1．（3分）窗花是中國(guó)古老的民間藝術(shù)之一，下列窗花作品中為軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列每組數(shù)分別是三根木棒的長(zhǎng)度，能用它們擺成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cmD．12cm，12cm，20cm
3．（3分）如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線OC，這一做法用到三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
4．（3分）如圖，△ABC≌△DCB，若AC＝9，BE＝6，則DE的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．6C．2D．4
5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分別是△ABC的中線和角平分線．若∠CAD＝20°，則∠ACE的度數(shù)是（ ）
A．20°B．35°C．40°D．70°
6．（3分）如圖，∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，要根據(jù)“HL”判定△ABC≌△DEF，則需添加的條件是（ ）
A．BC＝EFB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．∠ACB＝∠F
7．（3分）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是中線，AD＝4，S△ABC＝12，則BE的長(zhǎng)為（ ）
A．1.5B．3C．4D．6
8．（3分）如圖，a∥b，等邊△ABC的頂點(diǎn)B在直線b上，∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．60°B．45°C．40°D．30°
9．（3分）△ABC中，AD是BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝4，則AD的取值范圍是（ ）
A．1＜AD＜5B．2＜AD＜6C．4＜AD＜6D．2＜AD＜10
10．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PE最小時(shí)，∠CPE的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分．）
11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，﹣1）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
12．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 ．
13．（3分）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為5和8，則此三角形的周長(zhǎng)為 ．
14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分線，若AB＝12，BC＝8，則△BCE的周長(zhǎng)為 ．
15．（3分）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)為15，∠BAC和∠ABC的平分線AD和BE相交于點(diǎn)P．若點(diǎn)P到邊AB的距離為2，則△ABC的面積為 ．
16．（3分）在四邊形ABCD中，AB＝20cm，BC＝16cm，CD＝24cm，∠B＝∠C，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以4cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為 時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等．
三、解答題（本題有9個(gè)小題，共72分，解答要求寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟．）
17．（4分）如圖，點(diǎn)D是△ABC邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ACD＝120°，∠B＝20°，求∠A的度數(shù)．
18．（4分）如圖，AB＝AC，AD＝AE．求證：∠B＝∠C．
19．（6分）如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上．
（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線y成軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面積．
20．（6分）如圖，點(diǎn)D在AC邊上，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2．
（1）求證：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝45°，求∠BDE的度數(shù)．
21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：在AC邊上找一點(diǎn)D，使DB＝DC；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）在（1）的條件下若BD＝6，求AC的長(zhǎng)．
22．（10分）如圖1，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D、E．
（1）求證：AD＝AE；
（2）在圖1的條件下，如圖2，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，且PM＝PN，AM＝5，AN＝3，求AD的長(zhǎng)．
23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，連接CD，DE，以DE邊在DE的左側(cè)作等邊三角形DEF，連接BF．
（1）求證：△BCD為等邊三角形；
（2）求證：∠DBF＝∠DCE．
24．（12分）如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，連接BE，CD，點(diǎn)M，N分別是BE，CD的中點(diǎn)，連接AM，AN，MN．
（1）求證：BE＝CD；
（2）求證：△AMN是等邊三角形；
（3）如圖2，△ABD與△AEC都是等腰直角三角形，連接BE，CD，點(diǎn)M，N分別是BE，CD的中點(diǎn)，連接AM，AN．若點(diǎn)N恰好也是AE的中點(diǎn)，且AE＝2，求△ABE的面積．
25．（12分）如圖，點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)，以AB為腰作等腰Rt△ABC．
（1）如圖①，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；
（2）如圖②，過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，連接BD．求∠BDC的大小；
（3）如圖③，移動(dòng)點(diǎn)A，B的位置，使x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點(diǎn)M，試猜想線段AM、OB、OM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
2024-2025學(xué)年廣東省廣州市增城區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題有10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分，下面每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的）
1．（3分）窗花是中國(guó)古老的民間藝術(shù)之一，下列窗花作品中為軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．利用軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：選項(xiàng)B、C、D中的圖形均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
選項(xiàng)A中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）下列每組數(shù)分別是三根木棒的長(zhǎng)度，能用它們擺成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cmD．12cm，12cm，20cm
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷即可．
【解答】解：3+4＜8，A不能擺成三角形；
8+7＝15，B不能擺成三角形；
5+5＜11，C不能擺成三角形；
12+12＞20，20﹣12＜12，D能擺成三角形；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線OC，這一做法用到三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
【答案】A
【分析】根據(jù)作圖過(guò)程可得MO＝NO，MC＝NC，再利用SSS可判定△MCO≌△CNO．
【解答】解：∵在△MCO和△NCO中，
∴△MCO≌△CNO（SSS），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了基本作圖，以及全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定三角形全等的方法．
4．（3分）如圖，△ABC≌△DCB，若AC＝9，BE＝6，則DE的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．6C．2D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差求解即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，AC＝9，
∴BD＝AC＝9，
∵BD＝BE+DE，BE＝6，
∴DE＝3，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分別是△ABC的中線和角平分線．若∠CAD＝20°，則∠ACE的度數(shù)是（ ）
A．20°B．35°C．40°D．70°
【答案】B
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)角平分線的定義計(jì)算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝＝70°，
∵CE是△ABC的角平分線，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線和角平分線以及三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，要根據(jù)“HL”判定△ABC≌△DEF，則需添加的條件是（ ）
A．BC＝EFB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．∠ACB＝∠F
【答案】B
【分析】利用“HL”的判定方法，添加兩斜邊相等即可．
【解答】解：∵∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，
∴當(dāng)添加AC＝DF時(shí)，△ABC≌△DEF（HL）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．
7．（3分）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是中線，AD＝4，S△ABC＝12，則BE的長(zhǎng)為（ ）
A．1.5B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】利用三角形面積公式求出BC，再根據(jù)中線的定義求出BE即可．
【解答】解：∵S△ABC＝BC?AD＝12，AD＝4，
∴BC＝6，
∵AE是中線，
∴BE＝BC＝3．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積，掌握三角形面積公式及中線的定義是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，a∥b，等邊△ABC的頂點(diǎn)B在直線b上，∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．60°B．45°C．40°D．30°
【答案】C
【分析】過(guò)C作CM∥直線l，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠ACB＝60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠1＝∠MCB，∠2＝∠ACM，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，
過(guò)C作CM∥直線l，
∵直線l∥直線m，
∴直線l∥直線m∥CM，
∵∠ACB＝60°，∠1＝20°，
∴∠1＝∠MCB＝20°，
∴∠2＝∠ACM＝∠ACB﹣∠MCB＝60°﹣20°＝40°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
9．（3分）△ABC中，AD是BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝4，則AD的取值范圍是（ ）
A．1＜AD＜5B．2＜AD＜6C．4＜AD＜6D．2＜AD＜10
【答案】A
【分析】延長(zhǎng)AD到E，使AD＝DE，連接BE，證明△ADC≌△EDB（SAS），推出AC＝BE＝4，在△ABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．
【解答】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD＝DE，連接BE，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PE最小時(shí)，∠CPE的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【分析】連接BE，則BE的長(zhǎng)度即為PE與PC和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解決問(wèn)題；
【解答】解：如連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小，
∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是最短線路問(wèn)題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分．）
11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，﹣1）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （﹣3，﹣1） ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，由此可得答案．
【解答】解：點(diǎn)A（3，﹣1）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，﹣1）．
故答案為：（﹣3，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答本題的關(guān)鍵．
12．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 6 ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理180°?（n﹣2）即可求得．
【解答】解：∵多邊形的內(nèi)角和公式為（n﹣2）?180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理即180°?（n﹣2），難度適中．
13．（3分）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為5和8，則此三角形的周長(zhǎng)為 18或21 ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】因?yàn)橐阎獥l件給出的邊，哪條邊是腰沒(méi)有明確，所以分兩種情況討論，還要根據(jù)三邊關(guān)系看能否構(gòu)成三角形．
【解答】解：（1）當(dāng)5是腰時(shí)，5，5，8能夠組成三角形，
周長(zhǎng)＝5+5+8＝18；
（2）當(dāng)8是腰時(shí)，8，8，5能夠組成三角形，
周長(zhǎng)＝8+8+5＝21．
因此周長(zhǎng)為18或21．
故填18或21．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分線，若AB＝12，BC＝8，則△BCE的周長(zhǎng)為 20 ．
【答案】20．
【分析】證明EA＝EB，EB+EC＝AC，即可解決問(wèn)題．
【解答】解：∵AB＝AC，AB＝12，
∴AC＝12，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，
∴EB+EC＝EA+EC＝AC；
∴△BCE的周長(zhǎng)＝EB+EC+BC＝AC+BC＝12+8＝20；
故答案為：20．
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)；應(yīng)牢固掌握等腰三角形、線段垂直平分線等幾何知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，并能靈活運(yùn)用．
15．（3分）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)為15，∠BAC和∠ABC的平分線AD和BE相交于點(diǎn)P．若點(diǎn)P到邊AB的距離為2，則△ABC的面積為 15 ．
【答案】15．
【分析】連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，PH⊥BC于點(diǎn)H，PG⊥AC于點(diǎn)G．可得PG＝PF＝PH＝2．據(jù)此即可求解．
【解答】解：如圖，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，PH⊥BC于點(diǎn)H，PG⊥AC于點(diǎn)G．
∵AP平分∠CAB，PG⊥AC于點(diǎn)G，PF⊥AB于點(diǎn)F，
∴PG＝PF．
同理可得：PF＝PH．
∴PG＝PF＝PH＝2．
∵△ABC的周長(zhǎng)為15，
∴AB+BC+AC＝15．
∴S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP
＝
＝
＝15．
故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，熟練掌握該定理是關(guān)鍵．
16．（3分）在四邊形ABCD中，AB＝20cm，BC＝16cm，CD＝24cm，∠B＝∠C，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以4cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為 4cm/s或5cm/s 時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)線段的中點(diǎn)定義得BE＝10cm，再設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，則BP＝4t cm，從而可得CP＝（16﹣4t）cm，然后根據(jù)已知可得分兩種情況：當(dāng)BE＝CP＝10cm，BP＝CQ＝4t cm時(shí)；當(dāng)BE＝CQ＝10cm，BP＝CP＝4t cm時(shí)，分別進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB＝20cm，
∴（cm），
設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，則BP＝4t cm，
∵BC＝16cm，
∴CP＝BC﹣BP＝（16﹣4t）cm，
①當(dāng)BE＝CP＝10cm，BP＝CQ＝4t cm時(shí)，△BPE≌△CQP（SAS），
此時(shí)16﹣4t＝10，
解得：，
∴CQ＝BP＝16﹣10＝6（cm），
此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為：；
②當(dāng)BE＝CQ＝10cm，BP＝CP＝4t cm時(shí)，△BPE≌△CPQ（SAS），
此時(shí)4t＝16﹣4t，
解得：t＝2，
此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為：10÷2＝5（cm/s）；
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為4cm/s或5cm/s時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等．
故答案為：4cm/s或5cm/s．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定以及分類討論等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定方法，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題有9個(gè)小題，共72分，解答要求寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟．）
17．（4分）如圖，點(diǎn)D是△ABC邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ACD＝120°，∠B＝20°，求∠A的度數(shù)．
【答案】100°．
【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，可得出∠ACD＝∠B+∠A，再代入∠ACD＝120°，∠B＝20°，即可求出∠A的度數(shù)．
【解答】解：∵點(diǎn)D是△ABC邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，
∴∠ACD＝∠B+∠A，
即120°＝20°+∠A，
∴∠A＝100°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解題的關(guān)鍵．
18．（4分）如圖，AB＝AC，AD＝AE．求證：∠B＝∠C．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】要證∠B＝∠C，可利用判定兩個(gè)三角形全等的方法“兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”證△ABE≌△ACD，然后由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出．
【解答】證明：在△ABE與△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩個(gè)三角形全等的其中一種判定方法，即“邊角邊”判定方法．觀察出公共角∠A是解決本題的關(guān)鍵．
19．（6分）如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上．
（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線y成軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面積．
【答案】（1）圖見(jiàn)解答；
（2）．
【分析】（1）依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，即可得到與△ABC關(guān)于直線y成軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）依據(jù)割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算，即可得出△ABC的面積．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（2）△ABC的面積＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．
20．（6分）如圖，點(diǎn)D在AC邊上，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2．
（1）求證：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝45°，求∠BDE的度數(shù)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）67.5°．
【分析】（1）根據(jù)∠2+∠BDE＝∠ADE＝∠1+∠C推出∠C＝∠BDE即可求證；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得EC＝ED，∠C＝∠BDE，即可求解．
【解答】（1）證明：∵∠1＝∠2，∠2+∠BDE＝∠ADE＝∠1+∠C，
∴∠BDE＝∠C，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（AAS），
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴ED＝EC，
∴∠C＝∠EDC，
∵∠1＝45°，
∴，
∴∠BDE＝67.5°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵．
21．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：在AC邊上找一點(diǎn)D，使DB＝DC；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）在（1）的條件下若BD＝6，求AC的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）AC＝12．
【分析】（1）由DB＝DC可得點(diǎn)D在BC的垂直平分線，運(yùn)用尺規(guī)作圖——作垂直平分線的方法作出BC的垂直平分線，與AC的交點(diǎn)D即為所求；
（2）由（1）可得CD＝BD＝6，從而∠DBC＝∠C，根據(jù)等角的余角相等得到∠ABD＝∠A，從而AD＝BD＝6，根據(jù)AC＝AD+CD即可解答．
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D為所求．
（2）由（1）可得CD＝BD＝6，
∴∠DBC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝90°，
∠A+∠C＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD＝6，
∴AC＝AD+CD＝6+6＝12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查尺規(guī)作圖——作垂直平分線，等腰三角形的判定及性質(zhì)，等角的余角相等，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．
22．（10分）如圖1，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D、E．
（1）求證：AD＝AE；
（2）在圖1的條件下，如圖2，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，且PM＝PN，AM＝5，AN＝3，求AD的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；
（2）4．
【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)得到PD＝PE，利用HL證明Rt△APD≌Rt△APE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；
（2）利用HL證明Rt△PEN≌Rt△PDM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NE＝MD，根據(jù)線段的和差求解即可．
【解答】（1）證明：∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD＝PE，
在Rt△APD和Rt△APE中，
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（HL），
∴AD＝AE；
（2）解：在Rt△PEN和Rt△PDM中，
，
∴Rt△PEN≌Rt△PDM（HL），
∴NE＝MD，
∵AM＝AD+MD＝5，AD＝AE＝AN+NE＝AN+MD，
∴AN+MD+MD＝5，
∵AN＝3，
∴MD＝1，
∴AD＝AM﹣MD＝4．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，連接CD，DE，以DE邊在DE的左側(cè)作等邊三角形DEF，連接BF．
（1）求證：△BCD為等邊三角形；
（2）求證：∠DBF＝∠DCE．
【答案】（1）答案見(jiàn)解答過(guò)程；
（2）答案見(jiàn)解答過(guò)程．
【分析】（1）先求出∠ABC＝60°，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得CD＝BD＝AD，由此可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得BD＝CD，DF＝DE，∠BDC＝∠FDE＝60°，由此得∠BDF＝∠CDE，進(jìn)而可依據(jù)“SAS”判定△BDF和△CDE全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴CD＝BD＝AD＝AB，
∴△BCD為等邊三角形；
（2）∵△BCD和△DEF均為等邊三角形，
∴BD＝CD，DF＝DE，∠BDC＝∠FDE＝60°，
∴∠BDF+∠FDC＝∠FDC+∠CDE，
∴∠BDF＝∠CDE，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠DBF＝∠DCE．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，理解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
24．（12分）如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，連接BE，CD，點(diǎn)M，N分別是BE，CD的中點(diǎn)，連接AM，AN，MN．
（1）求證：BE＝CD；
（2）求證：△AMN是等邊三角形；
（3）如圖2，△ABD與△AEC都是等腰直角三角形，連接BE，CD，點(diǎn)M，N分別是BE，CD的中點(diǎn)，連接AM，AN．若點(diǎn)N恰好也是AE的中點(diǎn)，且AE＝2，求△ABE的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）見(jiàn)解析；
（3）△ABE的面積為2．
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°，可推導(dǎo)出∠BAE＝∠DAC，進(jìn)而證明△BAE≌△DAC，得BE＝CD；
（2）由BM＝BE，DN＝CD，且BE＝CD，證明BM＝DN，而AB＝AD，∠ABM＝∠ADN，可證明△BAM≌△DAN，得∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，可推導(dǎo)出∠MAN＝∠BAD＝60°，則△AMN 是等邊三角形；
（3）由等腰直角三角形的性質(zhì)得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，可推導(dǎo)出∠BAE＝∠DAC，進(jìn)而證明△BAE≌△DAC，得BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，而BM＝BE，DN＝CD，所以BM＝DN，可證明△BAM≌△DAN，得∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，推導(dǎo)出∠MAN＝∠BAD＝90°，因?yàn)锳E＝2，點(diǎn)N是AE的中點(diǎn)，所以AM＝AN＝EN＝1，則S△AMN＝AM?AN＝，所以S△AEM＝2S△AMN＝1，S△ABE＝2S△AEM＝2．
【解答】（1）證明：∵△ABD與△AEC 都是等邊三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠DAC＝60°+∠DAE，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD；
（2）證明：∵點(diǎn)M，N分別是BE，CD的中點(diǎn)，
∴BM＝BE，DN＝CD，
∵BE＝CD，
∴BM＝DN，
∵△BAE≌△DAC，
∴∠ABE＝∠ADC，
在△BAM和△DAN中，
，
∴△BAM≌△DAN（SAS），
∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，
∴∠MAN＝∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝60°，
∴△AMN 是等邊三角形．
（3）解：∵△ABD與△AEC都是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，
∴∠BAE＝∠DAC＝90°+∠DAE，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，
∵點(diǎn)M，N分別是BE，CD的中點(diǎn)，
∴BM＝BE，DN＝CD，
∴BM＝DN，
在△BAM和△DAN中，
，
∴△BAM≌△DAN（SAS），
∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，
∴∠MAN＝∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝90°，
∵AE＝2，且點(diǎn)N也是AE的中點(diǎn)，
∴AM＝AN＝EN＝AE＝1，
∴S△AMN＝AM?AN＝×1×1＝，
∵AE＝2AN，BE＝2EM，
∴S△AEM＝2S△AMN＝2×＝1，
∴S△ABE＝2S△AEM＝2×1＝2，
∴△ABE的面積為2．
【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，重點(diǎn)考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、線段中點(diǎn)的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，證明△BAE≌△DAC是解題的關(guān)鍵．
25．（12分）如圖，點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)，以AB為腰作等腰Rt△ABC．
（1）如圖①，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （0，2） ；
（2）如圖②，過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，連接BD．求∠BDC的大??；
（3）如圖③，移動(dòng)點(diǎn)A，B的位置，使x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點(diǎn)M，試猜想線段AM、OB、OM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）（0，2）；
（2）∠BDC＝45°；
（3）AM＝2（OB+OM），理由見(jiàn)解析．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作y軸垂線CD⊥y軸，證明△DCB≌△AOB（ASA），推出OB＝DC＝2，可得結(jié)論；
（2）過(guò)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則CE＝OD，證明Rt△OBD為等腰直角三角形，再求解即可；
（3）OP＝OM，點(diǎn)P在x軸上，AC交y軸于點(diǎn)N，先證明△ABP≌△BCN（ASA），可得AP＝OB+ON，再證明△AOB≌△AON（AAS），可得OB＝ON，再求解即可．
【解答】解：（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)C作y軸垂線CD⊥y軸，即CD＝2（即C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2），
∵∠DBC+∠DCB＝90°，
∵∠DBC+∠OBA＝90°，
∴∠DCB＝∠OBA，
∵∠COB＝∠AOB＝90°，
又∵BC＝AB，
∴△DCB≌△AOB（ASA），
∴OB＝DC＝2，
∴B坐標(biāo)為（0，2）；
（2）∵由①得，CE＝OB，
如圖②，過(guò)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則CE＝OD，
∵OB＝OD，
∴Rt△OBD為等腰直角三角形，
∴∠OBD＝∠ODB＝45°，
∴∠BDC＝90°﹣∠ODB＝45°．
（3）∵在Rt△ABM與Rt△BOM中，
作OP＝OM，點(diǎn)P在x軸上，AC交y軸于點(diǎn)N，如圖③，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OMB+∠OBM＝∠OMB+∠BAM＝90°，
∴∠OBM＝∠BAM，
∵OP＝OM，
∴∠OBM＝∠OBP，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠MAC，
∴∠BAC＝∠PBM，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠PBM＝45°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBM＝45°，
∴∠ABP＝∠BCA，
又∵AB＝AC，
∴△ABP≌△BCN（ASA），
∴AP＝BN＝OB+ON，
∵∠BAM＝∠MAC，
∴△AOB≌△AON（AAS），
∴OB＝ON，
∵OP＝OM，
∴AM＝AP+PM＝2（OB+OM）．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/26 1:17:24；用戶：18328501451；郵箱：18328501451；學(xué)號(hào)：43314264

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