是角平分線，求∠BOC的度數．
20．（9分）如圖，△ABC在平面直角坐標系中，其中A，B，C的坐標分別為A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，其中，點A、B、C的對應點分別為A1、B1、C1（不要求寫作法）；
（2）寫出點A1、B1，C1的坐標；
（3）在x軸上找一點P，當PA+PC的值最小時，求△PAC的面積．
21．（9分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于點M，點D在AM上，且DM＝CM，F是BC的中點，連接FD并延長，在FD的延長線上有一點E，連接CE，且CE＝CA．
（1）求證：△BDM≌△ACM；
（2）求證：∠CEF＝∠BDF．
五、解答題三（每題14分，共28分）
22．（14分）如圖：△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點．由點A向點C運動（P與點A、C不重合），點Q同時以點P相同的速度，由點B向CB延長線方向運動（點Q不與點B重合），過點P作PE⊥AB于點E，連接PQ交AB于點D．
（1）若設AP的長為x，則PC＝ ，QC＝ ．
（2）當∠BQD＝30°時，求BD的長．
（3）點P，Q在運動過程中，線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化，請說明理由．
23．（14分）閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為90°，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當模型中有一組對應邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．
（1）問題解決：如圖1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求證：△ADC≌△CEB；
（2）問題探究：如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝3.2cm，DE＝2.3cm，求BE的長；
（3）拓展延伸：在平面直角坐標系中，A（5，2），點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，△ABC為等腰直角三角形．
①如圖3，當∠CBA＝90°時，求點C的坐標；
②直接寫出其他符合條件的C點的坐標．
2024-2025學年廣東省惠州五中教育集團八年級（上）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（每題3分，共30分）
1．（3分）以下列各組線段長為邊，能組成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．8，6，4C．12，5，6D．2，3，6
【答案】B
【分析】根據在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．
【解答】解：根據三角形任意兩邊的和大于第三邊．
A、1+2＝3＜4，不能組成三角形，故本選項錯誤；
B、4+6＝10＞8，能組成三角形，故本選項正確；
C、5+6＝11＜12，不能夠組成三角形，故本選項錯誤；
D、2+3＝5＜6，不能組成三角形，故本選項錯誤．
故選：B．
【點評】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件，其實用兩條較短的線段相加，如果大于最長的那條就能夠組成三角形．
2．（3分）下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：選項A、C、D的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．
選項B的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故選：B．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3．（3分）點M（1，2）關于x軸對稱點的坐標為（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
【答案】D
【分析】兩點關于x軸對稱，那么讓橫坐標不變，縱坐標互為相反數即可．
【解答】解：∵2的相反數是﹣2，
∴點M（1，2）關于x軸對稱點的坐標為 （1，﹣2）．
故選：D．
【點評】本題考查兩點關于x軸對稱的坐標的特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數．
4．（3分）經常開窗通風，可以有效地利用陽光和空氣中的紫外線殺死病菌，清除室內空氣中的有害氣體，凈化空氣，如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運用的幾何原理是（ ）
A．三角形的穩(wěn)定性B．兩點之間線段最短
C．兩點確定一條直線D．垂線段最短
【答案】A
【分析】由三角形的穩(wěn)定性即可得出答案．
【解答】解：一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性，
故選：A．
【點評】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，加上窗鉤AB構成了△AOB，而三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵．
5．（3分）在聯歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放的最適當的位置是在△ABC的（ ）
A．三邊中線的交點
B．三邊垂直平分線的交點
C．三條角平分線的交點
D．三邊上高的交點
【答案】B
【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點上．
【解答】解：∵三角形的三條垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，
∴凳子應放在△ABC的三條垂直平分線的交點最適當．
故選：B．
【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質的應用；利用所學的數學知識解決實際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關鍵．
6．（3分）一個多邊形的內角和是外角和的2倍，這個多邊形是（ ）
A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形
【答案】C
【分析】此題可以利用多邊形的外角和和內角和定理求解．
【解答】解：設所求多邊形邊數為n，由題意得
（n﹣2）?180°＝360°×2
解得n＝6．
則這個多邊形是六邊形．
故選：C．
【點評】本題考查多邊形的內角和與外角和、方程的思想．關鍵是記住內角和的公式與外角和的特征：任何多邊形的外角和都等于360°，n邊形的內角和為（n﹣2）?180°．
7．（3分）如圖用直尺和圓規(guī)作一個角的角平分線，能得出∠AOP＝∠BOP的依據是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【分析】連接PN，PM，由作圖痕跡可知，ON＝OM，PN＝PM，結合全等三角形的判定可得△OPN≌△OPM，進而可得答案．
【解答】解：連接PN，PM，
由作圖痕跡可知，ON＝OM，PN＝PM，
∵OP＝OP，
∴△OPN≌△OPM（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，
∴能得出∠AOP＝∠BOP的依據是SSS．
故選：A．
【點評】本題考查作圖—基本作圖、全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．
8．（3分）如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠2+∠3的度數是（ ）
A．75°B．90°C．105°D．135°
【答案】D
【分析】標注字母，利用“邊角邊”判斷出△ABC和△DEA全等，根據全等三角形對應角相等可得∠1＝∠4，然后求出∠1+∠3＝90°，再判斷出∠2＝45°，然后計算即可得解．
【解答】解：如圖，
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故選：D．
【點評】本題考查了全等圖形，網格結構，準確識圖判斷出全等的三角形是解題的關鍵．
9．（3分）下列各組所述幾何圖形中，一定全等的是（ ）
A．兩個底邊相等等腰三角形
B．斜邊相等的兩個直角三角形
C．兩個等邊三角形
D．有一個角是100°，腰長相等的兩個等腰三角形
【答案】D
【分析】根據全等三角形的判定定理進行分析判斷．
【解答】解：A、底邊相等的兩個等腰三角形的腰長不一定相等，因此底邊相等的兩個等腰三角形不一定全等，不符合題意；
B、斜邊和直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，不符合題意；
C、兩個等邊三角形的對應邊不一定相等，則這兩個等邊三角形不一定全等，不符合題意；
D、根據“SAS”可以判定“有一個角是100°，腰長相等的兩個等腰三角形”，符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，三角形A1A2A3，三角形A3A4A5，三角形A5A6A7，…，是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2，4，6…的等腰直角三角形．若三角形A1A2A3的頂點坐標分別為A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），則依圖中所示規(guī)律，A2025的坐標為（ ）
A．（﹣1012，0）B．（2，1012）C．（1，﹣1013）D．（1014，0）
【答案】D
【分析】由圖形中點的位置得到落在x軸上的點都是奇數點，則A2025這點在x軸上，A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8類推每4個為一組，得到A2025在A1點的右側，由圖形觀察得到點A1（2，0），A5（4，0），A9（6，0）的橫坐標間相差2，故可得到A2025的橫坐標，得到結果．
【解答】解：∵根據圖中點坐標特點，奇數點均在x軸上，
∴A2025在x軸上，且縱坐標為0，
∵A1到A4，A5到A8，以此類推，每4個為一組，且2025÷4＝506……1，
∴A2025在A1點有右側，其橫坐標為正數，
∵A1（2，0），A5（4，0），A9（6，0），
∴A（4n﹣3）的橫坐標為2n，
∴A2025＝A（4×507﹣3）＝2×507＝1014．∴A2025的坐標為（1014，0）．
故選：D．
【點評】本題考查平面直角坐標系中點的坐標，通過找規(guī)律來找相關點的坐標是解題的關鍵．
二、填空題（每題3分；共15分）
11．（3分）如圖，△ABD≌△ECB，若AD＝5，DE＝6，則BC的長為 11 ．
【答案】11．
【分析】由全等三角形的性質得到BE＝AD＝5，BD＝CB，求出BD＝BE+DE＝11，即可得到 BC＝11．
【解答】解：∵△ABD≌△ECB，
∴BE＝AD＝5，CB＝BD，
∵DE＝6，
∴BD＝BE+DE＝11，
∴BC＝11．
故答案為 11．
【點評】本題考查全等三角形的性質，關鍵是掌握全等三角形的對應邊、對應角相等．
12．（3分）將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，若AB＝6cm，則陰影部分的面積是 4.5 cm2．
【答案】4.5．
【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面積，必須先求出直角邊AC的長；Rt△ABC中，已知斜邊AB及∠B＝30°，易求得AC的長，進而可根據三角形面積的計算方法求出陰影部分的面積．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝6cm，
∴AC＝3cm．
由題意可知BC∥DE，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝3cm．
故（cm2）．
故答案為：4.5．
【點評】本題考查了含30°角的直角三角形及等腰直角三角形的知識，發(fā)現△ACF是等腰直角三角形，并能根據直角三角形的性質求出直角邊AC的長，是解答此題的關鍵．
13．（3分）小強站在鏡前，從鏡子中看到鏡子對面墻上掛著的電子表，其讀數如圖所示，則電子表的實際時刻是 10：21 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】鏡子中看到的數字與實際數字是關于鏡面成垂直的線對稱．注意鏡子的5實際應為2．
【解答】解：電子表的實際時刻是10：21，可以把給定的讀數寫在紙上，然后把紙翻過來看到的讀數就是實際讀數．
故答案為10：21．
【點評】對于這類題型常用的解題方法為把給定的讀數寫在紙上，然后把紙翻過來看到的讀數就是實際讀數．
14．（3分）如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上一動點，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，則△APC周長的最小值是 13 ．
【答案】13．
【分析】根據題意得到△APC周長的最小值是AB+AC直接求解即可得到答案．
【解答】解：∵直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上一動點，
∴PB＝PC，
∴AP+CP＝BP+AP，
∴AP+CP最小為AB，
∴C△APC最小＝AB+AC＝6+7＝13，
故答案為：13．
【點評】本題考查垂直平分線的性質及牧人飲馬最短距離問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合本節(jié)所學軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．
15．（3分）如圖，在長方形ABCD中，AB＝10cm，點E在線段AD上，且AE＝6cm，動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q在線段BC上，以vcm/s的速度由點B向點C運動，當△EAP與△PBQ全等時，v的值為 2或 ．
【答案】2或．
【分析】當△EAP與PBQ全等時，有兩種情況：①當EA＝PB時，△APE≌△BQP，②當AP＝BP時，△AEP≌△BQP，分別按照全等三角形的性質及行程問題的基本數量關系求解即可．
【解答】當△EAP與△PBQ全等時，有兩種情況：
①當EA＝PB時，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB＝10cm，AE＝6cm，
∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm，
∴BQ＝AP＝4cm；
∵動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，
∴點P和點Q的運動時間為：4÷2＝2s，
∴v的值為：4÷2＝2cm/s；
②當AP＝BP時，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB＝10cm，AE＝6cm，
∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm，
∵5÷2＝2.5s，
∴2.5v＝6，
∴v＝?
故答案為：2或．
【點評】本題考查了矩形的性質及全等三角形的判定與性質等知識點，數形結合、分類討論并熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．
三、解答題一（16題6分，17，18每的題7分，共20）
16．（6分）已知：如圖，BC∥EF，BC＝EF，AF＝DC，求證：∠A＝∠D．
【答案】證明過程詳見解答過程．
【分析】欲證∠A＝∠D，可證△ABC≌△DEF．由AF＝DC，得AC＝DF．由BC∥EF，得∠EFC＝∠BCA，從而證得△ABC≌△DEF．
【解答】證明：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC．
∴AC＝DF．
∵BC∥EF，
∴∠EFC＝∠BCA．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴∠A＝∠D．
【點評】本題主要考查平行線的性質以及全等三角形的性質與判定，熟練掌握平行線的性質以及全等三角形的性質與判定是解決本題的關鍵．
17．（7分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，DE⊥AB，DF⊥AC，求證：BE＝CF．
【答案】證明見解答．
【分析】由AB＝AC，AD是BC邊上的中線，得BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，由DE⊥AB，DF⊥AC，得DE＝DF，即可根據“HL”證明Rt△BDE≌Rt△CDF，則BE＝CF．
【解答】證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質、角平分線的性質等知識，適當選擇全等三角形的判定定理證明Rt△BDE≌Rt△CDF是解題的關鍵．
18．（7分）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC．
（1）試用直尺和圓規(guī)在AC上找一點D，使AD＝BD（不寫作法，但需保留作圖痕跡）；
（2）在（1）中，連接BD，若BD＝BC，求∠A的度數．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）直接利用線段垂直平分線的性質得出符合題意的圖形；
（2）直接利用等腰三角形的性質結合三角形內角和定理得出答案．
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）設∠A＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝x，
在△ABD中
∠BDC＝∠A+∠DBA＝2x，
又∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
在△ABC中
∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
故∠A的度數為36°．
【點評】此題主要考查了基本作圖、等腰三角形的性質以及三角形內角和定理，正確掌握線段垂直平分線的性質是解題關鍵．
四、解答題二（每題9分，共27）
19．（9分）如圖，在△ABC中，BE是角平分線，點D在邊AB上（不與點A，B重合），CD與BE交于點O．
（1）若CD是中線，BC＝3，AC＝2，則△BCD與△ACD的周長差為 1 ；
（2）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度數；
（3）若∠A＝78°，CD是角平分線，求∠BOC的度數．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）首先由CD是中線得BD＝AD，再分別求出△BCD和△ACD的周長，然后再求出它們的差即可；
（2）先根據CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再根據角平分線的定義求出∠ABE＝31°，然后根據三角形的外角定理可得∠BOC的度數；
（2）先利用三角形的內角和定理求出∠ABC+∠ACB＝102°，由此可根據據角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB＝51°，然后利用三角形的內角和定理可求出∠BOC的度數．
【解答】解：（1）∵CD是中線，
∴BD＝AD，
∵BC＝3，AC＝2，
∴△BCD的周長P1＝BC+BD+AD＝3+AD+CD，△ACD的周長為P2＝AD+CD+AC＝2+AD+CD，
∴P1﹣P2＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1．
故答案為：1．
（2）CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分線，
∴∠ABE＝1/2∠ABC＝1/2×62°＝31°，
∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°，
（3）∵∠A＝78°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣78°＝102°，
∵BE，CD是△ABC的角平分線，
∴∠OBC＝1/2∠ABC，∠OCB＝1/2∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝1/2（∠ABC+∠ACB）＝1/2×102°＝51°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°．
【點評】此題主要考查了三角形的內角和是定理，三角形的外角定理，三角形角平分線的定義，三角形高的定義，理解三角形角平分線的定義和三角形高的定義，靈活運用三角形的內角和定理進行角度的計算是解答此題的關鍵．
20．（9分）如圖，△ABC在平面直角坐標系中，其中A，B，C的坐標分別為A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，其中，點A、B、C的對應點分別為A1、B1、C1（不要求寫作法）；
（2）寫出點A1、B1，C1的坐標；
（3）在x軸上找一點P，當PA+PC的值最小時，求△PAC的面積．
【答案】（1）見解答；
（2）A1（2，1），B1（4，5），C（5，2）；
（3）圖見解答，2．
【分析】（1）根據軸對稱的性質作圖即可．
（2）由圖可得答案．
（3）取點A關于x軸的對稱點A'，連接A'C，交x軸于點P，則點P即為所求，即可得出答案．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1 即為所求；
（2）由圖可得，A1（2，1），B1（4，5），C（5，2）；
（3）取點A關于x軸的對稱點A′，連接A′C，交x軸于點P，此時 PA+PC 的值最小，
∴點P的坐標為 （﹣3，0），
作 AD⊥x軸，垂足為D；CE⊥x軸，垂足E，
．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換、軸對稱﹣最短路線問題、點的坐標，熟練掌握軸對稱的性質是解答本題的關鍵．
21．（9分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于點M，點D在AM上，且DM＝CM，F是BC的中點，連接FD并延長，在FD的延長線上有一點E，連接CE，且CE＝CA．
（1）求證：△BDM≌△ACM；
（2）求證：∠CEF＝∠BDF．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【分析】（1）根據題中條件通過SAS即可證明；
（2）延長EF到點G，使得FG＝EF，連接BG，根據條件證明△BFG≌△CFE（SAS），從而得到BD＝CE＝BG，即可證明．
【解答】（1）證明：∵∠ABC＝45°，AM⊥BC，
∴AM＝BM，∠BMD＝∠AMC，
∵DM＝CM，
∴△BDM≌△ACM（SAS），
（2）證明：延長EF到點G，使得FG＝EF，連接BG，如圖，
∵△BDM≌△ACM，
∴BD＝AC，
∵CE＝CA，
∴CE＝BD，
∵F是BC中，
∴BF＝CF，
∵∠BFG＝∠EFC，FG＝EF，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，
∴BD＝CE＝BG，
∴∠G＝∠BDF＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠BDF；
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
五、解答題三（每題14分，共28分）
22．（14分）如圖：△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點．由點A向點C運動（P與點A、C不重合），點Q同時以點P相同的速度，由點B向CB延長線方向運動（點Q不與點B重合），過點P作PE⊥AB于點E，連接PQ交AB于點D．
（1）若設AP的長為x，則PC＝ 6﹣x ，QC＝ 6+x ．
（2）當∠BQD＝30°時，求BD的長．
（3）點P，Q在運動過程中，線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化，請說明理由．
【答案】（1）6﹣x，6+x；
（2）2；
（3）點P，Q在運動過程中，線段ED的長不發(fā)生變化，DE＝3．
【分析】（1）由等邊三角形的性質及線段的和差關系即可求解；
（2）易得∠QPC＝90°，由含30度角的直角三角形的性質可得∴，解答即可求得AP的長，進而得到BD的長；
（3）過點P作BC的平行線交AB于M，證得△PDM≌△QDB（AAS），得到BD＝DM，進而求得DE＝DM+ME＝AB＝3．
【解答】解：（1）∵△ABC 是邊長為6的等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
由點A向點C運動（P與點A、C不重合），點Q同時以點P相同的速度，由點B向CB延長線方向運動（點Q不與點B重合），設AP的長為x，
∴PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
故答案為：6﹣x，6+x；
（2）根據題意可知：BQ＝AP＝x，
∵△ABC 是邊長為6的等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠CPQ＝180°﹣∠C﹣∠BQD＝90°，∠QDB＝∠B﹣∠BQD＝30°，
∴△QCP是直角三角形，∠BQD＝∠BQD，
∴QB＝BD，
∴，
∴，
解得：x＝2，
∴BQ＝AP＝BD＝2；
（3）點P，Q在運動過程中，線段ED的長不發(fā)生變化，DE＝3；理由如下：
如圖，過點P作BC的平行線交AB于M，
∵△ABC 是邊長為6的等邊三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，
∵PM∥BC，
∴∠AMP＝∠A＝∠ABC＝60°，∠PMD＝∠QBD，
∴△AMP是等邊三角形，
∴MP＝AP＝x，
∵PE⊥AB，
∴AE＝ME，
∵QB＝AP＝x，
∴QB＝MP，
∵∠PDM＝∠QDB，
∴△PDM≌△QDB（AAS），
∴BD＝DM，
∴DE＝DM+ME＝BM+AM＝（BM+AM）＝AB＝3，
∴點P，Q在運動過程中，線段ED的長不發(fā)生變化，DE＝3．
【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質，三角形的內角和定理，含30度角的直角三角形，解一元一次方程，垂線的性質，平行線的判定，全等三角形的判定與性質，等式的性質，平行四邊形的判定與性質等知識點，合理添加輔助線，構造全等三角形和平行四邊形是解題的關鍵．
23．（14分）閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為90°，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當模型中有一組對應邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．
（1）問題解決：如圖1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求證：△ADC≌△CEB；
（2）問題探究：如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝3.2cm，DE＝2.3cm，求BE的長；
（3）拓展延伸：在平面直角坐標系中，A（5，2），點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，△ABC為等腰直角三角形．
①如圖3，當∠CBA＝90°時，求點C的坐標；
②直接寫出其他符合條件的C點的坐標．
【答案】（1）見解析；
（2）0.9cm；
（3）①（0，5）；②（0，4），（0，10），．
【分析】（1）因為AD⊥DE于D，∠ACB＝90°，所以∠DAC＝∠BCE，因為AC＝BC，即可通過AAS證明△ADC≌△CEB作答．
（2）因為∠ACB＝90°，BE⊥CE，得∠CBE＝∠ACD，因為AC＝BC，即可通過AAS證明△ADC≌△CEB，再運用全等三角形的性質，即可作答．
（3）①過點B作BE⊥y軸，過點A作AD⊥EB的延長線，易得∠CBE+∠ABD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∠D＝90°，通過AAS證明△ADB≌△BEC，再設點B的坐標為（a，a），C（0，b），根據AD＝EB，CE＝BD，進行列式作答即可；②分類討論，當∠ABC＝90°，∠BAC＝90°，和∠ACB＝90°分別作圖，接著證明相應三角形全等，根據全等三角形的對應邊相等，列式作答即可．
【解答】解：（1）∵AD⊥DE于D，∠ACB＝90°，
∴∠D＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°，∠BCE+∠DCA＝90°，
即∠DAC＝∠BCE，
∵BE⊥DE，
∴∠E＝∠D＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠E＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
∵AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
則AD＝CE＝3.2cm，CD＝BE，
∵DE＝2.3cm，
∴CD＝CE﹣DE＝（3.2﹣2.3）cm＝0.9cm，
即BE＝0.9cm；
（3）①過點B作BE⊥y軸，過點A作AD⊥EB的延長線，如圖：
因為∠ABC＝90°，過點A作AD⊥EB的延長線，
∴∠CBE+∠ABD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∠D＝90°，
∵過點B作BE⊥y軸，
∴∠CEB＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴AD＝EB，CE＝BD，
∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，
∴設點B的坐標為（a，a），C（0，b），
∵AD＝EB，CE＝BD，A（5，2），
∴2﹣a＝a，b﹣a＝5﹣a，
解得a＝1，b＝5，
故點C的坐標為（0，5）；
②∠ABC＝90°，AB＝BC，過點B作BE⊥y軸，過點A作射線AF∥x軸，且過點B作DB⊥AD，如圖：
易知∠EBD＝90°，
因為∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝∠ABD，
∵過點B作BE⊥y軸，過點B作DB⊥AD，
∴∠CEB＝∠D＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，BD＝EB，
∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，
∴設點B的坐標為（a，a），C（0，b），
∵AD＝CE，BD＝EB，A（5，2），
∴a﹣5＝b﹣a，a﹣2＝a，
此時a無解，
當∠BAC＝90°，AC＝BA，過點A作直線l∥x軸，與y軸交于點D，過點B作BE⊥l于點E，如圖：
∵∠BAC＝90°，∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°＝∠DAC+∠BAE，
即∴∠DCA＝∠BAE，
∵AC＝AB，
∴△ADC≌△BEA（AAS），
∴AD＝EB，CD＝AE，
∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，
∴設點B的坐標為（a，a），C（0，b），
∵AD＝EB，CD＝AE，A（5，2），
∴5＝a﹣2，b﹣2＝a﹣5，
解得a＝7，b＝4，
故點C的坐標為（0，4）；
當∠BAC＝90°，AC＝BA，過點A作直線l∥y軸，過點B作BE⊥l于點E，過點C作CD⊥l于點D，如圖：
∵∠BAC＝90°，∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°＝∠DAC+∠BAE，
即∴∠DCA＝∠BAE，
∵AC＝AB，
∴△ADC≌△BEA（AAS），
∴AD＝EB，CD＝AE，
∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，
∴設點B的坐標為（a，a），C（0，b），
∵AD＝EB，CD＝AE，A（5，2），
∴b﹣2＝﹣a+5，5＝2﹣a，
解得a＝﹣3，b＝10，
故點C的坐標為（0，10）；
當∠ACB＝90°時，AC＝BC，過點C作直線l∥x軸，過點B作BE⊥l于點E，過點A作AD⊥l于點D，如圖：
∵∠ACB＝90°，∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°＝∠DAC+∠BCE，
即∠DCA＝∠BCE，
∵AC＝CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝EB，CD＝AE，
∵點B在第一、第三象限的角平分線l上．點C在y軸上，
∴設點B的坐標為（a，a），C（0，b），
∵AD＝CE，CD＝BE，A（5，2），
∴b﹣2＝﹣a，5＝b﹣a，
解得，
故點C的坐標為；
綜上，其他符合條件的C點的坐標為（0，4），（0，10），．
【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的性質與判定，平角的定義，直角三角形的兩個銳角互余，“一線三直角”的模型，綜合性較強，難度較大，靈活使用分類討論思想以及正確掌握作輔助線是解題的關鍵．
聲明：試題解析著作權屬所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/11/26 0:56:48；用戶：18328501451；郵箱：18328501451；學號：43314264

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