1．（3分）下列汽車標(biāo)志中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是720°，這個多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．4條B．5條C．6條D．7條
3．（3分）已知點M（3a+b，3）和點N（﹣2，a﹣2b）關(guān)于x軸對稱，則a與b的值分別是（ ）
A．，B．，C．1，﹣1D．﹣1，1
4．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，BD為中線，則△ABD與△BCD的周長之差為（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（3分）如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，若∠B＝30°，BC＝8cm，則BD的長為（ ）
A．7cmB．6cmC．5.5cmD．5cm
6．（3分）如圖，△ABC≌△DEC，AF⊥CD．若∠BCE＝65°，∠CAF的度數(shù)為（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
7．（3分）根據(jù)下列條件，能畫出唯一確定的三角形的是（ ）
A．AB＝2，BC＝5，AC＝2B．AB＝6，∠B＝30°，AC＝4
C．AB＝4，∠B＝60°，∠C＝75°D．BC＝8，∠C＝90°
8．（3分）如圖，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分線DE交AC于點D．若AC＝6cm，則AD＝（ ）cm．
A．2B．3C．4D．2.8
9．（3分）如圖，在△ABC中，分別以A，B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點，分別以A，C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于F，G兩點，且分別與BC相交于M，N兩點，連接AM、AN，若∠MAN＝50°，則∠BAC＝（ ）
A．65°B．115°C．120°D．125°
10．（3分）剪紙是中國古代最古老的民間藝術(shù)之一．如圖是一張?zhí)N含著軸對稱變換的蝴蝶剪紙，點A與點B對稱，點C與點D對稱，將其放置在直角坐標(biāo)系中，點A，B，C的坐標(biāo)分別為（3，0），（5，0），（1，4），則點D的坐標(biāo)為（ ）
A．（7，4）B．（6，4）C．（5，4）D．（4，4）
11．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE＝2，則△ABD的面積為（ ）
A．14B．12C．10D．7
12．（3分）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿AF折疊，點F在邊CD上，點D落在D′處，若∠ABD＝28°，AD′∥DB，則∠DAF的度數(shù)為（ ）
A．32°B．46°C．59°D．60°
二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．
13．（3分）如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ．
14．（3分）如圖，在△ACD和△BDC中，∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∠ACD＝35°，則∠ACB＝ °．
15．（3分）三角形的三邊長分別為5，1+2x，8，則x的取值范圍是 ．
16．（3分）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝4，D是AB的中點，過點D作DF⊥AC于點F．過點F作FE⊥BC于點E，則EC的長為 ．
17．（3分）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，則∠C＝ 度．
18．（3分）如圖，AD為∠CAF的角平分線，BD＝CD，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，則下列結(jié)論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正確結(jié)論的序號有 ．
三、解答題：本大題共6小題，共46分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
19．（6分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝56°，∠B＝43°，AD平分∠BAC，M是BC延長線上一點，過點M作MF⊥AD，垂足為H，MF分別與AB，AC交于點F，E．求∠M的度數(shù)．
20．（6分）如圖，△ABC頂點坐標(biāo)分別為A（1，4），B（﹣2，1），C（3，2）．將△ABC關(guān)于x軸對稱△A′B′C′．
（1）請你畫出△A′B′C′，并寫出點A′，B′，C′的坐標(biāo)；
（2）連接B′C，C′C，求△CB′C′的面積．
21．（8分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過線段CD上一點E作EG∥AD，交AC于點F，交BA的延長線于點G．
（1）求證：△AFG是等腰三角形．
（2）若CE＝EF，∠BAC＝80°，求∠B的度數(shù)．
22．（8分）如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC，
求證：AD是∠BAC的平分線．
23．（8分）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，DE垂直平分BC，∠ABC的角平分線BF交DE于△ABC內(nèi)一點P，連接PC．若∠ACP＝28°，求∠ABP的度數(shù)．
24．（10分）如圖所示，直線AB交x軸于點A（4，0），交y軸于點B（0，﹣4）．
（1）如圖1，若點C的坐標(biāo)為（﹣1，0），且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P．求證：△OAP≌△OBC．
（2）如圖2，若點D為AB的中點，點M為y軸正半軸上一動點，連接MD，過D作DN⊥DM交x軸于N點，當(dāng)M點在y軸正半軸上運動的過程中，
①線段OM與AN有什么數(shù)量關(guān)系？
②若S表示三角形的面積，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，寫出該式子的值．
2024-2025學(xué)年天津市河北區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（3分）下列汽車標(biāo)志中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故錯誤；
B、是軸對稱圖形，故錯誤；
C、不是軸對稱圖形，故正確；
D、是軸對稱圖形，故錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．
2．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是720°，這個多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．4條B．5條C．6條D．7條
【分析】一個n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°．所以多邊形的內(nèi)角和除以180°，所得的商加上2，就是多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：720°÷180°+2
＝4+2
＝6（條），
所以，這個多邊形的邊數(shù)是6條．
故選：C．
【點評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和公式．解決問題的關(guān)鍵是理解：一個n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°．
3．（3分）已知點M（3a+b，3）和點N（﹣2，a﹣2b）關(guān)于x軸對稱，則a與b的值分別是（ ）
A．，B．，C．1，﹣1D．﹣1，1
【分析】關(guān)于x軸對稱的點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可得，解方程即可．
【解答】解：∵點M（3a+b，3）和點N（﹣2，a﹣2b）關(guān)于x軸對稱，
∴，
解得．
故選：D．
【點評】本題考查關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)、解二元一次方程組，熟練掌握關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征、二元一次方程組的解法是解答本題的關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，BD為中線，則△ABD與△BCD的周長之差為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先根據(jù)中線的定義得AD＝CD，再表示周長，即可得出答案．
【解答】解：∵BD是△ABC的中線，
∴AD＝CD．
∴△ABD與△BCD的周長之差是AB+AD+BD﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝8﹣5＝3．
故選：C．
【點評】本題主要考查了三角形的中線，三角形的周長，掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，若∠B＝30°，BC＝8cm，則BD的長為（ ）
A．7cmB．6cmC．5.5cmD．5cm
【分析】求出∠DAC＝30°，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出CD＝2，則BD可求出．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝60°，
∵AD⊥BC于點D，∠C＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴在Rt△ABC中，，
∴Rt△ACD中，∠DAC＝30°，
∴，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣2＝6（cm）．
故選：B．
【點評】此題主要考查含30度角的直角三角形，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出CD的長是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，△ABC≌△DEC，AF⊥CD．若∠BCE＝65°，∠CAF的度數(shù)為（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【分析】由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACB＝∠DCE，即可得∠BCE＝∠DCA，得到∠ACF＝65°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠BCE＝∠DCA，
∵∠BCE＝65°，
∴∠DCA＝65°，
即∠ACF＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故選：B．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）根據(jù)下列條件，能畫出唯一確定的三角形的是（ ）
A．AB＝2，BC＝5，AC＝2B．AB＝6，∠B＝30°，AC＝4
C．AB＝4，∠B＝60°，∠C＝75°D．BC＝8，∠C＝90°
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、∵2+2＜5，即AB+AC＜BC，
∴此時三條線段不能構(gòu)成三角形，不符合題意；
B、AB＝6，∠B＝30°，AC＝4，根據(jù)邊邊角不能確定唯一三角形，不符合題意；
C、AB＝4，∠B＝60°，∠C＝75°，根據(jù)角角邊可以確定唯一三角形，符合題意；
D、BC＝8，∠C＝90°，只有一角和一邊，不能確定唯一三角形，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分線DE交AC于點D．若AC＝6cm，則AD＝（ ）cm．
A．2B．3C．4D．2.8
【分析】連接BD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)知△ABD是等腰三角形；然后證明△CDB是直角三角形，利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半即可求得BD與CD間的數(shù)量關(guān)系，最后通過等量代換即可求得AC＝3AD，從而求得線段AD的長度．
【解答】解：連接BD，
∵AB的垂直平分線DE交AC于點D，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵BA＝BC，∠B＝120°，
∴∠A＝∠C＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠CBD＝90°，
∴CD＝2BD，
∴CD＝2AD，
∴AC＝AD+CD＝AD+2AD＝3AD，
∵AC＝6cm，
∴AD＝2cm．
故選：A．
【點評】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形．利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出CD＝2BD是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，在△ABC中，分別以A，B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點，分別以A，C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于F，G兩點，且分別與BC相交于M，N兩點，連接AM、AN，若∠MAN＝50°，則∠BAC＝（ ）
A．65°B．115°C．120°D．125°
【分析】由作圖可知，直線DE為線段AB的垂直平分線，直線FG為線段AC的垂直平分線，則AM＝BM，AN＝CN，可得∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，進(jìn)而可得∠B+∠C＝65°，從而可得答案．
【解答】解：由作圖可知，直線DE為線段AB的垂直平分線，直線FG為線段AC的垂直平分線，
∴AM＝BM，AN＝CN，
∴∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN．
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+∠BAM+∠MAN+∠CAN+∠C＝2∠B+∠MAN+2∠C＝2（∠B+∠C）+50°＝180°，
∴∠B+∠C＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣65°＝115°．
故選：B．
【點評】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
10．（3分）剪紙是中國古代最古老的民間藝術(shù)之一．如圖是一張?zhí)N含著軸對稱變換的蝴蝶剪紙，點A與點B對稱，點C與點D對稱，將其放置在直角坐標(biāo)系中，點A，B，C的坐標(biāo)分別為（3，0），（5，0），（1，4），則點D的坐標(biāo)為（ ）
A．（7，4）B．（6，4）C．（5，4）D．（4，4）
【分析】由點A與點B對稱，求得對稱軸為x＝4直線，再根據(jù)點C與點D對稱，即可求解．
【解答】解：∵A（3，0）和B（5，0）對稱，
∴對稱軸直線為：，
∵C（1，4）與點D關(guān)于x＝4對稱，
∴D（7，4），
故選：A．
【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣對稱，熟知軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE＝2，則△ABD的面積為（ ）
A．14B．12C．10D．7
【分析】過D點作DF⊥AB于F，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE＝2，然后利用三角形面積公式進(jìn)行計算．
【解答】解：過D點作DF⊥AB于F，如圖，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
∴．
故選：D．
【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿AF折疊，點F在邊CD上，點D落在D′處，若∠ABD＝28°，AD′∥DB，則∠DAF的度數(shù)為（ ）
A．32°B．46°C．59°D．60°
【分析】由AD′∥DB，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，可得出∠D′AB的度數(shù)，再利用折疊的性質(zhì)及∠DAF+∠D′AF＝∠DAB+∠F′AB，即可求出∠DAF的度數(shù)．
【解答】解：∵AD′∥DB，
∴∠D′AB＝∠ABD＝28°．
由折疊的性質(zhì)，可得：∠DAF＝∠D′AF，
∵∠DAF+∠D′AF＝∠DAB+∠F′AB，
∴∠DAF＝（∠DAB+∠D′AB）＝×（90°+28°）＝59°．
故選：C．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)以及翻折變換（折疊問題），利用平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，求出∠DAF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．
13．（3分）如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 240° ．
【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根據(jù)鄰補角求出∠EOF，然后求解即可．
【解答】解：如圖，如圖，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，
∵∠BOF＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°，
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，
所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．
故答案為：240°．
【點評】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并把各角進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，在△ACD和△BDC中，∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∠ACD＝35°，則∠ACB＝ 20 °．
【分析】根據(jù)HL定理判定三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分析求解．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ACD和Rt△BDC中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BDC（HL），
∴∠ACD＝∠BDC＝35°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BDC﹣∠ACD＝20°，
故答案為：20．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，理解用HL判斷直角三角形全等的方法是解題關(guān)鍵．
15．（3分）三角形的三邊長分別為5，1+2x，8，則x的取值范圍是 1＜x＜6 ．
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
【解答】解：由題意，有8﹣5＜1+2x＜8+5，
解得：1＜x＜6．
【點評】考查了三角形的三邊關(guān)系，還要熟練解不等式．
16．（3分）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝4，D是AB的中點，過點D作DF⊥AC于點F．過點F作FE⊥BC于點E，則EC的長為 ．
【分析】根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求得AF，CF，CE，再由等邊三角形ABC的邊長為4，得出EC的長．
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，BC＝4，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝4，
∵DF⊥AC，F(xiàn)E⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
∴，
∵D是AB的中點，
∴AD＝2，
∴AF＝1，
∴CF＝3，
∴，
故答案為：．
【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（3分）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，則∠C＝ 24 度．
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°，
故答案為：24．
【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
18．（3分）如圖，AD為∠CAF的角平分線，BD＝CD，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，則下列結(jié)論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正確結(jié)論的序號有 ①②③④ ．
【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝DF，再利用“HL”證明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE＝AF，利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB+AE；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DBF＝∠DCE，利用“8字型”證明∠BDC＝∠BAC；∠DAE＝∠CBD，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD．
【解答】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正確；
∴CE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正確；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF＝∠DCE，
∵∠AOB＝∠COD，（設(shè)AC交BD于O），
∴∠BDC＝∠BAC，故③正確；
∴∠DAE＝∠DCB，
∵∠DBC＝∠DCB，
∴∠DAE＝∠DBC，
∵AD為∠CAF的角平分線，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④共4個．
故答案為：①②③④
【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖判斷出全等的三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于需要二次證明三角形全等．
三、解答題：本大題共6小題，共46分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
19．（6分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝56°，∠B＝43°，AD平分∠BAC，M是BC延長線上一點，過點M作MF⊥AD，垂足為H，MF分別與AB，AC交于點F，E．求∠M的度數(shù)．
【分析】由角平分線的定義得∠BAD＝28°，由外角性質(zhì)可得∠ADM＝71°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠ADM＝∠BAD+∠B＝28°+43°＝71°，
∵M(jìn)H⊥AD，
∴∠MHD＝90°，
∴∠M＝180°﹣90°﹣71°＝19°．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
20．（6分）如圖，△ABC頂點坐標(biāo)分別為A（1，4），B（﹣2，1），C（3，2）．將△ABC關(guān)于x軸對稱△A′B′C′．
（1）請你畫出△A′B′C′，并寫出點A′，B′，C′的坐標(biāo)；
（2）連接B′C，C′C，求△CB′C′的面積．
【分析】（1）分別作出A，B，C關(guān)于x軸的對稱點，再連成三角形，寫出A'，B'，C'的坐標(biāo)即可；
（2）結(jié)合圖形，用三角形面積可得答案．
【解答】解：（1）如圖：
△A′B′C′即為所求；
A'坐標(biāo)為（1，﹣4）；B'的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），C'的坐標(biāo)為（3，﹣2）；
（2）∵×4×5＝10，
∴△CB′C′的面積是10．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱作圖，解題的關(guān)鍵是掌握對稱的性質(zhì)．
21．（8分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過線段CD上一點E作EG∥AD，交AC于點F，交BA的延長線于點G．
（1）求證：△AFG是等腰三角形．
（2）若CE＝EF，∠BAC＝80°，求∠B的度數(shù)．
【分析】（1）結(jié)合角平分線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD＝∠G，∠CAD＝∠AFG，然后等量代換可知∠G＝∠AFG，故△AFG是等腰三角形；
（2）根據(jù)等邊對等角可得∠CFE＝∠C，結(jié)合（1）可得∠C＝∠CAD，再根據(jù)角平分線及三角形的內(nèi)角和定理即可求解．
【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵EG∥AD，
∴∠BAD＝∠G，∠CAD＝∠AFG，
∴∠G＝∠AFG，
∴AF＝AG，
∴△AFG是等腰三角形．
（2）解：∵CE＝EF，
∴∠CFE＝∠C．
∵∠AFG＝∠CFE，∠AFG＝∠CAD，
∴∠C＝∠CAD．
∵∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，
∴∠C＝∠CAD＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝60°．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定定理．
22．（8分）如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC，
求證：AD是∠BAC的平分線．
【分析】先根據(jù)全等三角形的判定定理得出Rt△BDE≌Rt△CDF，進(jìn)而得出DE＝DF，由角平分線的判定可知AD是∠BAC的平分線．
【解答】證明：∵DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴△BDE與△CDF是直角三角形，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∴AD是∠BAC的平分線．
【點評】本題考查的是角平分線的判定及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上是解答此題的關(guān)鍵．
23．（8分）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，DE垂直平分BC，∠ABC的角平分線BF交DE于△ABC內(nèi)一點P，連接PC．若∠ACP＝28°，求∠ABP的度數(shù)．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得∠PBC＝∠PCB，根據(jù)角平分線的定義，可得∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠ABP的度數(shù)．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABP，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，
∵∠A＝50°，∠ACP＝28°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝180°﹣50°﹣28°＝102°，
∴3∠ABP＝102°，
∴∠ABP＝34°．
【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的運用，解題時注意：線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．
24．（10分）如圖所示，直線AB交x軸于點A（4，0），交y軸于點B（0，﹣4）．
（1）如圖1，若點C的坐標(biāo)為（﹣1，0），且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P．求證：△OAP≌△OBC．
（2）如圖2，若點D為AB的中點，點M為y軸正半軸上一動點，連接MD，過D作DN⊥DM交x軸于N點，當(dāng)M點在y軸正半軸上運動的過程中，
①線段OM與AN有什么數(shù)量關(guān)系？
②若S表示三角形的面積，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，寫出該式子的值．
【分析】（1）用ASA證明△OAP≌△OBC（ASA），即可求解；
（2）①證明△MOD≌△NAD（ASA），即可求解；
（2）點D為AB的中點，則S△DOB＝×S△AOB＝×8＝4，而△MOD≌△NAD，則S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△MOD＝S△DOB＝4，即可求解．
【解答】（1）證明：∵點A的坐標(biāo)為（4，0），點B的坐標(biāo)為（0，﹣4），
∴OA＝OB，
∵∠AOP＝90°，∠BHP＝90°，
∴∠AOP＝∠BHP，
∵∠APO＝∠BPH，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，∠OAP＝∠OBC，OA＝OB，∠AOP＝∠BOC，
∴△OAP≌△OBC（ASA）；
（2）解：①線段OM＝AN，
理由如下：如圖2，連接OD，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，點D為AB的中點，
∴OD⊥AB，OD＝OA＝OB，∠BOD＝∠AOD＝∠OAD＝45°，
∴∠MOD＝135°，∠NAD＝135°，
∴∠MOD＝∠NAD，
∵∠ODA＝∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA，
在△MOD和△NAD中，∠MOD＝∠NAD，OD＝AD，∠MDO＝∠NDA，
∴△MOD≌△NAD（ASA），
∴OM＝AN；
（2）式子S△BDM﹣S△ADN的值不發(fā)生改變，
理由如下：S△AOB＝×4×4＝8，
∵點D為AB的中點，
∴S△DOB＝×S△AOB＝×8＝4，
∵△MOD≌△NAD，
∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△MOD＝S△DOB＝4．
【點評】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到三角形全等、面積的計算等，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/25 14:09:58；用戶：18328501451；郵箱：18328501451；學(xué)號：43314264

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