1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程化為一般形式后一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（ ）
A．3，B．，18C．，6D．3，
3．一元二次方程的解是（ ）
A．B．，
C．，D．
4．將拋物線向左平移2個單位后所得拋物線的表達(dá)式是（ ）
A．B．C．D．
5．若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）具有函數(shù)關(guān)系為則小球從飛出到落地的所用時間為（ ）
A．3sB．4sC．5sD．6s
6．下列函數(shù)關(guān)系式中，y是x的二次函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
7．一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根D．無法判斷
8．設(shè)方程的兩個根為，，那么的值等于（ ）
A．B．C．1D．
9．某廠一月份生產(chǎn)空調(diào)機(jī)1200臺，三月份生產(chǎn)空調(diào)機(jī)1500臺，若二、三月份每月平均增長的百分率是x，則所列方程是（ ）
A．B．
C．D．
10．如圖，拋物線與x軸交于點，其對稱軸為直線，結(jié)合圖象分析下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，y隨x的增大而增大；④一元二次方程的兩根分別為，；⑤若m，為方程的兩個根，則且，其中正確的結(jié)論有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
二、填空題（每小題3分，共18分）
11．在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是______．
12．將二次函數(shù)化成的形式為______．
13．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則______．
14．如圖，將（其中，）繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使得點C、A、在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角等于______．
15．若m是方程的一個根，則代數(shù)式的值等于______．
16．拋物線的圖象如圖所示，點，，，，…，在拋物線第一象限的圖象上，點，，，，…，在y軸的正半軸上，、、…、是等腰直角三角形，則______．
三、解答題（共72分）
17．（6分）解方程：（1）．（配方法解）
（2）（公式法解）
18．（6分）已知拋物線的頂點坐標(biāo)為，且拋物線與y軸交于，求這個二次函數(shù)的解析式．
19．（6分）已知關(guān)于x的方程．
（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若該方程的一個根為1，求該方程的另一根．
20．（6分）利用圖中的網(wǎng)格線（最小的正方形的邊長為1）畫圖．
（1）作出關(guān)于原點O對稱的中心對稱圖形．
（2）將繞點A順時針能轉(zhuǎn)90°得到．
21．（8分）如圖，在正方形中，E為邊上的點，連接，將繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連結(jié)，若，求的度數(shù)．
22．（8分）（如圖是一塊籬笆圍成的矩形土地，并且由一條與邊平行的籬笆分開，已知籬笆的總長為90米（厚度不計）．設(shè)米，米．
（1）用含有x的代數(shù)式表示y．
（2）設(shè)矩形土地面積為S平方米，當(dāng)時，求S的最大值．
23．（8分）超市銷售某種兒童玩具，如果每件利潤為40元（市場管理部門規(guī)定，該種玩具每件利潤不能超過60元），每天可售出50件．根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每增加2元，每天銷售量會減少1件．設(shè)銷售單價增加x元，每天售出y件．
（1）當(dāng)x為多少時，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元？
（2）設(shè)超市每天銷售這種玩具可獲利w元，當(dāng)x為多少時w最大，最大值是多少？
24．（12分）如圖，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點，并與直線交于B、C兩點，其中點C是直線與y軸的交點，連接．
（1）求B、C兩點坐標(biāo)以及拋物線的解析式；
（2）證明：為直角三角形；
（3）求拋物線的頂點D的坐標(biāo)，并求出四邊形的面積；
（4）在拋物線的對稱軸上有一點P，當(dāng)周長的最小時，直接寫出點P的坐標(biāo)．
25．（12分）如圖①，在中，，，，D為內(nèi)部的一動點（不在邊上），連接，將線段繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點B到達(dá)點F的位置；將線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，使點A到達(dá)點E的位置，連接，，，，，．
（1）求證：；
（2）當(dāng)取得最小值時，求證：．
（3）如圖②，M，N，P分別是，，的中點，連接，，在點D運(yùn)動的過程中，請判斷的大小是否為定值．若是，求出其度數(shù)；若不是，請說明理由．
廣信中學(xué)2024年秋季九年級（上）期中考試數(shù)學(xué)試卷
參考答案
一、選擇題（共30分）
1．D 2．B 3．C 4．A 5．C 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B
10．【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線開口向下和對稱軸的位置，拋物線與y軸交于正半軸，可得：，，，即可判斷①；由，結(jié)合：，，即可判斷②；根據(jù)拋物線開口向下，對稱軸為直線，即可判斷③；由的兩根是：，，得：的兩根是：，，進(jìn)而得：的兩根，即可判斷④；由m，為方程的兩個根，得：m，為拋物線和直線的兩個交點的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象，即可得到m，n的范圍，即可判斷⑤．
【詳解】∵拋物線開口向下，∴，
∵對稱軸為：直線，∴，即：，∴，
∵拋物線與y軸交于正半軸，∴，∴，故①正確；
∵拋物線與x軸交于點，∴，
∵，∴，∴，故②正確；
∵當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，故③錯誤；
∵拋物線與x軸交于點，其對稱軸為直線，
∴拋物線與x軸交于點和，
∴的兩根是：，，
∴的兩根是：，，
∵與的解相同，
∴的兩根分別為，，故④正確；
∵拋物線與x軸交于點和，
∴，
∵m，為方程的兩個根，
∴m，為方程的兩個根，
∴m，為拋物線和直線的兩個交點的橫坐標(biāo)，
結(jié)合圖象得：且，故⑤錯誤；故選B．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)與一元二次方程的綜合，理解函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)與方程的根的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．
二、填空題（共18分）
11．略 12．略 13．略 14．略 15．略
16．【答案】
【分析】先設(shè)第一個等腰直角三角形的直角邊長為x，表示出點的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式，求出x；設(shè)第二個等腰直角三角形的直角邊長為m，表示出的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式，求出m，同理求出第2022個等腰直角三角形的直角邊長，即可求出斜邊．
【詳解】解：設(shè)，∵是等腰直角三角形，∴，
則的坐標(biāo)為，代入二次函數(shù)，得，解得或（舍），
設(shè)，∵腰是等腰直角三角形，
∴，∴的坐標(biāo)為，
代入二次函數(shù)，得，
解得或（舍），同理可求出，，
∴，根據(jù)勾股定理，得，故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與規(guī)律綜合題，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的點坐標(biāo)特征是解決本題的關(guān)鍵．
三、解答題（共72分）
17．（4分）【詳解】解：，
∴，∴，
∴或，解得：，．
18．【詳解】解：由拋物線頂點坐標(biāo)為可設(shè)其解析式為，
將代入，得：，解得：，
則拋物線解析式為．
19．略 20．略
21．【詳解】解：∵將繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴，∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，∴，
∵，∴，
∴．
22．（本題滿分10分）
解：（1）由題意可得，，；
（2），
∵，開口向下，∴當(dāng)時，
∴對稱軸不在范圍內(nèi)
∴當(dāng)時，S取得最大值，．
23．【詳解】（1）根據(jù)題意得，，
解得：，，
∵每件利潤不能超過60元，∴，
答：當(dāng)x為10時，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元；
（2）根據(jù)題意得，，
∵，∴當(dāng)時，w隨x的增大而增大，
∴當(dāng)時，，
答：當(dāng)x為20時w最大，最大值是2400元．
【點睛】本題考查了一元二次方程、二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)的數(shù)量關(guān)系列出方程或二次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
24．【詳解】（1）解：在直線中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴，，
∵拋物線經(jīng)過點和點，
∴，解得
∴拋物線的解析式為．
（2）證明：在中，當(dāng)時，則，
解得，，∴．
∵，，∴，，，∴，即．
∵，
∴，，
∴，∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵拋物線解析式為，
∴拋物線的頂點D的坐標(biāo)是；
如圖1，連接，
∴，
∴四邊形的面積是．
（4）解：∵拋物線解析式為，
∴拋物線的對稱軸為．
如圖2，設(shè)拋物線的對稱軸與直線交于點E，
點P是直線上的點，連接，．
∵垂直平分，∴，，∴．
∵為定值，∴當(dāng)?shù)闹底钚r，的周長最?。?br>∵，
∴當(dāng)點P與點E重合時，，
∴此時最小，
∵直線，當(dāng)時，，∴，
∴當(dāng)?shù)闹荛L最小時，點P的坐標(biāo)為．
【點睛】此題重點考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用、軸對稱的性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．
25．（1）見詳解；（2）見詳解；（3），理由見詳解
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)60°知，、、，故由證出全等即可；
（2）由題意可知為等邊三角形得，再由C、D、F、E共線時最小，，最后，即證；
（3）由中位線定理知道，，，，由得，即，再設(shè)，，則，，得，得．
【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，
在與中，∴；
（2）證明：∵，，∴為等邊三角形，即，
∵C、D、F、E共線時最小，∴，
∵，∴，
∴，
∴，∴；
（3）的大小是為定值，理由：如圖，連接，
∵M(jìn)，N，P分別是，，的中點，
∴,,，，
∵，∴，∴，
∵且，∴為等邊三角形，
設(shè)，，
則，，
∴，，
∴，
∴．

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